body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

{{ 'ml-label-loading-course' | message }}

{{ toc.name }}

{{ toc.signature }}

{{ tocHeader }} {{ 'ml-btn-view-details' | message }}

{{ tocSubheader }}

{{ 'ml-toc-proceed-mlc' | message }}

{{ 'ml-toc-proceed-tbs' | message }}

Ett fel uppstod, försök igen senare!

Kapitel {{ article.chapter.number }}

{{ article.number }}.

{{ article.displayTitle }}

{{ article.intro.summary }}

Visa mindre Visa mer

{{ ability.displayTitle }}

Inställningar & verktyg för lektion

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

Kreditlista Bilder

{{ item.file.title }}
{{ presentation }}

Inga inlägg om filrättigheter hittades

Videolektion

Mathleaks

Mathleaks

Minispelare aktiv

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Kvadratkomplettering
Geometrisk tolkning av kvadratkomplettering

Förkunskaper

Kvadratrot
Ekvation
Andragradsekvation

Metod

Kvadratkomplettering

Kvadratkomplettering är ett generellt sätt att lösa andragradsekvationer som innehåller en

x^{2} -,

x -

och konstantterm, exempelvis

3 x^{2} + 18 x - 21 = 0 .

Syftet med metoden är att skriva om ekvationen på formen

(x + a)^{2} = b,

där

a

och

b

är konstanter. Man kan då dra kvadratroten ur båda led och sedan lösa ut

x .

1

Skriv ekvationen på formen

x^{2} + p x = c

Samla

x^{2} -

och

x -

termerna i vänsterledet och konstanttermerna i högerledet. I exemplet ger detta

3 x^{2} + 18 x = 21 .

För att

x^{2} -

termen ska få koefficienten 1 divideras båda led med

3 :

x^{2} + 6 x = 7 .

2

I båda led, lägg till halva koefficienten framför

x,

i kvadrat

Målet är alltså att skriva ena ledet på formen

(x + a)^{2} .

Parentesen kan utvecklas med kvadreringsregeln:

(x + a)^{2} = x^{2} + 2 a x + a^{2} .

Detta jämförs med ekvationen i exemplet.

(x + a)^{2} = x^{2} + 2 a x + a^{2} = x^{2} + 26 x + a^{2} = 7 .

I den nedre ekvationen finns en

x^{2} -

term och en

x -

term, men ingen konstantterm, så för att de ska stå på samma form vill man lägga till

a^{2} .

Vad är

a ?

Koefficienten framför

x

är

2 a,

vilket betyder att

a

är hälften av det. Konstanten

a

är alltså

\frac{6}{2} = 3

och därför lägger man till

3^{2} .

För att likheten ska gälla görs detta i båda led:

(x + a)^{2} = x^{2} + 2 a x + a^{2} = x^{2} + 6 x + 3^{2} = 7 + 3^{2} .

Man säger att man lägger till halva koefficienten framför

x,

i kvadrat och det är detta som är själva kvadratkompletteringen.

3

Skriv om vänsterledet som en kvadrat

Anledningen till att man lade till $3^{2}$ i förra steget är att vänsterledet ska kunna faktoriseras med första kvadreringsregeln baklänges.

x^{2} + 6 x + 3^{2} = 7 + 3^{2}

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2} = 7 + 3^{2}

$a^{2} + 2 a b + b^{2} = (a + b)^{2}$

(x + 3)^{2} = 7 + 3^{2}

4

Dra kvadratroten ur båda led och lös ut

x

Nu kan man dra kvadratroten ur båda led. Glöm inte att lägga till

\pm

framför rottecknet.

(x + 3)^{2} = 7 + 3^{2}

Beräkna potens

(x + 3)^{2} = 7 + 9

Addera termer

(x + 3)^{2} = 16

$VL = HL$

x + 3 = \pm 16

Beräkna rot

x + 3 = \pm 4

$VL - 2 = HL - 2$

x = - 3 \pm 4

Ange lösningar

x_{1} = - 7 x_{2} = 1

Andragradsekvationen har alltså lösningarna

x = - 7

och

x = 1 .

Kvadratkomplettering kan även motiveras geometriskt med hjälp av areor.

Extra

Fullborda kvadraten med hjälp av rutor

Följande diagram visar hur man skriver om

3 x^{2} + 18 x .

Den tidigare relationen innebär att

3 x^{2} + 18 x - 21 = 3 (x + 3)^{2} - 27 - 21 = 3 (x + 3)^{2} - 48 .

Detta leder till samma resultat.

3 x^{2} + 18 x - 21 = 0

$3 x^{2} + 18 x - 21 = 3 (x + 3)^{2} - 48$

3 (x + 3)^{2} - 48 = 0

$VL + 48 = HL + 48$

3 (x + 3)^{2} = 48

$VL / 3 = HL / 3$

(x + 3)^{2} = 16

$VL = HL$

x + 3 = \pm 16

Beräkna rot

x + 3 = \pm 4

$VL - 2 = HL - 2$

x = - 3 \pm 4

Ange lösningar

x_{1} = - 7 x_{2} = 1

Illustration

Geometrisk tolkning av kvadratkomplettering

Completing the square is a method used to rewrite a quadratic expression like

x^{2} + b x

into the form

(x + k)^{2} - k^{2} .

The value of

k

is half of

b,

leading to the following relationship.

x^{2} + b x = (x + \frac{b}{2})^{2} - (\frac{b}{2})^{2}

The process of completing the square can be visualized with the help of algebra tiles. Depending on the value of

b,

two cases should be considered.

Case $1 :$ $b$ is even

Consider the expression $x^{2} + 4 x .$ This expression can be represented with one $x^{2} -$ tile and four $x -$ tiles.

These tiles will be rearranged with the intention of creating a square. Since there are four $x -$ tiles, two of them can be rotated and placed below the $x^{2} -$ tile and the other two can be placed to the right of it.

The addition of four $1 -$ tiles will complete the square and an expression can be written using all of the tiles.

Notice that the area of the square formed is

(x + 2)^{2} .

This area is equal to the expression representing the tiles.

(x + 2)^{2} = x^{2} + 4 x + 4

Finally, the original expression can be written as the area of the square minus the number of added tiles.

x^{2} + 4 x = (x + 2)^{2} - 4 ⇓ x^{2} + 4 x = (x + 2)^{2} - 2^{2}

Case $2 :$ $b$ is odd

Consider the expression $x^{2} + 5 x .$ This expression can be represented with one $x^{2} -$ tile and five $x -$ tiles.

These tiles will be rearranged with the intention of creating a square. The following steps will be taken:

Two of the $x -$ tiles are placed to the right of the $x^{2} -$ tile.
Two of the $x -$ tiles are rotated and placed below the $x^{2} -$ tile.
The remaining $x -$ tile is divided into two $\frac{x}{2} -$ tiles — one is placed below the $x^{2} -$ tile and the other is placed to the right of the $x^{2} -$ tile.

The addition of four $1 -$ tiles, four $\frac{1}{2} -$ tiles, and one $\frac{1}{4} -$ tile will complete the square and an expression can be written using all of the tiles.

Notice that the area of the square formed is

(x + \frac{5}{2})^{2} .

This area is equal to the expression representing the tiles.

(x + \frac{5}{2})^{2} = x^{2} + 5 x + \frac{2 5}{4}

Finally, the original expression can be written as the area of the square minus the number of added tiles.

x^{2} + 5 x = (x + \frac{5}{2})^{2} - \frac{2 5}{4} ⇓ x^{2} + 5 x = (x + \frac{5}{2})^{2} - (\frac{5}{2})^{2}

Keep in mind that the same technique works for negative values of

b

but, in this case, the expression inside the

x -

tiles will be

- x .

Expressions of the form

a x^{2} + b x

can be rewritten with this technique as well.

Övning

Completing the Square

Use the method of completing the square to determine the value of $c .$ Round to $2$ decimal places if needed.

Exempel

Lös andragradsekvationen med kvadratkomplettering

Lös ekvationen med kvadratkomplettering.

x^{2} + 8 x - 33 = 0

Ledtråd

Börja med att flytta den konstanta termen till höger sida. Fyll sedan i kvadraten på uttrycket på vänster sida genom att lägga till en viss term på båda sidorna.

Lösning

Vi börjar med att skriva om ekvationen så att

x^{2} -

och

x -

termerna hamnar i vänsterledet och konstanttermen hamnar i högerledet. Då får vi

x^{2} + 8 x = 33 .

För att kvadratkomplettera lägger vi sedan till halva koefficienten framför

x,

i kvadrat. I det här fallet är koefficienten

8

och hälften av det är

4 .

Det betyder att vi ska lägga till

4^{2}

på båda sidor.

x^{2} + 8 x = 33

Kvadratkomplettera: $p = 8$

x^{2} + 8 x + (\frac{8}{2})^{2} = 33 + (\frac{8}{2})^{2}

Beräkna kvot

x^{2} + 8 x + 4^{2} = 33 + 4^{2}

Beräkna potens

x^{2} + 8 x + 4^{2} = 33 + 16

Addera termer

x^{2} + 8 x + 4^{2} = 49

Nu kan vi skriva vänsterledet som en kvadrat genom att använda första kvadreringsregeln baklänges.

x^{2} + 8 x + 4^{2} = 49

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

x^{2} + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2} = 49

FacPosPerfectSquare

Faktorisera med första kvadreringsregeln

(x + 4)^{2} = 49

$VL = HL$

x + 4 = \pm 49

Beräkna rot

x + 4 = \pm 7

$VL - 4 = HL - 4$

x = - 4 \pm 7

Ange lösningar

x_{1} = - 11 x_{2} = 3

{{ grade.displayTitle }}

Laddar innehåll