Derivata: Regler, Exempel och Förklaring på Användning

Derivata kan användas på många olika sätt, både för att lösa matematiska problem och för att beskriva verkliga situationer. Här beskrivs några sådana, bland annat hur man bestämmer ekvationen för en tangent och hur man tolkar derivator som förändringar över tid.

Metod

Bestämma en tangents ekvation med derivata

Om man vill bestämma ekvationen för den tangent som en funktions graf har i en viss punkt går det att göra med hjälp av funktionens derivata. Exempelvis kan man bestämma ekvationen för tangenten som tangerar grafen till

f (x) = 0.25 x^{2}

där

x = 2 .

Bestäm tangeringspunkten

För att bestämma tangentens ekvation behöver man känna till koordinaterna för minst en punkt på linjen, t.ex. tangeringspunkten. Genom att sätta in det kända

x

-värdet i funktionen kan motsvarande

y

-värde bestämmas. I det här fallet sätter man in alltså in

x = 2 .

f (x) = 0.25 x^{2}

Substitute

$x = 2$

f (2) = 0.25 \cdot 2^{2}

CalcPow

Beräkna potens

f (2) = 0.25 \cdot 4

Multiply

Multiplicera faktorer

f (2) = 1

Tangeringspunkten har koordinaterna

(2, 1) .

Derivera funktionen

Man behöver även veta tangentens lutning, som man får genom att bestämma derivatan för funktionen i punkten. För att kunna göra det måste man dock först derivera funktionen, som i detta fall är

f (x) = 0.25 x^{2} .

f (x) = 0.25 x^{2}

Derive

Derivera funktion

f^{'} (x) = D (0.25 x^{2})

DeriveMonomCo

$D (a x^{n}) = a \cdot n x^{n - 1}$

f^{'} (x) = 2 \cdot 0.25 x

Multiply

Multiplicera faktorer

f^{'} (x) = 0.5 x

Sätt in

x

-värdet i derivatan

Genom att sätta in

x

-värdet för tangeringspunkten i derivatan

f^{'} (x)

kan man nu bestämma tangentens lutning i tangeringspunkten. För exemplet sätts alltså

x = 2

in i

f^{'} (x) = 0.5 x .

f^{'} (x) = 0.5 x

Substitute

$x = 2$

f^{'} (2) = 0.5 \cdot 2

Multiply

Multiplicera faktorer

f^{'} (2) = 1

Tangenten i punkten där

x = 2

har alltså lutningen

1 .

Bestäm ekvationen med tangeringspunkten och derivatan

Nu känner man till en punkt på tangenten,

(2, 1),

och dess lutning,

1,

vilket innebär att man kan bestämma ekvationen för den räta linjen algebraiskt. Man kan t.ex. använda enpunktsformen till detta.

y - y_{1} = k (x - x_{1})

SubstituteValues

Sätt in värden

y - 1 = 1 (x - 2)

OneMult

$1 \cdot a = a$

y - 1 = x - 2

AddEqn

$VL + 1 = HL + 1$

y = x - 1

Tangentens ekvation är alltså

y = x - 1 .

Förklaring

Derivata som modell

Derivatan till en funktion som beskriver en verklig situation kan tolkas som en momentan förändringshastighet. Derivatan beskriver alltså hur någonting förändras. Antag exempelvis att man har en funktion $y (t)$ som ger en prognos för antalet invånare i en stad $t$ år efter att ett bostadsprojekt färdigställts.

Derivatan till denna funktion vid en viss tidpunkt $t_{0}$ skrivs $y^{'} (t_{0})$ och beskriver hur antalet invånare förändras då. Enheten för derivatan får man genom att dividera enheterna på axlarna: invånare/år. Om man känner till funktionsuttrycket kan man beräkna derivatans värde vid olika tidpunkter. Här följer tre olika exempel.

$y^{'} (1) = 6400$ : derivatan är positiv vilket ska tolkas som att befolkningen ökar med $6400$ inv/år efter $1$ år.
$y^{'} (4) = - 2900$ : derivatan är negativ vilket ska tolkas som att befolkningen minskar med $2900$ inv/år efter $4$ år.
$y^{'} (5) = 0$ : derivatan är $0$ vilket ska tolkas som att befolkningen inte förändras efter $5$ år. I det här fallet beror det på att befolkningen har nått ett tillfälligt minimum innan den återigen börjar växa till sig.

Tolka funktionen och derivatan

fullscreen

Funktionen $T (x)$ beskriver temperaturen på vatten i en kastrull $x$ minuter efter att spisplattan sattes på.

Tolka de två likheterna

T (4) = 60 och T^{'} (4) = 15 .

Visa Lösning

Vi börjar med $T (4) = 60,$ vilket innebär att funktionen ger värdet $T = 60$ om man sätter in $x = 4 .$ Eftersom funktionen anger temperaturen vid olika tidpunkter så kan $T (4) = 60$ tolkas som att vattnets temperatur är $6 0^{\circ} C$ efter $4$ minuter.

Likheten $T^{'} (4) = 15$ innebär att funktionens derivata är $15$ då $x = 4,$ vilket betyder att funktionen har lutningen $15$ i punkten $(4, 60) .$

Man kan se lutningen som en förändringshastighet med enheten $^{\circ} C / min$ , alltså $y$ -axelns enhet dividerad med $x$ -axelns enhet. Derivatan $T^{'} (4) = 15$ kan alltså tolkas som att temperaturen ökar med $1 5^{\circ} C$ /min vid tidpunkten $4$ minuter.

Tolka derivatans nollställe

fullscreen

Sträckan som en bil kör kan beskrivas med funktionen $s (t),$ där $s$ är sträckan från startpunkten i kilometer och $t$ är tiden i timmar.

Bestäm för vilket $t$ som $s^{'} (t) = 0$ och beskriv bilens rörelse för det $t$ -värdet.

Visa Lösning

Att $s^{'} (t) = 0$ betyder att derivatan är $0,$ och eftersom derivatan anger funktionens lutning söker vi de punkter på grafen där den är $0 .$ Det finns bara en sådan punkt, vid $t = 3 .$

$s^{'} (t)$ är alltså $0$ när $t = 3 .$ Tolkningen av detta är att sträckan som bilen har färdats efter $3$ timmar inte förändras i detta ögonblick. Det innebär alltså att bilen står stilla vilket är samma sak som att hastigheten är $0$ km/h. Generellt gäller att derivatan av en funktion som beskriver sträcka som funktion av tid anger hastigheten.

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

{{ article.displayTitle }}

Exempel

Tolka funktionen och derivatan

Exempel

Tolka derivatans nollställe