Areasatsen: En guide till att beräkna triangelns area

Teori

Triangelsatserna

De trigonometriska funktionerna sinus, cosinus och tangens är definierade utifrån, och används ofta i samband med, rätvinkliga trianglar. Men är de även användbara för godtyckliga trianglar?

Ja, genom att använda definitionerna för sinus och cosinus kan man härleda satser för att bestämma area, vinklar och sidor för en godtycklig triangel. Dessa brukar kallas för triangelsatserna: areasatsen, sinussatsen och cosinussatsen.

Regel

Areasatsen

Om man känner till en triangels bas och höjd kan man bestämma dess area med hjälp av areaformeln för en triangel. Ibland känner man dock inte till höjden, men om man vet två sidlängder och den mellanliggande vinkeln kan man använda areasatsen.

$Area = \frac{a b sin ( C )}{2}$

I formeln är $a$ och $b$ sidlängder i triangeln och $C$ är den vinkel som ligger mellan dem.

Det går bra att använda vilket par av sidlängder som helst så länge man känner till den mellanliggande vinkeln. Om man t.ex. känner till sidorna

b

och

c

i triangeln måste man känna till vinkeln

A .

Bevis

Bevis för areasatsen

Arean av en triangel bestäms vanligtvis med formeln $A = \frac{b h}{2},$ där $b$ är bredden på triangeln och $h$ är höjden. Även areasatsen bygger på denna formel, men $h$ bestäms med trigonometri. Beviset måste göras för två fall eftersom den mellanliggande vinkeln antingen kan vara spetsig eller trubbig.

Bevis

Mellanliggande vinkel är spetsig

Höjden delar triangeln i två rätvinkliga trianglar, där den ena har sidan

a

som hypotenusa.

Då kan man med hjälp av definitionen av sinus ställa upp ett uttryck för höjden

h .

sin (v) = \frac{Motst a ˚ ende katet}{Hypotenusa}

SubstituteExpressions

Sätt in uttryck

sin (C) = \frac{h}{a}

MultEqn

$VL \cdot a = HL \cdot a$

a sin (C) = h

RearrangeEqn

Omarrangera ekvation

h = a sin (C)

Man ersätter sedan

h

i formeln

A = \frac{b h}{2}

med detta uttryck.

A = \frac{b h}{2}

Substitute

$h = a s i n (C)$

A = \frac{b \cdot a s i n ( C )}{2}

RearrangeFac

Omarrangera faktorer

A = \frac{a b sin ( C )}{2}

Detta är areasatsen.

Bevis

Mellanliggande vinkel är trubbig

Då

C

är trubbig bevisas areasatsen lite annorlunda. Genom att förlänga triangelns bas och markera höjden

h

vinkelrätt mot den förlängda basen bildas en rätvinklig triangel.

Sidovinkeln till

C,

som är

18 0^{\circ} - C,

utgör en av vinklarna i den nya triangel som skapats. Utgår man från denna vinkel får man, enligt definitionen för sinus,

sin (18 0^{\circ} - C) = \frac{h}{a} .

Med hjälp av sambandet

sin (18 0^{\circ} - v) = sin (v)

kan man visa att även detta går att skriva om till areasatsen.

sin (18 0^{\circ} - C) = \frac{h}{a}

SinDiffToSin

$sin (18 0^{\circ} - v) = sin (v)$

sin (C) = \frac{h}{a}

MultEqn

$VL \cdot a = HL \cdot a$

a sin (C) = h

Man ersätter sedan

h

i formeln

A = \frac{b h}{2}

med detta uttryck på samma sätt som tidigare.

A = \frac{b h}{2}

Substitute

$h = a s i n (C)$

A = \frac{b \cdot a s i n ( C )}{2}

RearrangeFac

Omarrangera faktorer

A = \frac{a b sin ( C )}{2}

Q.E.D.

Bestäm arean med areasatsen

fullscreen

Bestäm triangelns area. Avrunda till en decimal.

Visa Lösning

Vi känner inte till någon höjd i triangeln. Däremot vet vi två av sidorna,

3

och

4,

samt dess mellanliggande vinkel

7 2^{\circ}

. Det betyder att vi kan använda areasatsen för att bestämma triangelns area.

Area = \frac{a b sin ( C )}{2}

SubstituteValues

Sätt in värden

Area = \frac{3 \cdot 4 \cdot sin ( 7 2 ^{\circ} )}{2}

SimpQuot

Förenkla kvot

Area = 3 \cdot 2 \cdot sin (7 2^{\circ})

UseCalc

Slå in på räknare

Area = 5.70633 \dots

RoundDec

Avrunda till $1$ decimal(er)

Area \approx 5.7

Triangelns area är ca

5.7

a.e.

Bestäm vinkeln med areasatsen

fullscreen

För en triangel $A B C$ gäller det att sidan $A B = 13.8$ cm, sidan $B C = 7.8$ cm och att arean är $45.5$ cm $^{2} .$ Hur stor kan vinkel $B$ vara som ligger mellan sidorna $A B$ och $B C$ ? Avrunda svaret till heltal.

Visa Lösning

Eftersom vi känner till arean för triangeln samt längden på sidorna omkring den vinkel vi ska bestämma kan vi använda areasatsen. Vi sätter in de kända värdena i satsen och löser sedan ut vinkel

B .

Area = \frac{a b sin ( C )}{2}

SubstituteValues

Sätt in värden

45.5 = \frac{1 3 . 8 \cdot 7 . 8 sin ( B )}{2}

Multiply

Multiplicera faktorer

45.5 = \frac{1 0 7 . 6 4 sin ( B )}{2}

SimpQuot

Förenkla kvot

45.5 = 53.82 sin (B)

RearrangeEqn

Omarrangera ekvation

53.82 sin (B) = 45.5

DivEqn

$VL / 53.82 = HL / 53.82$

sin (B) = \frac{4 5 . 5}{5 3 . 8 2}

ArcSinEqn

$arcsin (VL) = arcsin (HL)$

B = arcsin (\frac{4 5 . 5}{5 3 . 8 2})

UseCalc

Slå in på räknare

B = 57.71595 \dots^{\circ}

RoundInt

Avrunda till närmaste heltal

B \approx 5 8^{\circ}

Vinkel

B

kan alltså vara ca

5 8^{\circ} .

Vi måste dock komma ihåg att det enligt sambandet

sin (v) = sin (18 0^{\circ} - v)

alltid finns

2

vinklar på intervallet

0^{\circ} \leq v \leq 18 0^{\circ}

med samma sinusvärde. Vi bestämmer därför även vinkeln

18 0^{\circ} - B

18 0^{\circ} - 5 8^{\circ} = 12 2^{\circ} .

Den mellanliggande vinkeln

B

kan alltså vara antingen

5 8^{\circ}

eller

12 2^{\circ} .

{{ article.displayTitle }}

Triangelsatserna

Areasatsen

Bevis för areasatsen

Mellanliggande vinkel är spetsig

Mellanliggande vinkel är trubbig

Exempel

Bestäm arean med areasatsen

Exempel

Bestäm vinkeln med areasatsen

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}