Algebraisk Lösning av Ekvationssystem: Additions- och Substitutionsmetoden.

Videolektion

Mathleaks

Minispelare aktiv

Ekvationssystem kan användas för att lösa olika typer av verkliga problem där man har olika samband mellan okända värden. Det är inte alltid meningsfullt att rita upp sambanden som räta linjer och då kan man använda en algebraisk metod, t.ex. substitutions- eller additionsmetoden.

Metod

Ekvationssystem som modeller

Många problem kan lösas med ekvationssystem. Man kan göra det på följande sätt.

Identifiera okända värden och ge dem variabelnamn.
Ställ upp olika samband mellan variablerna.
Bilda ett ekvationssystem av sambanden.
Lös ekvationssystemet och tolka resultatet.

Det är viktigt att komma ihåg att man behöver lika många ekvationer som antalet okända variabler för att kunna lösa ekvationssystemet, och det är även viktigt att dessa beskriver olika samband.

Ställ upp ekvationssystemet

fullscreen

Det totala antalet enkronor och femkronor i en plånbok är $10$ st. och det sammanlagda värdet av dessa är $34$ kr. Ställ upp ett ekvationssystem som kan användas för att bestämma antalet enkronor och femkronor i plånboken.

Visa Lösning

Ekvationssystemet ska kunna användas för att bestämma hur många enkronor respektive femkronor det finns, så antalet mynt av varje sort är våra okända variabler. Vi väljer att kalla antalet enkronor för $a$ och antalet femkronor för $b .$ Eftersom vi vet hur många mynt det finns samt deras totala värde kan vi ställa upp följande två ekvationer.

En ekvation beskriver totala antalet mynt: $a + b = 10 .$
En ekvation beskriver myntens sammanlagda värde: $1 \cdot a + 5 \cdot b = 34 .$

Med dessa ekvationer kan vi bilda ekvationssystemet

{a + b = 10 a + 5 b = 34

som kan lösas med valfri metod.

Metod

Substitutionsmetoden

Substitutionsmetoden går ut på att man substituerar, dvs. ersätter, en variabel i någon av ekvationerna med ett uttryck som bara innehåller den andra variabeln. Exempelvis kan ekvationssystemet

{y - 4 = 2 x 9 x + 6 = 3 y

lösas på detta sätt.

Lös ut en av variablerna i den ena ekvationen

Lös ut en av variablerna ur valfri ekvation så att den står ensam på ena sidan om likhetstecknet. Då ska uttrycket på andra sidan enbart innehålla den andra variabeln. Genom att addera

4

till båda led i den första ekvationen kan man lösa ut

y

{y = 2 x + 4 9 x + 6 = 3 y .

Ersätt variabeln i den andra ekvationen

Ersätt variabeln i den andra ekvationen med det uttryck man fick i första steget. Uttrycket

2 x + 4

sätts in istället för

y

i den andra ekvationen:

{y = 2 x + 4 9 x + 6 = 3 (2 x + 4) .

Lös den andra ekvationen

Nu innehåller den andra ekvationen endast en variabel och kan lösas.

{y = 2 x + 4 9 x + 6 = 3 (2 x + 4) (I) (II)

Distr

$(II):$ Multiplicera in $3$

{y = 2 x + 4 9 x + 6 = 3 \cdot 2 x + 3 \cdot 4

Multiply

$(II):$ Multiplicera faktorer

{y = 2 x + 4 9 x + 6 = 6 x + 12

SubEqn

$(II):$ $VL - 6 x = HL - 6 x$

{y = 2 x + 4 3 x + 6 = 12

SubEqn

$(II):$ $VL - 6 = HL - 6$

{y = 2 x + 4 3 x = 6

DivEqn

$(II):$ $VL / 3 = HL / 3$

{y = 2 x + 4 x = 2

Sätt in värdet i valfri ursprungsekvation

Sätt in värdet på variabeln som löstes ut i förra steget i någon av ursprungsekvationerna och beräkna värdet av den andra variabeln.

{y = 2 x + 4 x = 2 (I) (II)

Substitute

$(I):$ $x = 2$

{y = 2 \cdot 2 + 4 x = 2

Multiply

$(I):$ Multiplicera faktorer

{y = 4 + 4 x = 2

AddTerms

$(I):$ Förenkla termer

{y = 8 x = 2

Lösningen till ekvationssystemet är

{x = 2 y = 8 .

Metod

Additionsmetoden

Denna metod går ut på att man gör sig av med en variabel genom att addera ekvationerna ledvis. Exempelvis kan ekvationssystemet

{y - 4 = 2 x 9 x + 6 = 3 y

lösas med additionsmetoden på följande sätt.

Arrangera om ekvationerna

För att lättare kunna jämföra de två ekvationerna kan det vara bra att arrangera om termerna så att de står i samma ordning. I exemplet flyttas variabeltermerna till vänsterleden och konstanttermerna till högerleden.

{y - 4 = 2 x 9 x + 6 = 3 y (I) (II)

SubEqn

$(I):$ $VL - y = HL - y$

{- 4 = 2 x - y 9 x + 6 = 3 y

RearrangeEqn

$(I):$ Omarrangera ekvation

{2 x - y = - 4 9 x + 6 = 3 y

SubEqn

$(II):$ $VL - 6 = HL - 6$

{2 x - y = - 4 9 x = 3 y - 6

SubEqn

$(II):$ $VL - 3 y = HL - 3 y$

{2 x - y = - 4 9 x - 3 y = - 6

Multiplicera med konstant

Nu vill man att koefficienten framför någon av variablerna ska vara likadan i båda ekvationerna, fast med omvänt tecken. Det gör man genom att multiplicera båda led i någon av ekvationerna med lämpliga konstanter. I exemplet multipliceras ekvation (I) med $- 3$ så att termen $3 y$ finns i ekvation (I) och $- 3 y$ i ekvation (II).

{- 6 x + 3 y = 12 9 x - 3 y = - 6

Addera ekvationerna

Ekvationerna adderas ledvis. Det innebär att vänsterledet för en ekvation adderas till vänsterledet för den andra och högerledet för den ena adderas till högerledet för den andra. Här adderas den andra ekvationen till den första.

Detta ger ekvationssystemet

{3 x = 6 9 x - 3 y = - 6 .

Lös den nya ekvationen

Nu kan man lösa den nya ekvationen för att bestämma den ena variabeln:

3 x = 6 \Leftrightarrow x = 2 .

Då får man

{x = 2 9 x - 3 y = - 6 .

Sätt in värdet i valfri ursprungsekvation

Sätt in värdet på den nu kända variabeln i någon av ursprungsekvationerna. Här sätts $x = 2$ in i ekvation (II).

{x = 2 9 x - 3 y = - 6 (I) (II)

Substitute

$(II):$ $x = 2$

{x = 2 9 \cdot 2 - 3 y = - 6

Multiply

$(II):$ Multiplicera faktorer

{x = 2 18 - 3 y = - 6

SubEqn

$(II):$ $VL - 18 = HL - 18$

{x = 2 - 3 y = - 24

DivEqn

$(II):$ $VL / (- 3) = HL / (- 3)$

{x = 2 y = 8

Lösningen till ekvationssystemet är

{x = 2 y = 8 .

Lös ekvationssystemet algebraiskt

fullscreen

Lös ekvationssystemet med valfri algebraisk metod.

{2 x + 6 y = - 6 5 x + 2 y = 11

Visa Lösning

Här fungerar båda metoder ganska bra, men vi väljer att lösa systemet med substitutionsmetoden. Vi börjar med att lösa ut

x

ur den första ekvationen.

{2 x + 6 y = - 6 5 x + 2 y = 11 (I) (II)

SubEqn

$(I):$ $VL - 6 y = HL - 6 y$

{2 x = - 6 y - 6 5 x + 2 y = 11

DivEqn

$(I):$ $VL / 2 = HL / 2$

{x = - 3 y - 3 5 x + 2 y = 11

Vi sätter sedan in uttrycket för

x

i den andra ekvationne och löser ut

y

{x = - 3 y - 3 5 x + 2 y = 11

Substitute

$(II):$ $x = - 3 y - 3$

{x = - 3 y - 3 5 (- 3 y - 3) + 2 y = 11

Distr

$(II):$ Multiplicera in $5$

{x = - 3 y - 3 - 15 y - 15 + 2 y = 11

SimpTerms

$(II):$ Förenkla termer

{x = - 3 y - 3 - 13 y - 15 = 11

AddEqn

$(II):$ $VL + 15 = HL + 15$

{x = - 3 y - 3 - 13 y = 26

DivEqn

$(II):$ $VL / (- 13) = HL / (- 13)$

{x = - 3 y - 3 y = - 2

Nu när

y

är känt kan vi sättas in det i den första ekvationen för att beräkna

x

{x = - 3 y - 3 y = - 2

Substitute

$(I):$ $y = - 2$

{x = - 3 \cdot (- 2) - 3 y = - 2

Multiply

$(I):$ Multiplicera faktorer

{x = 6 - 3 y = - 2

SubTerm

$(I):$ Förenkla termer

{x = 3 y = - 2

Lösningen till ekvationssystemet är alltså

{x = 3 y = - 2 .

Begrepp

Ekvationssystem med fler än två okända

Lösningsmetoderna för ekvationssystem är inte begränsade till två ekvationer och två okända värden, utan gäller även för ekvationssystem med fler ekvationer och okända. För att ett sådant ekvationssystem ska kunna lösas måste det finnas lika många ekvationer som okända värden. Ekvationssystemet nedan har tre ekvationer och tre okända värden:

x

y

och

z .

⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ x + y + z = 6 - x + 2 y - z = 0 x - y + 3 z = 8

I dessa fall kan man använda substitutionsmetoden. På samma sätt som för två ekvationer löser man först ut en variabel ur en av ekvationerna. Uttrycket man får då sätter man in i de andra, vilka skapar ett nytt ekvationssystem med bara två okända som kan lösas på valfritt sätt. Värdena på de variablerna används sedan för att beräkna den tredje. Man kan även använda additionsmetoden. I det här fallet kan man addera första och andra ekvationen för att få en ekvation som enbart innehåller den okända variabeln

y .

Lös ekvationssystemet med tre okända variabler

fullscreen

Lös ekvationssystemet.

⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ 2 x + y - 3 z = 1 4 x - y - 5 z = 9 x + 2 y + z = 0

Vi väljer att lösa ekvationssystemet med substitutionsmetoden och börjar med att lösa ut en variabel ur en av ekvationerna. Det spelar ingen roll vilken variabel eller vilken ekvation, så vi väljer att lösa ut

x

ur den tredje ekvationen.

Visa Lösning

⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ 2 x + y - 3 z = 1 4 x - y - 5 z = 9 x + 2 y + z = 0 (I) (II) (III)

SubEqn

$(III):$ $VL - 2 y = HL - 2 y$

⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ 2 x + y - 3 z = 1 4 x - y - 5 z = 9 x + z = - 2 y

SubEqn

$(III):$ $VL - z = HL - z$

⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ 2 x + y - 3 z = 1 4 x - y - 5 z = 9 x = - 2 y - z

Vi sätter in detta uttryck i båda de andra ekvationerna och förenklar.

⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ 2 x + y - 3 z = 1 4 x - y - 5 z = 9 x = - 2 y - z

$(I), (II):$ $x = - 2 y - z$

⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ 2 (- 2 y - z) + y - 3 z = 1 4 (- 2 y - z) - y - 5 z = 9 x = - 2 y - z

$(I), (II):$ Multiplicera in $2 & 4$

⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ 2 (- 2 y) - 2 \cdot z + y - 3 z = 1 4 (- 2 y) - 4 \cdot z - y - 5 z = 9 x = - 2 y - z

$(I), (II):$ Multiplicera faktorer

⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ - 4 y - 2 z + y - 3 z = 1 - 8 y - 4 z - y - 5 z = 9 x = - 2 y - z

$(I), (II):$ Förenkla termer

⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ - 3 y - 5 z = 1 - 9 y - 9 z = 9 x = - 2 y - z

DivEqn

$(II):$ $VL / 9 = HL / 9$

⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ - 3 y - 5 z = 1 - y - z = 1 x = - 2 y - z

Nu har

x

försvunnit från ekvation (I) och (II), som tillsammans bildar ett ekvationssystem med bara två okända:

{- 3 y - 5 z = 1 - y - z = 1 .

Vi väljer att lösa detta med additionsmetoden, men det hade också gått bra med substitutionsmetoden. Genom att byta tecken i den nedre ekvationen och därefter multiplicera den med

3

kommer

y

-termerna att ta ur varandra vid additionen.

{- 3 y - 5 z = 1 - y - z = 1 (I) (II)

ChangeSigns

$(II):$ Byt tecken

{- 3 y - 5 z = 1 y + z = - 1

MultEqn

$(II):$ $VL \cdot 3 = HL \cdot 3$

{- 3 y - 5 z = 1 3 y + 3 z = - 3

SysEqnAdd

$(I):$ Addera $(II)$

{- 3 y - 5 z + 3 y + 3 z = 1 - 3 3 y + 3 z = - 3

SimpTerms

$(I):$ Förenkla termer

{- 2 z = - 2 3 y + 3 z = - 3

DivEqn

$(I):$ $VL / (- 2) = HL / (- 2)$

{z = 1 3 y + 3 z = - 3

Substitute

$(II):$ $z = 1$

{z = 1 3 y + 3 \cdot 1 = - 3

Multiply

$(II):$ Multiplicera faktorer

{z = 1 3 y + 3 = - 3

SubEqn

$(II):$ $VL - 3 = HL - 3$

{z = 1 3 y = - 6

DivEqn

$(II):$ $VL / 3 = HL / 3$

{z = 1 y = - 2

Nu har vi löst ut

y

och

z

. Vi sätter vi in dem i ekvation (III) för att till sist lösa ut

x

⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ z = 1 y = - 2 x = - 2 y - z (I) (II) (III)

SubstituteII

$(III):$ $y = - 2$ , $z = 1$

⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ z = 1 y = - 2 x = - 2 (- 2) - 1

Multiply

$(III):$ Multiplicera faktorer

⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ z = 1 y = - 2 x = 4 - 1

SubTerm

$(III):$ Förenkla termer

⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ z = 1 y = - 2 x = 3

Nu har vi löst ut alla okända variabler och lösningen är alltså

⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ x = 3 y = - 2 z = 1 .

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

{{ article.displayTitle }}

Exempel

Ställ upp ekvationssystemet

Exempel

Lös ekvationssystemet algebraiskt

Exempel

Lös ekvationssystemet med tre okända variabler