Absolutbelopp: Förståelse och tillämpning i Matte

Använd definitionen av absolutbelopp

fullscreen

Använd definitionen

∣ a ∣ = {a, a \geq 0 - a, a < 0

för att beräkna

∣ 5.5 ∣

och

∣ - 9 ∣ .

Visa Lösning

Vi börjar med

∣ 5.5 ∣ .

Eftersom

5.5

är ett positivt tal ska vi använda det första fallet:

∣ a ∣ = a .

Det betyder att asbolutbeloppet inte ändrar talets värde. Vi får

∣ 5.5 ∣ = 5.5 .

Nu tar vi

∣ - 9 ∣ .

Eftersom

- 9

är ett negativt tal gäller det andra fallet,

∣ a ∣ = - a,

så vi sätter ett minustecken framför

- 9

för att beräkna absolutbeloppet. Då får vi

∣ - 9 ∣ = - (- 9) = 9 .

Beräkna absolutbeloppet

fullscreen

Bestäm $∣ 3 x - 7 ∣$ när $x = 2 .$

Visa Lösning

För att bestämma uttryckets värde sätter vi in $x = 2$ och beräknar.

∣ 3 x - 7 ∣

Substitute

$x = 2$

∣ 3 \cdot 2 - 7 ∣

Multiply

Multiplicera faktorer

∣ 6 - 7 ∣

SubTerm

Förenkla termer

∣ - 1 ∣

AbsNeg

$∣ - 1 ∣ = 1$

1

Uttryckets värde är alltså $1$ när $x = 2 .$

Regel

Alternativ definition av absolutbelopp

Ibland definieras absolutbeloppet av ett tal $a$ som "kvadratroten ur $a$ i kvadrat."

$∣ a ∣ = a^{2}$

Man kan förstå denna definition genom att sätta in det negativa talet

- 4

(- 4)^{2} = 16 = 4 .

Minustecknet "försvinner" eftersom kvadraten av ett tal alltid är positivt. Sedan återfås det positiva talet när man drar kvadratroten ur. Motsvarande händer om

a

är positivt, fast då finns det inte något minustecken som försvinner. Uttrycket

a^{2}

ger alltså alltid samma resultat som att ta absolutbeloppet av

a .

Regel

Absolutbelopp som avstånd

Man kan tolka absolutbeloppet av ett tal som avståndet mellan $0$ och det talet på en tallinje. Till exempel är $∣ 3 ∣$ avståndet mellan $0$ och $3,$ och $∣ - 3 ∣$ är avståndet mellan $0$ och $- 3 .$

Tallinje som visar absolutbeloppen av -3 och 3

Absolutbeloppet av en differens, som $∣ a - b ∣,$ anger avståndet mellan talen $a$ och $b .$

Tallinje som visar absolutbeloppet av a-b

Exempelvis är $∣ 5 - 7 ∣$ avståndet mellan $5$ och $7 .$ Eftersom även $∣ 7 - 5 ∣$ är avståndet mellan samma tal gäller det att

∣ a - b ∣ = ∣ b - a ∣ .

Begrepp

Grafen till en absolutbeloppsfunktion

Eftersom ett absolutbelopp aldrig är negativt kommer grafer till funktioner på formen $y = ∣ f (x) ∣$ alltid ligga ovanför $x$ -axeln. Exempelvis består grafen till $y = ∣ x ∣$ av två delar som båda ligger ovanför $x$ -axeln och som möts i origo.

∣ x ∣

∣ 0.5 - 0.5 x ∣

∣ ∣ ∣ 0.5 x^{2} - 5 ∣ ∣ ∣

För att rita grafen till

y = ∣ f (x) ∣

speglar man alltså de delar av grafen som ligger under

x

-axeln och ritar dem ovanför axeln istället. Som en följd av detta kan absolutbeloppsfunktioner ibland få ett eller flera hörn på

x

-axeln.

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

{{ article.displayTitle }}

Exempel

Använd definitionen av absolutbelopp

Exempel

Beräkna absolutbeloppet