Andragradsekvationer: Utforska Reella Rötter och Andragradsfunktioner

Videolektion

Mathleaks

Minispelare aktiv

Begrepp

Kurva

Inom matematiken är en kurva en sammanhängande "linje" i ett koordinatsystem. Egentligen är en rät linje ett specialfall — det är en kurva utan krökning.

Ett vanligt exempel på kurvor är grafer till funktioner.

Begrepp

Andragradsfunktioner och deras grafer

En andragradsfunktion är en funktion där det finns en $x^{2}$ -term men inga termer av högre grad.

$y = a x^{2} + b x + c$

$a, b$ och $c$ är reella konstanter och $a \neq = 0$ .

Begrepp

Andragradskurvan

Grafen till en andragradsfunktion kallas andragradskurva och har formen av en parabel. Det betyder att den alltid antar ett största eller minsta funktionsvärde i kurvans maximi- eller minimipunkt.

Maximi- och minimipunkt till andragradskurvor

Maximi- och minimipunkter kallas med ett gemensamt namn för extrempunkter. Vilken sorts extrempunkt kurvan har avgörs av tecknet på koefficienten framför $x^{2} .$ Man kan komma ihåg detta med en minnesregel som kopplar ihop kurvans utseende med en glad eller sur mun.

Exempelvis har grafen till

y = 2 x^{2} - 3 x + 1

en minimipunkt och

y = - 4 x^{2} + 1

en maximipunkt.

Har andragradskurvan ett minimum eller maximum?

fullscreen

Avgör om graferna till följande andragradsfunktioner har en minimi- eller maximipunkt utan att rita upp dem.

y = - 5 x^{2} + 15 y = x^{2} - 2 x - 7 y = x - 2 x^{2}

Visa Lösning

Vi tittar på koefficienterna framför

x^{2} .

I första funktionsuttrycket är koefficienten

- 5

, dvs. negativ, och kurvan har därför en maximipunkt (tänk sur mun:

⌢

). I det andra fallet syns ingen koefficient, men det finns en osynlig etta där:

x^{2} = 1 \cdot x^{2} .

Koefficienten är alltså

1,

dvs. positiv (

⌣

). Kurvan har därmed en minimipunkt. I det sista funktionsuttrycket,

y = x - 2 x^{2}

, är koefficienten

- 2 .

Det ger oss en "sur kurva" (

⌢

), som alltså har en maximipunkt.

Begrepp

Symmetrilinje - andragradskurva

Om en lodrät linje ritas genom extrempunkten till en andragradskurva bildas två lika stora, spegelvända halvor på varsin sida om linjen. Linjen kallas för kurvans symmetrilinje.

Två punkter på varsin halva med samma $y$ -koordinat, t.ex. funktionens nollställen, ligger alltid på samma avstånd från symmetrilinjen. Symmetrilinjens ekvation anger vilket $x$ -värde, $a,$ som linjen ligger på.

$x_{s} = a$

Bestäm andragradsfunktionens symmetrilinje

fullscreen

Bestäm symmetrilinjen till andragradsfunktionen

y = x^{2} - 4

på två olika sätt.

Visa Lösning

Exempel

Två punkter med samma $y$ -värde

Vi väljer nollställena, som båda har

y

-värdet

0 .

Vi bestämmer dem genom att lösa andragradsekvationen

x^{2} - 4 = 0 .

x^{2} - 4 = 0

AddEqn

$VL + 4 = HL + 4$

x^{2} = 4

SqrtEqn

$VL = HL$

x = \pm 4

CalcRoot

Beräkna rot

x = \pm 2

Vi får lösningarna

x = \pm 2 .

Mittemellan dem ligger 0 så symmetrilinjen är

x_{s} = 0 .

Exempel

$p q$ -formeln

Även här sätter vi funktionsuttrycket lika med

0

och får ekvationen

x^{2} - 4 = 0,

som är på

p q

-form. Eftersom

x

-termen saknas är

p = 0 .

x^{2} - 4 = 0

UsePQ

Använd $p q$ -formeln: $p = 0, q = - 4$

x = - \frac{0}{2} \pm (\frac{0}{2})^{2} - (- 4)

Nu beräknar vi termen framför rotuttrycket:

x_{s} = - \frac{0}{2} = 0 .

Symmetrilinjen är alltså

x_{s} = 0 .

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

{{ article.displayTitle }}

Exempel

Har andragradskurvan ett minimum eller maximum?

Exempel

Bestäm andragradsfunktionens symmetrilinje