Beräkna Integraler: Både med GeoGebra och Miniräknare

Många processer i verkligheten kan modelleras med funktioner som beskriver förändringshastigheter. Om man känner till en sådan funktion kan man använda integraler för att bestämma förändringen. Exempelvis kan integralen

s = \int_{t_{1}}^{t_{2}} v (t) d t

beskriva körsträckan

s

för en bil, vars hastighet

v

varierar med tiden

t .

I det här fallet integreras hastighet över tid, vilket ger en sträcka. Mer generellt kan man bestämma integralens enhet genom att multiplicera enheterna för integranden och den variabel man integrerar med avseende på.

Bestäm godiskonsumtionen

fullscreen

Sindre äter godis och upptäcker att hans godisintag kan beskrivas av funktionen

v = 5 sin (0.25 t^{2}) + 5,

där

v

är antalet gram som äts per minut och

t

är hur många minuter som har gått sedan Sindre började äta. Bestäm hur många gram godis han äter under de första

8

minuterna. Svara i hela gram.

Visa Lösning

Funktionen beskriver den hastighet som Sindre har när han äter godis. Om man integrerar den över de första

8

minuterna kommer man att få den totala mängden godis,

m,

som han äter under den perioden.

m = \int_{0}^{8} (5 sin (0.25 t^{2}) + 5) d t

Det här är inte en integral som vi kan beräkna algebraiskt med de regler och metoder som vi känner till. Därför måste vi använda grafräknaren. Vi trycker på knappen MATH och väljer sedan fnInt(i menyn).

Vi skriver sedan in funktionen som vi vill integrera och vilken variabel vi ska integrera med avseende på. Det går bra att använda $t,$ men om man tycker det är enklare går det också bra att byta ut $t$ mot $x .$ Efter variabeln skriver man in den undre gränsen, alltså $0,$ och sedan den övre, alltså $8 .$

Integralens värde är ungefär

47 .

Det är viktigt att räknaren är inställd på radianer, annars får man fel svar. Enheten får vi genom att multiplicera enheterna för

v

och

t :

\frac{gram}{min} \cdot min = gram .

Han åt alltså ungefär $47$ gram godis under de första $8$ minuterna.

Beräkna integralen med Geogebra

fullscreen

Beräkna värdet av integralen

\int_{π}^{b} cos^{3} (w) d w .

Visa Lösning

Att bestämma en primitiv funktion till $cos^{3} (w)$ kan vara krångligt att göra för hand. Därför använder vi ett digitalt verktyg istället. Eftersom den övre integrationsgränsen inte är ett tal är Geogebra lämpligt — en vanlig räknare kan nämligen bara beräkna integraler om gränserna är tal. Vi använder kommandot

Integral( <Funktion>, <Från x>, <Till x>) där vi anger funktionen och de två integrationsgränserna. Vår variabel är

w,

inte "x" som det står i beskrivningen av kommandot. Eftersom vi endast har en variabel förstår dock Geogebra att det ska integreras med avseende på

w .

Integral $(cos^{3} (w), pi, b)$

$\to \frac{1}{3} (-$ sin $^{3}$ (b) + 3 sin(b) $)$

Integralens värde ges alltså av det algebraiska uttrycket

\frac{1}{3} (- sin^{3} (b) + 3 sin (b)) .

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

{{ article.displayTitle }}

Exempel

Bestäm godiskonsumtionen

Exempel

Beräkna integralen med Geogebra