body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

{{ 'ml-label-loading-course' | message }}

{{ toc.name }}

{{ toc.signature }}

{{ tocHeader }} {{ 'ml-btn-view-details' | message }}

{{ tocSubheader }}

{{ 'ml-toc-proceed-mlc' | message }}

{{ 'ml-toc-proceed-tbs' | message }}

Ett fel uppstod, försök igen senare!

Kapitel {{ article.chapter.number }}

{{ article.number }}.

{{ article.displayTitle }}

{{ article.intro.summary }}

Visa mindre Visa mer

{{ ability.displayTitle }}

Inställningar & verktyg för lektion

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

Kreditlista Bilder

{{ item.file.title }}
{{ presentation }}

Inga inlägg om filrättigheter hittades

Koncept

Talföljd

En talserie är en följd av tal som är ordnade enligt en viss regel. Varje tal i serien kallas en term. Till exempel kan vi titta på en talserie där varje tal är $2$ större än det föregående.

Aritmetisk sekvens: 2, 4, 6, 8, 10... med en gemensam skillnad på 2.

Här är skillnaden mellan den första och andra termen samma som skillnaden mellan den andra och tredje, och så vidare. Denna skillnad kallas för den gemensamma differensen i talserien. Den gemensamma differensen kan också vara negativ. Titta på följande sekvens där värdena minskar:

Aritmetisk sekvens: 54, 51, 48, 45, 42, ... med en gemensam skillnad på -3.

Beroende på antalet termer kan en talserie vara ändlig eller oändlig. Eftersom det inte är möjligt att lista alla element i en oändlig serie är det vanligt att sätta tre punkter efter några termer för att indikera att serien fortsätter oändligt baserat på ett specifikt mönster.

Mönstret i en sekvens är viktigt för att förstå hur den fungerar och vilka egenskaper den har. Därför brukar man ofta gruppera sekvenser efter vilket mönster de följer. Två vanliga typer av sekvenser är aritmetiska sekvenser och geometriska sekvenser.

Regel

Geometrisk talföljd

En geometrisk talföljd byggs upp genom att varje element multipliceras med samma tal $k$ för att få nästa element. Talet $k$ kan t.ex. vara $2,$ så att varje tal i följden är dubbelt så stort som det förra.

Precis som i andra följder brukar första talet kallas $a_{1},$ nästa $a_{2}$ osv.

Talet $k$ brukar kallas följdens kvot. Det heter så eftersom $k$ kan bestämmas genom att ta två intilliggande tal i följden och dividera dem: det senare delat på det föregående.

$k = \frac{a _{n}}{a _{n - 1}}$

Regel

Formel

Element

a_{3}

ligger två steg bort från startvärdet

a_{1},

och därför ska

a_{1}

multipliceras med

k

två gånger för att ge

a_{3} .

Samma resonemang kan användas för vilket

a_{n}

som helst i följden:

a_{n}

ligger

n - 1

steg bort från

a_{1},

så

a_{1}

multipliceras med

k

precis så många gånger.

$a_{n} = a_{1} \cdot k^{n - 1}$

Beräkna det $n$ :te värdet i talföljden

fullscreen

Beräkna det tolfte elementet i den oändliga geometriska talföljden

4, 12, 36, 108, \dots

Visa Lösning

Vi börjar med att undersöka vad kvoten

k

mellan ett element och det närmast föregående är. Eftersom vi får givet att talföljden är geometrisk och kvoten i en sådan är konstant räcker det med att dividera t.ex. de två första elementen:

\frac{1 2}{4} = 3 .

Kvoten är alltså

3

och vi ska nu bestämma det tolfte elementet. Det första elementet,

a_{1}

, är känt vilket betyder att vi kan ta fram en formel för talföljden:

a_{n} = a_{1} \cdot k^{n - 1} .

Vi sätter in

a_{1} = 4,

k = 3

och

n = 12 .

a_{n} = a_{1} \cdot k^{n - 1}

SubstituteValues

Sätt in värden

a_{12} = 4 \cdot 3^{12 - 1}

Subtrahera term

a_{12} = 4 \cdot 3^{11}

Slå in på räknare

a_{12} = 708588

Det tolfte elementet i talföljden är alltså

708588 .

Regel

Geometrisk summa

Summan av de $n$ första talen i en geometrisk talföljd kallas för en geometrisk summa. Den skrivs ofta:

s_{n} = a + a k + a k^{2} + \dots + a k^{n - 1},

där

a

är första talet,

k

är kvoten mellan två intilliggande tal och

n

är antalet termer. Ett exempel är följande geometriska summa som består av de fyra första elementen i den geometriska talföljden

a_{n} = 700 \cdot 1 . 5^{n - 1}

:

700 + 700 \cdot 1.5 + 700 \cdot 1 . 5^{2} + 700 \cdot 1 . 5^{3} .

Man kan beräkna summan genom att addera termerna, en i taget. Alternativt, om man känner till värdena

a,

k,

och

n

kan man använda en formel.

Regel

a + a k + \dots + a k^{n - 1} = \frac{a ( k ^{n} - 1 )}{k - 1} k \neq = 1

Man kan motivera formeln med hjälp av en geometrisk summa där t.ex. $n = 4$ :

s_{4} = a + a k + a k^{2} + a k^{3} .

Om man multiplicerar ekvationen med kvoten

k

får man en ny ekvation:

s_{4} \cdot k = a k + a k^{2} + a k^{3} + a k^{4} .

Genom att subtrahera den första ekvationen från den andra kan man få bort ett antal termer från högerledet i ekvationen.

s_{4} = a + a k + a k^{2} + a k^{3} s_{4} \cdot k = a k + a k^{2} + a k^{3} + a k^{4} (I) (II)

$(II):$ Subtrahera $(I)$

s_{4} = a + a k + a k^{2} + a k^{3} s_{4} \cdot k - s_{4} = a k + a k^{2} + a k^{3} + a k^{4} - (a + a k + a k^{2} + a k^{3})

$(II):$ Ta bort parentes & byt tecken

s_{4} = a + a k + a k^{2} + a k^{3} s_{4} \cdot k - s_{4} = a k + a k^{2} + a k^{3} + a k^{4} - a - a k - a k^{2} - a k^{3}

$(II):$ Förenkla termer

s_{4} = a + a k + a k^{2} + a k^{3} s_{4} \cdot k - s_{4} = a k^{4} - a

Nu kan man fokusera på den andra ekvationen och lösa ut $s_{4} .$

s_{4} \cdot k - s_{4} = a k^{4} - a

Bryt ut $s_{4}$

s_{4} (k - 1) = a k^{4} - a

$VL / (k - 1) = HL / (k - 1)$

s_{4} = \frac{a k ^{4} - a}{k - 1}

Bryt ut $a$

s_{4} = \frac{a ( k ^{4} - 1 )}{k - 1}

Men $s_{4}$ var ju från början definierad som $a + a k + a k^{2} + a k^{3} .$ Därför kan man skriva likheten

a + a k + a k^{2} + a k^{3} = \frac{a ( k ^{4} - 1 )}{k - 1},

vilket är samma sak som man får om man sätter in

n = 4

i den generella formeln för summan. Motsvarande motivering kan också göras som ett generellt bevis för

n

stycken termer.

Beräkna den geometriska summan

fullscreen

Beräkna den geometriska summan

80 + 80 \cdot 1.5 + 80 \cdot 1 . 5^{2} + 80 \cdot 1 . 5^{3} .

Visa Lösning

Formeln för att beräkna en geometrisk summa är:

a + a k + a k^{2} + \dots + a k^{n - 1} = \frac{a ( k ^{n} - 1 )}{k - 1} .

Det första talet är

a = 80

och kvoten mellan två intilliggande element är

k = 1.5 .

I formeln står

n

för antalet termer och om vi räknar dessa ser vi att den består av

4

termer, så

n = 4

. Vi sätter in våra värden i formeln och förenklar.

s_{n} = \frac{a ( k ^{n} - 1 )}{k - 1}

SubstituteValues

Sätt in värden

s_{4} = \frac{8 0 ( 1 . 5 ^{4} - 1 )}{1 . 5 - 1}

Subtrahera term

s_{4} = \frac{8 0 ( 1 . 5 ^{4} - 1 )}{0 . 5}

Förenkla kvot

s_{4} = 160 (1 . 5^{4} - 1)

Slå in på räknare

s_{4} = 650

Summan är alltså lika med

650 .

{{ grade.displayTitle }}

Laddar innehåll