Utforska Definitionsmängd och Värdemängd - Nyckel till Funktioners Begränsningar

Det kan finnas begränsningar på vilka tal man kan sätta in i funktioner respektive få ut ur dem. Man talar då om att funktioner har olika definitions- och värdemängder.

Begrepp

Definitionsmängd

Definitionsmängden, $D_{f},$ är alla de tal som är "tillåtna" att sätta in i en funktion $f .$ Det finns framförallt två skäl till att tal är förbjudna och utesluts ur definitionsmängden.

Talet ger en otillåten beräkning, t.ex. $- 1$ eller $\frac{2}{0} .$
Funktionen beskriver en viss situation. Om den exempelvis beskriver priset för $x$ äpplen fyller det inget syfte att beräkna vad $- 5$ äpplen kostar.

Definitionsmängden är ofta ett intervall. Det gäller exempelvis för funktionen

f (x) = x

som har definitionsmängden

x \geq 0

eftersom man inte kan dra kvadratroten ur ett negativt tal.

Vad är funktionens definitionsmängd?

fullscreen

Ange definitionsmängden för funktionen

f (x) = \frac{4 x}{x - 1} .

Visa Lösning

Definitionsmängden är alla

x

man kan sätta in i funktionen. Eftersom det inte är tillåtet att dividera med

0

är funktionen definierad för alla

x

utom det som gör att

x - 1

blir

0 .

Eftersom

x - 1 = 0

för

x = 1

betyder det att funktionen är definierad för alla

x

utom

1,

vilket skrivs

D_{f} : x \neq = 1 .

Begrepp

Värdemängd

Värdemängden,

V_{f},

är alla

y

-värden som kan skapas av en funktion

f .

Vissa funktioner, t.ex.

y = 2 x

, kan bilda alla funktionsvärden och har därför alla tal som värdemängd. Andra funktioner kan bara bilda vissa funktionsvärden. Exempelvis har funktionen

y = x^{2}

värdemängden

y \geq 0

eftersom kvadraten av ett tal aldrig blir negativ.

Vad är funktionens värdemängd?

fullscreen

Bestäm värdemängden för funktionen

y = x^{2} - 7 .

Visa Lösning

Värdemängden är de

y

-värden funktionen kan ge. Vi undersöker det minsta och största möjliga funktionsvärdet. Eftersom en kvadrat aldrig kan vara negativ kan

x^{2}

minst bli 0. Det leder till att det minsta värde som

y = x^{2} - 7

kan anta är

y = 0 - 7 = - 7 .

En kvadrat har däremot inga övre begränsningar så

y

kan bli hur stort som helst. Det betyder att

V_{f} : y \geq - 7 .

Metod

Bestämma definitions- och värdemängd utifrån graf

En funktions definitions- och värdemängd kan bestämmas utifrån funktionens graf. I figuren visas grafen till funktionen $f .$ Den ifyllda punkten indikerar att dess koordinater ingår i funktionens definitions- och värdemängd medan den inte ifyllda punkten anger att punktens koordinater inte ingår i definitions- och värdemängden.

För den här funktionen sträcker sig grafen i höjdled från och med $- 6$ upp till $6 .$ I sidled går kurvan från och med $- 2$ till $4 .$ Detta betyder att

D_{f} : - 2 \leq x < 4 och V_{f} : - 6 \leq y < 6 .

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

{{ article.displayTitle }}

Exempel

Vad är funktionens definitionsmängd?

Exempel

Vad är funktionens värdemängd?