Enhetscirkeln: Utforska sin och cos i trigonometri

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Enhetscirkeln
Trigonometri i enhetscirkeln
Trigonometriska samband

Förkunskaper

Koordinatsystem
Cirkel
Vinkel
Rätvinklig triangel
Trigonometriska funktioner
Arcusfunktioner

Den cirkel som har sin medelpunkt i origo och radien $1$ kallas enhetscirkeln. Låter man en punkt $P$ röra sig moturs längs med cirkelranden skapas en vinkel $v$ mellan den positiva $x -$ axeln och den radie som går ut till $P .$ Om punkten rör sig medurs från positiva $x -$ axeln låter man $v$ vara negativ.

Utforska

Undersöka punkter på en enhetscirkel

Titta på enhetscirkeln och starta animationen för att se punkter ritas längs dess kant. En rätvinklig triangel visas med en av punkterna på cirkeln. Dra denna punkt och observera hur triangeln förändras.

Tänk på följande frågor:

Hur kan du beräkna vinkeln $v$ ?
För en godtycklig vinkel $v,$ hur kan du hitta koordinaterna för punkten på enhetscirkeln?

Regel

Trigonometri i enhetscirkeln

Om man känner till vinkeln $v$ kan man bestämma koordinaterna, $(x, y),$ för punkten $P$ med hjälp av definitionerna för de trigonometriska funktionerna sinus och cosinus. Genom att dra en lodrät linje från $P$ till $x -$ axeln bildas en rätvinklig triangel tillsammans med $x -$ axeln och enhetscirkelns radie.

Längden av triangelns bas,

x,

är lika med punktens

x -

koordinat. Basen är den närliggande kateten till vinkeln

v

och hypotenusan i enhetscirkeln är alltid

1,

vilket gör att man kan utnyttja definitionen av cosinus för att uttrycka punktens

x -

koordinat:

cos (v) = \frac{N a ¨ rliggande katet}{Hypotenusa} = \frac{x}{1} = x .

På motsvarande sätt kan punktens

y -

koordinat uttryckas med definitionen för sinus:

sin (v) = \frac{Motst a ˚ ende katet}{Hypotenusa} = \frac{y}{1} = y .

Generellt gäller för alla punkter

(x, y)

på enhetscirkelns rand att

x -

koordinaten är lika med

cos (v)

och att

y -

koordinaten är

sin (v) .

$x = cos (v) och y = sin (v)$

Exempel

Bestäm punktens koordinater på enhetscirkeln

Bestäm koordinaterna för punkten $A .$ Avrunda till två decimaler.

Ledtråd

För en punkt på enhetscirkeln med vinkeln $v$ är koordinaterna $x = cos (v),$ $y = sin (v) .$

Lösning

Eftersom cirkeln i uppgiften har radien

1

och sin medelpunkt i origo är detta enhetscirkeln. Det innebär att koordinaterna för punkter på randen, t.ex. för

A,

kan uttryckas med cosinus och sinus om man känner till vinkeln

v

som bildas mellan positiva

x -

axeln och radien:

x = cos (v) och y = sin (v) .

I det här fallet är

v = 12 8^{\circ}

vilket ger oss koordinaterna

A = (cos (12 8^{\circ}), sin (12 8^{\circ})) .

Om vi slår in de trigonometriska värdena på räknaren ger det

cos (12 8^{\circ}) = - 0, 61566 \dots

och

sin (12 8^{\circ}) = 0, 78801 \dots

Avrundas dessa värden till två decimaler får vi koordinaterna

A \approx (- 0, 62, 0, 79) .

Regel

Trigonometriska samband

Man kan man visa några samband för de trigonometriska funktionerna med hjälp av bl.a. definitionen för sinus och cosinus samt symmetrin i enhetscirkeln.

Regel

tan (v) = \frac{sin ( v )}{cos ( v )}

Regel

Samband mellan tangens, sinus och cosinus

Tangensvärdet för en vinkel $v$ är lika med kvoten mellan sinusvärdet och cosinusvärdet för samma vinkel.

$tan (v) = \frac{sin ( v )}{cos ( v )}$

Vinkeln $v$ i enhetscirkeln svarar mot en punkt med koordinaterna $(cos (v), sin (v)),$ vilket också är katetlängderna på den triangel som kan ritas in mot $x -$ axeln.

Eftersom tangens för en vinkel definieras som den motstående kateten dividerat med den närliggande får man

tan (v) = \frac{Motst a ˚ ende katet}{N a ¨ rliggande katet} = \frac{sin ( v )}{cos ( v )} .

Detta är en kvot, så nämnaren får inte vara

0

. Det betyder att

tan (v)

är odefinierad för de vinklar som gör att cosinusvärdet blir

0,

t.ex.

v = 9 0^{\circ}

och

v = 27 0^{\circ} .

Regel

cos (- v) = cos (v)

Regel

Cosinusvärdet för en negativ vinkel

Cosinusvärdet för en negativ vinkel $- v$ är lika med cosinusvärdet för den positiva vinkeln $v .$

$cos (- v) = cos (v)$

Om man t.ex. ritar in vinkeln $- 6 0^{\circ}$ i enhetscirkeln vrids den lika långt som en $6 0^{\circ} -$ vinkel, men åt andra hållet. Detta leder till att man får samma $x -$ värde som för $6 0^{\circ} .$

Eftersom cosinusvärdet av en vinkel motsvarar

x -

värdet betyder det att

cos (- 6 0^{\circ}) = cos (6 0^{\circ}) .

Den negativa vinkeln

- v

representerar en rotation med

v^{\circ}

medurs, vilket är likvärdigt med att subtrahera

v

från

36 0^{\circ} .

Därför gäller att

cos (36 0^{\circ} - v) = cos (v) .

Regel

cos (v) = - cos (18 0^{\circ} - v)

Regel

Cosinusvärdet för en vinkel speglad i $y -$ axeln

Cosinusvärdet för en vinkel $v$ är lika med det negativa cosinusvärdet för vinkeln $18 0^{\circ} - v .$

cos (v) = - cos (18 0^{\circ} - v)

Om man t.ex. ritar in vinkeln $3 0^{\circ}$ i enhetscirkeln kommer det att finnas en motsvarande vinkel på andra sidan $y -$ axeln som också skapar vinkeln $3 0^{\circ},$ men mot den negativa $x -$ axeln. Eftersom båda vinklar vrids lika mycket uppåt kommer de att hamna på samma avstånd från $y -$ axeln men på motsatt sida.

Om man istället uttrycker denna vinkel från den positiva halvan av $x -$ axeln kommer den att vara $18 0^{\circ} - 3 0^{\circ} .$

Båda dessa vinklar motsvarar samma $x -$ värde, fast med omvänt tecken, och eftersom cosinusvärdet för vinklarna är lika med dessa $x -$ värden betyder det att

cos (3 0^{\circ}) = - cos (18 0^{\circ} - 3 0^{\circ}) .

Regel

cos (v + 18 0^{\circ}) = - cos (v)

Regel

Cosinusvärdet för vinkeln $v + 18 0^{\circ}$

När man ökar en vinkel med $18 0^{\circ}$ byter cosinusvärdet tecken.

$cos (v + 18 0^{\circ}) = - cos (v)$

Man kan motivera detta genom att t.ex. utgå från vinkeln $v = 6 0^{\circ} .$ Den har ett positivt cosinusvärde eftersom man läser av det på den positiva $x -$ axeln.

Om man ökar vinkeln med $18 0^{\circ}$ hamnar man på andra sidan enhetscirkeln.

Eftersom $18 0^{\circ}$ är en rak vinkel kommer punkten för $6 0^{\circ} + 18 0^{\circ}$ att hamna lika långt till vänster om $y -$ axeln som den första befinner sig till höger om den.

Punkterna har samma

x -

värde, fast med omvänt tecken, och samma gäller för motsvarande cosinusvärden. Därför byter cosinusvärdet tecken när en vinkel ökar med

18 0^{\circ} .

Regel

sin (- v) = - sin (v)

Regel

Sinusvärdet för en negativ vinkel

Sinusvärdet för en negativ vinkel $- v$ är lika med minus sinusvärdet för den positiva vinkeln $v .$

$sin (- v) = - sin (v)$

Om man t.ex. ritar in vinkeln $- 3 0^{\circ}$ i enhetscirkeln kommer den att vridas lika långt som en $3 0^{\circ} -$ vinkel, men åt andra hållet. Detta leder till att $y -$ värdet för punkten är likadant som för $3 0^{\circ}$ men negativt.

Sinusvärdet av en vinkel motsvarar

y -

värdet, så sambandet mellan

sin (- 3 0^{\circ})

och

sin (3 0^{\circ})

är alltså att de har samma storlek, men olika tecken:

sin (- 3 0^{\circ}) = - sin (3 0^{\circ}) .

Den negativa vinkeln

- v

representerar en rotation med

v

medurs, vilket är likvärdigt med att subtrahera

v

från

36 0^{\circ} .

Därför gäller att

sin (36 0^{\circ} - v) = - sin (v) .

Regel

sin (v) = sin (18 0^{\circ} - v)

Regel

Sinusvärdet för en vinkel speglad i $y -$ axeln

Sinusvärdet för en vinkel $v$ är lika med sinusvärdet för vinkeln $18 0^{\circ} - v .$

$sin (v) = sin (18 0^{\circ} - v)$

Om man istället uttrycker denna vinkel från den positiva halvan av $x -$ axeln kommer den att vara $18 0^{\circ} - 3 0^{\circ} .$

Båda dessa vinklar motsvarar samma $y -$ värde och eftersom sinusvärdet för vinklarna är lika med detta $y -$ värde betyder det att

sin (3 0^{\circ}) = sin (18 0^{\circ} - 3 0^{\circ}) .

Regel

sin (v + 18 0^{\circ}) = - sin (v)

Regel

Sinusvärdet för vinkeln $v + 18 0^{\circ}$

När man ökar en vinkel med $18 0^{\circ}$ byter sinusvärdet tecken.

$sin (v + 18 0^{\circ}) = - sin (v)$

Man kan motivera detta genom att t.ex. utgå från vinkeln $v = 6 0^{\circ} .$ Den har ett positivt sinusvärde eftersom man läser av det på den positiva $y -$ axeln.

Om man ökar vinkeln med $18 0^{\circ}$ hamnar man på andra sidan enhetscirkeln.

Eftersom $18 0^{\circ}$ är en rak vinkel kommer punkten för $6 0^{\circ} + 18 0^{\circ}$ att hamna lika långt under $x -$ axeln som den första befinner sig ovanför den.

Punkterna har samma

y -

värde, fast med omvänt tecken, och samma gäller för motsvarande sinusvärden. Därför byter sinusvärdet tecken när en vinkel ökar med

18 0^{\circ} .

Memo

Trigonometriska värden för standardvinklar – grader

Med hjälp av enhetscirkeln kan man bevisa att följande värden gäller för sinus, cosinus och tangens för standardvinklarna mellan $0^{\circ}$ och $18 0^{\circ} .$ Justera det trigonometriska förhållandet och vinkeln för att se värdet.

Trigonometriska förhållanden för märkbara vinklar

Exempel

Bestäm de trigonometriska värdena exakt

Bestäm exakta värden för de trigonometriska uttrycken.

2 cos (12 0^{\circ})

sin (- 4 5^{\circ})

\frac{sin ( 3 0 ^{\circ} )}{cos ( 1 5 0 ^{\circ} )}

Ledtråd

a Använd trigonometriska samband för att skriva om uttrycket med en standardvinkel, om det behövs. Använd sedan tabellen med exakta trigonometriska värden för standardvinklar för att bestämma uttryckets värde.

b Använd trigonometriska samband för att skriva om uttrycket med en standardvinkel, om det behövs. Använd sedan tabellen med exakta trigonometriska värden för standardvinklar för att bestämma uttryckets värde.

c Använd trigonometriska samband för att skriva om uttrycket med en standardvinkel, om det behövs. Använd sedan tabellen med exakta trigonometriska värden för standardvinklar för att bestämma uttryckets värde.

Lösning

a För att se vad uttrycken är lika med använder vi tabellen med exakta trigonometriska värden. Vinkeln

12 0^{\circ}

är en standardvinkel som ger cosinusvärdet

- \frac{1}{2} .

Vi sätter in detta i uttrycket och förenklar.

2 cos (12 0^{\circ}) = 2 (- \frac{1}{2}) = - 1

b Negativa vinklar finns inte i tabellen, så här skriver vi först om uttrycket så att det innehåller en standardvinkel. Enligt sambandet

sin (- v) = - sin (v)

är

sin (- 4 5^{\circ}) = - sin (4 5^{\circ}) .

Vinkeln

4 5^{\circ}

är en standardvinkel som ger sinusvärdet

\frac{1}{2}

vilket vi sätter in i uttrycket:

sin (- 4 5^{\circ}) = - sin (4 5^{\circ}) = - \frac{1}{2} .

c I det här fallet har vi två standardvinklar, så vi kan direkt skriva om

sin (15 0^{\circ})

som

\frac{1}{2}

och

cos (3 0^{\circ})

som

\frac{3}{2}

och förenkla.

\frac{sin ( 1 5 0 ^{\circ} )}{cos ( 3 0 ^{\circ} )}

Sin

$\ifnumequal{150}{0}{\sin\left(0^{\, \circ}\right)=0}{}\ifnumequal{150}{30}{\sin\left(30^{\, \circ}\right)=\dfrac{1}{2}}{}\ifnumequal{150}{45}{\sin\left(45^{\, \circ}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}}{}\ifnumequal{150}{60}{\sin\left(60^{\, \circ}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{}\ifnumequal{150}{90}{\sin\left(90^{\, \circ}\right)=1}{}\ifnumequal{150}{120}{\sin\left(120^{\, \circ}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{}\ifnumequal{150}{135}{\sin\left(135^{\, \circ}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}}{}\ifnumequal{150}{150}{\sin\left(150^{\, \circ}\right)=\dfrac{1}{2}}{}\ifnumequal{150}{180}{\sin\left(180^{\, \circ}\right)=0}{}\ifnumequal{150}{210}{\sin\left(210^{\, \circ}\right)=- \dfrac 1 2}{}\ifnumequal{150}{225}{\sin\left(225^{\, \circ}\right)=- \dfrac 1 {\sqrt 2}}{}\ifnumequal{150}{240}{\sin\left(240^{\, \circ}\right)=- \dfrac {\sqrt 3}2}{}\ifnumequal{150}{270}{\sin\left(270^{\, \circ}\right)=-1}{}\ifnumequal{150}{300}{\sin\left(300^{\, \circ}\right)=-\dfrac {\sqrt 3}2}{}\ifnumequal{150}{315}{\sin\left(315^{\, \circ}\right)=- \dfrac 1 {\sqrt 2}}{}\ifnumequal{150}{330}{\sin\left(330^{\, \circ}\right)=- \dfrac 1 2}{}\ifnumequal{150}{360}{\sin\left(360^{\, \circ}\right)=0}{}$

\frac{1 / 2}{cos ( 3 0 ^{\circ} )}

Cos

$\ifnumequal{30}{0}{\cos\left(0^{\, \circ}\right)=1}{}\ifnumequal{30}{30}{\cos\left(30^{\, \circ}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{}\ifnumequal{30}{45}{\cos\left(45^{\, \circ}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}}{}\ifnumequal{30}{60}{\cos\left(60^{\, \circ}\right)=\dfrac{1}{2}}{}\ifnumequal{30}{90}{\cos\left(90^{\, \circ}\right)=0}{}\ifnumequal{30}{120}{\cos\left(120^{\, \circ}\right)=- \dfrac{1}{2}}{}\ifnumequal{30}{135}{\cos\left(135^{\, \circ}\right)=- \dfrac{1}{\sqrt{2}}}{}\ifnumequal{30}{150}{\cos\left(150^{\, \circ}\right)=- \dfrac{\sqrt{3}}{2}}{}\ifnumequal{30}{180}{\cos\left(180^{\, \circ}\right)=- 1}{}\ifnumequal{30}{210}{\cos\left(210^{\, \circ}\right)=- \dfrac{\sqrt 3}2}{}\ifnumequal{30}{225}{\cos\left(225^{\, \circ}\right)=- \dfrac 1 {\sqrt 2}}{}\ifnumequal{30}{240}{\cos\left(240^{\, \circ}\right)=- \dfrac {1}2}{}\ifnumequal{30}{270}{\cos\left(270^{\, \circ}\right)=0}{}\ifnumequal{30}{300}{\cos\left(300^{\, \circ}\right)=\dfrac{1}2}{}\ifnumequal{30}{315}{\cos\left(315^{\, \circ}\right)=\dfrac 1 {\sqrt 2}}{}\ifnumequal{30}{330}{\cos\left(330^{\, \circ}\right)=\dfrac{\sqrt 3}2}{}\ifnumequal{30}{360}{\cos\left(360^{\, \circ}\right)=1}{}$

\frac{1 / 2}{3 / 2}

DivFracByFracSameDenom

$\frac{a / 2}{b / 2} = \frac{a}{b}$

\frac{1}{3}

Det exakta värdet för det trigonometriska uttrycket är alltså

\frac{sin ( 1 5 0 ^{\circ} )}{cos ( 3 0 ^{\circ} )} = \frac{1}{3} .

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

{{ article.displayTitle }}

Förkunskaper

Ledtråd

Lösning

Regel

Regel

Regel

Regel

Regel

Regel

Regel

Ledtråd

Lösning