Utforska Andragradsekvationer: Formler, Exempel och Lösningar.

Videolektion

Mathleaks

Minispelare aktiv

Lösningarna till en andragradsekvation på formen

a x^{2} + b x + c = 0

kan tolkas grafiskt som nollställen till andragradsfunktionen

y = a x^{2} + b x + c .

Om funktionen har två nollställen har ekvationen

a x^{2} + b x + c = 0

två lösningar, och har funktionen ett nollställe har ekvationen en lösning (även kallad dubbelrot). Saknar funktionen nollställen har ekvationen inga reella lösningar.

Med hjälp av

p q

-formeln kan man avöra antalet lösningar till en andragradsfunktion genom att bestämma tecknet på diskriminanten, dvs. det som står under rottecknet i

p q

-formeln:

(\frac{p}{2})^{2} - q .

Är diskriminanten positiv har ekvationen två lösningar. Är den

0

har ekvationen en lösning, och är den negativ får man kvadratroten ur ett negativt tal vilket innebär att det saknas reella lösningar.

Avgör antalet lösningar till andragradsekvationerna

fullscreen

Avgör hur många reella lösningar ekvationerna har utan att faktiskt bestämma rötterna:

x^{2} - 2 x + 9 = 0 och x^{2} - 4 x + 4 = 0 .

Visa Lösning

Vi tittar på en ekvation i taget.

Exempel

$x^{2} - 2 x + 9 = 0$

Man kan avgöra antalet lösningar till ekvationen genom att undersöka diskriminanten, alltså det som står under rottecknet i

p q

-formeln.

x^{2} - 2 x + 9 = 0

UsePQ

Använd $p q$ -formeln: $p = - 2, q = 9$

x = - \frac{- 2}{2} \pm (\frac{- 2}{2})^{2} - 9

Beroende på diskriminantens tecken kan vi avgöra om ekvationen har två, en eller inga reella rötter. Vi beräknar värdet.

(\frac{- 2}{2})^{2} - 9

CalcQuot

Beräkna kvot

(- 1)^{2} - 9

CalcPow

Beräkna potens

1 - 9

SubTerm

Förenkla termer

- 8

Diskriminanten är negativ, så ekvationen har inga reella lösningar.

Exempel

$x^{2} - 4 x + 4 = 0$

Vi fortsätter likadant och ställer upp

p q

-formeln.

x^{2} - 4 x + 4 = 0

UsePQ

Använd $p q$ -formeln: $p = - 4, q = 4$

x = - \frac{- 4}{2} \pm (\frac{- 4}{2})^{2} - 4

Nu tittar vi på uttrycket under rottecknet.

(\frac{- 4}{2})^{2} - 4

CalcQuot

Beräkna kvot

(- 2)^{2} - 4

CalcPow

Beräkna potens

4 - 4

SubTerm

Förenkla termer

0

Diskriminantens värde är $0,$ vilket betyder att ekvationen har en lösning. Det brukar kallas att ekvationen har en dubbelrot.

Begrepp

Icke-reella rötter till andragradsekvationer

Om en andragradsekvation saknar reella lösningar kan man uttrycka lösningarna som s.k. komplexa tal (betecknas ofta $z$ ). För detta ändamål har man infört ett nytt tal: den imaginära enheten som betecknas $i .$ Det definieras som det tal vars kvadrat är $- 1 .$

$i^{2} = - 1$

En följd av detta är att

i = - 1 .

Med detta kan man uttrycka roten ur alla negativa tal med hjälp av

i .

Har man löst en andragradsekvation och fått rötterna

x = \pm - 25,

kan man skriva

- 25

som ett imaginärt tal:

- 25 = 25 i^{2} = (5 i)^{2} = 5 i .

Ekvationens rötter är alltså

x = \pm 5 i .

Denna typ av omskrivning kan formuleras som ett generellt samband som säger att kvadratroten ur ett negativt tal är roten ur talet multiplicerat med

i .

$- a = a \cdot i$

Villkor: $a > 0$

Ett tal som är sammansatt av både en reell del och en imaginär del, t.ex.

z = 3 + 5 i

kallas för ett komplext tal eftersom ordet komplex betyder sammansatt.

Lös en andragradsekvation med imaginära rötter

fullscreen

Lös ekvationen $x^{2} + 16 = 0$ .

Visa Lösning

Detta är en enkel andragradsekvation, så vi löser ut

x^{2}

och drar roten ur båda led.

x^{2} + 16 = 0

SubEqn

$VL - 16 = HL - 16$

x^{2} = - 16

SqrtEqn

$VL = HL$

x = \pm - 16

Nu har vi kvadratroten ur ett negativt tal i högerledet, så rötterna blir imaginära.

x = \pm - 16

SqrtNegToSqrtI

$- a = a \cdot i$

x = \pm 16 \cdot i

CalcRoot

Beräkna rot

x = \pm 4 i

Ekvationens lösningar är alltså

x = - 4 i

och

x = 4 i

Räkna med komplexa tal

fullscreen

Utför följande beräkningar:

- 36 (8 i)^{2} (2 + 4 i) + (1 - i)

Visa Lösning

Vi utför beräkningarna en i taget.

\underline{- 36}

Vi använder vanliga räknelagar samt definitionen av det imaginära talet

i

för att förenkla.

- 36

SqrtNegToSqrtI

$- a = a \cdot i$

36 \cdot i

CalcRoot

Beräkna rot

6 i

\underline{(8 i)^{2}}

I nästa tal utnyttjar vi att

i^{2}

är lika med

- 1 .

(8 i)^{2}

PowProdII

$(a b)^{c} = a^{c} b^{c}$

64 i^{2}

IDefPow

$i^{2} = - 1$

64 \cdot (- 1)

Multiply

Multiplicera faktorer

- 64

Kvadraten av ett imaginärt tal blir alltså ett negativt reellt tal.

\underline{(2 + 4 i) + (1 - i)}

I sista talet adderar vi realdelarna för sig och imaginärdelarna för sig.

(2 + 4 i) + (1 - i)

RemovePar

Ta bort parentes

2 + 4 i + 1 - i

RearrangeTerms

Omarrangera termer

2 + 1 + 4 i - i

AddSubTerms

Förenkla termer

3 + 3 i

Svaren är alltså, i ordning:

6 i - 643 + 3 i .

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

{{ article.displayTitle }}

Exempel

Avgör antalet lösningar till andragradsekvationerna

Exempel

Lös en andragradsekvation med imaginära rötter

Exempel

Räkna med komplexa tal