body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Rekommenderade

Tester

Ett fel uppstod, försök igen senare!

eKurser /

Kapitel {{ article.chapter.number }}

{{ article.number }}.

Visa mindre Visa mer

Inställningar & verktyg för lektion

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

Kreditlista Bilder

{{ item.file.title }}
{{ presentation }}

Inga inlägg om filrättigheter hittades

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Andragradsekvation
Lösa enkla andragradsekvationer
Nollproduktmetoden

Utforska

Identifiera ekvationer med reella lösningar

Tänk på tre andragradsekvationer. Vilka av ekvationerna har lösningar som är reella tal?

Andragradsekvationer: 3x^2=75, -4x^2=0, x^2+9=0

Kom ihåg att kvadratroten ur ett negativt tal inte är ett reellt tal.

Koncept

Andragradsekvation

En andragradsekvation är en ekvation där det finns en $x^{2} -$ term men inga termer av högre grad.

a x^{2} + b x + c = 0

Villkor: $a \neq = 0$

Dessa har noll, en eller två lösningar och det finns flera lösningsmetoder för att bestämma dem. Exempelvis finns det en för att lösa enkla andragradsekvationer som

x^{2} = 144

och för mer komplicerade ekvationer kan man använda nollproduktmetoden,

p q -

formeln eller kvadratkomplettering. I denna lektion kommer kvadratrotsmetoden och nollproduktmetoden att behandlas.

Metod

Lösa enkla andragradsekvationer

När en andragradsekvation endast innehåller

x^{2} -

termer och konstanttermer, t.ex.

5 x^{2} - 500 = 0,

går den att lösa med hjälp av kvadratrötter. Denna metod kallas också för kvadratrotsmetoden.

Lös ut

x^{2}

Börja med att lösa ut

x^{2}

så att det står ensamt.

5 x^{2} - 500 = 0

AddEqn

$VL + 500 = HL + 500$

5 x^{2} = 500

DivEqn

$VL / 5 = HL / 5$

x^{2} = 100

Dra kvadratroten ur båda led

När

x^{2}

står ensamt drar man kvadratroten ur båda led.

x^{2} = 100 \Rightarrow x^{2} = 100

Eftersom kvadraten av ett negativt tal blir positivt kan andragradsekvationer ha två lösningar. Om man slår in en kvadratrot på räknare kommer man bara att få ett positivt tal eftersom kvadratroten ur ett tal, per definition, är positiv. Den negativa lösningen måste man därför komma ihåg att lägga till själv:

x^{2} = 100 \Leftrightarrow x = \pm 100 .

Kvadratroten ur

100

är

10,

så ekvationens lösningar är

x = - 10

och

x = 10 .

Övning

Lösa enkla andragradsekvationer

Lös följande enkla andragradsekvationer genom att ta kvadratrötter. Om det behövs, avrunda lösningarna till två decimaler.

Enkla andragradsekvationer genereras slumpmässigt

Metod

Nollproduktmetoden

Om en ekvation är skriven som en produkt och är lika med

0

kan den lösas med hjälp av nollproduktmetoden. T.ex. kan ekvationen

(3 x - 9) (x + 5) = 0

lösas med denna metod, vilken motiveras av att minst en faktor måste vara

0

för att produkten ska bli

0 .

Likställ varje faktor med

0

Genom att sätta varje faktor lika med

0

får man två nya, separata ekvationer:

3 x - 9 = 0 och x + 5 = 0 .

Lös ekvationerna

Man löser nu ekvationerna för att bestämma det eller de

x -

värden som gör att någon av faktorerna blir

0,

eftersom dessa värden även löser ursprungsekvationen.

3 x - 9 = 0 x + 5 = 0 \Leftrightarrow x = 3 \Leftrightarrow x = - 5

Lösningarna är alltså

x = 3

och

x = - 5 .

Om ekvationen inte är en produkt måste man faktorisera innan det går att använda nollproduktmetoden.

Exempel

Lös andragradsekvationen med nollproduktmetoden

Lös ekvationen

2 x^{2} + 7 x = 0 .

Ledtråd

Faktorisera ekvationens vänstra sida. Sätt sedan varje faktor lika med noll och lös för variabeln med hjälp av nollproduktmetoden.

Lösning

Eftersom båda termerna innehåller ett

x

kan vi bryta ut det.

2 x^{2} + 7 x = 0

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

x \cdot 2 x + x \cdot 7 = 0

FactorOut

Bryt ut $x$

x (2 x + 7) = 0

För att högerledet ska bli

0

måste antingen

x

eller

2 x + 7

vara lika med noll.

x (2 x + 7) = 0

ZeroProdProp

Använd nollproduktmetoden

x = 0 2 x + 7 = 0 (I) (II)

SubEqn

$(II):$ $VL - 7 = HL - 7$

x = 0 2 x = - 7

DivEqn

$(II):$ $VL / 2 = HL / 2$

x_{1} = 0 x_{2} = - 3, 5

Ekvationens lösningar är alltså

x = 0

och

x = - 3, 5 .

Laddar innehåll

{{ article.displayTitle }}

Förkunskaper

Ledtråd

Lösning