body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Rekommenderade

Tester

Ett fel uppstod, försök igen senare!

eKurser /

( Ma 1b , Ma 1c ) /

Kapitel {{ article.chapter.number }}

{{ article.number }}.

Visa mindre Visa mer

Inställningar & verktyg för lektion

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

Kreditlista Bilder

{{ item.file.title }}
{{ presentation }}

Inga inlägg om filrättigheter hittades

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Potensfunktion
Exponentialfunktion
Grafisk lösning

Teori

Potensfunktion

Om funktionsuttrycket för en funktion innehåller en potens på formen $x^{a}$ säger man att det är en potensfunktion. Ett generellt sätt att ange en potensfunktion är med en koefficient $C$ framför potensen.

$y = C \cdot x^{a}$

Graferna för några grundläggande potensfunktioner visas nedan.

Exempel

Vilka är potensfunktioner?

Vilka av dessa funktioner är potensfunktioner?

Ledtråd

Potensfunktioner har alltid det okända i basen.

Lösning

Potensfunktioner har alltid det okända i

basen,

dvs. skrivs på formen

y = C \cdot x^{a} .

Den första funktionen har det okända i exponenten, och är därför inte en potensfunktion.

y = 1 5^{x} \times

Andra funktionen är en potensfunktion eftersom den innehåller en term som är en potens med okänd bas.

y = x^{2} ✓

Den tredje funktionen ser kanske inte ut som en potensfunktion, men eftersom kvadratroten ur är samma sak som upphöjt till en halv kan vi skriva om den enligt följande.

y = x = x^{1 / 2} ✓

Därför är även den en potensfunktion. Även den sista funktionen kan skrivas om med potenslagen

\frac{1}{a ^{b}} = a^{- b} .

y = \frac{1}{x ^{3}} = x^{- 3} ✓

Alltså är alla utom den första potensfunktioner.

Övning

Arbeta med exponentiella funktioner

Den följande appen frågar antingen efter att utvärdera en potensfunktion vid ett givet värde eller att bestämma konstantens värde.

Teori

Exponentialfunktion

Funktioner som innehåller uttryck på formen $a^{x},$ alltså där variabeln $x$ finns i exponenten, kallas exponentialfunktioner. Generellt skrivs en exponentialfunktion på följande sätt.

$y = C \cdot a^{x}$

Koefficienten $C$ anger det $y -$ värde där funktionens graf skär $y -$ axeln, vilket också kan tolkas som funktionens startvärde. Basen $a$ i potensen kan tolkas som en förändringsfaktor. För båda dessa konstanter finns det villkor som anger vilka värden de får anta.

C a - startv \ddot{a} rde - f \ddot{o} r \ddot{a} ndringsfaktor

Koefficienten $C$ får inte vara noll eftersom det skulle ge en vågrät linje linje längs med $y = 0$ , vilket då inte längre skulle vara en exponentialfunktion. Multipliceras $a^{x}$ med $0$ blir ju produkten $0$ oavsett potensens värde.

Graph of y=C*2^x where the value of 'C' can be changed from -2.5 to 2.5

Konstanten

a

får inte vara negativ eftersom funktionen då ger odefinierade resultat för vissa

x -

värden. T.ex. skulle det inte gå att upphöja ett negativt

a

till

x = \frac{1}{2},

eftersom det är samma sak som att dra kvadratroten ur

a,

vilket inte går för ett negativt tal. Det ger villkoret

a \geq 0 .

Vidare ger

a = 0

och

a = 1

inte exponentialfunktioner utan vågräta linjer. När

a = 0

är funktionen alltid lika med

0,

vilket ger en vågrät linje vid

y = 0,

och när

a = 1

får man en vågrät linje längs med startvärdet

C

eftersom

1^{x} = 1,

oavsett exponentens värde. Det ger villkoren

a \neq = 0 och a \neq = 1 .

Dessa villkor kan sammanfattas som

a > 0

och

a \neq = 1 .

Graph of y=2*a^x where the value of 'a' can be changed from 0.1 to 2

Grafen för en exponentiell funktion är alltid ökande eller minskande, beroende på värdena av $C$ och $a .$

Graph of y=a*b^x for a-values less than and greater than 0, and for b-values less than and greater than 1.

Exempel

Ställ upp en exponentialfunktion

På en ö nära Nya Zeeland bor idag $1250$ tofspingviner. Tofspingvinen är utrotningshotad, och man beräknar att antalet på ön kommer att minska med $11, 5 %$ varje år.

Ställ upp en exponentialfunktion som beskriver hur antalet tofspingviner,

y,

kommer att minska, och låt

x

vara antal år efter idag.

Ledtråd

En exponentialfunktion kan skrivas på formen $y = C \cdot a^{x} .$

Lösning

En exponentialfunktion kan skrivas på formen

y = C \cdot a^{x},

där

C

är startvärdet och

a

är förändringsfaktorn. Vårt startvärde är antalet tofspingviner idag, dvs.

C = 1250 .

Detta ger

y = 1250 \cdot a^{x} .

En minskning på

11, 5 %

innebär att det varje år finns kvar

100 - 11, 5 = 88, 5 %

av pingvinerna från föregående år. Förändringsfaktorn är alltså

a = 0, 885

vilket ger oss funktionen

y = 1250 \cdot 0, 88 5^{x},

där

y

är antal tofspingviner

x

år efter idag.

Exempel

Vad är startvärdet i exponentialfunktionen?

Funktionen $N (t) = 1200 \cdot 2^{t},$ beskriver antalet bakterier i en kultur efter $t$ minuter.

Hur många fanns det från början?

Ledtråd

I en exponentialfunktion $y = C \cdot a^{x}$ är koefficienten $C$ startvärdet.

Lösning

Vi kan välja att utgå ifrån formeln för en exponentialfunktion:

y = C \cdot a^{t} .

När funktionen står på den här formen är

C

startvärdet. I vår funktion är

C = 1200,

så det fanns

1200

bakterier från början.

Övning

Arbeta med exponentialfunktioner

Följande applet visar olika exponentialfunktioner. Hitta den efterfrågade informationen.

Olika exponentialfunktioner. Bestäm om den är växande eller avtagande. Bestäm också startvärdet, förändringsfaktorn eller utvärdera den vid något x-värde.

Teori

Grafisk lösning

Vissa ekvationer kan vara svåra att lösa algebraiskt, exempelvis exponentialekvationen

1, 5^{x} = 5, 0625 .

Då kan man prova att lösa den grafiskt istället genom att tolka ekvationens led som två separata funktioner och bestämma var graferna till dessa skär varandra.

Skriv ekvationens led som funktioner

Skriv ekvationens vänster- och högerled som två separata funktioner:

y = 1, 5^{x} och y = 5, 0625 .

Rita graferna till funktionerna

Rita funktionernas grafer för hand, t.ex. med hjälp av värdetabell, eller på grafräknare.

Läs av

x

-värden där graferna skär varandra

Lösningen till ekvationen $1, 5^{x} = 5, 0625$ får man genom att läsa av $x -$ värdet för den punkt där graferna skär varandra.

Graferna skär varandra där $x = 4,$ vilket alltså är lösningen på ekvationen. På många grafräknare finns det inbyggda verktyg för att hitta skärningspunkten.

Exempel

Lös exponentialekvationen grafiskt

Vi har exponentialfunktionen

y = 4^{x} .

Vi sätter in

y = 2, 5

och får då exponentialekvationen

2, 5 = 4^{x} .

Lös denna ekvation grafiskt.

Ledtråd

Rita graferna för funktionerna $y = 2, 5$ och $y = 4^{x} .$ Leta efter $x -$ koordinaten för skärningspunkten.

Lösning

Vi löser ekvationen grafiskt genom att låta ekvationens vänster- och högerled utgöra varsin funktion, dvs.

y = 2, 5 och y = 4^{x} .

Vi ritar dessa funktioner i ett koordinatsystem, enklast med ett digitalt verktyg t.ex. en grafritande räknare. Vi läser av

x -

koordinaten där graferna skär, vilket kallas för grafisk lösning. Ofta har räknare verktyg för detta.

Vi ser att de skär i $x \approx 0, 66,$ som är lösningen till ekvationen. Vi kan kontrollera svaret genom att slå in $4^{0, 66}$ på räknaren, vilket ger ca $2, 5198 .$

Laddar innehåll

{{ article.displayTitle }}

Förkunskaper

Ledtråd

Lösning

Ledtråd

Lösning

Ledtråd

Lösning

Ledtråd

Lösning