Lådagram: Utforska Kvartil, Övre Kvartil, Kvartil, och Variationsbredd i Statistik

Begrepp

Kvartil

Medianen delar in ett statistiskt material i två lika stora delar. Kvartiler (från ordet kvart som betyder fjärdedel) delar in ett material i fyra lika stora delar. Kvartilerna är de tre tal som avgränsar delarna, och betecknas $Q_{1}, Q_{2}$ och $Q_{3} .$ Exempelvis delas $12$ värden in i fyra delar med $3$ stycken i varje.

Q_{2}

är alltså bara ett annat namn för medianen. Kvartilerna

Q_{1}

och

Q_{3}

kallas ibland även för undre och övre kvartil och bestäms genom att man bestämmer två "nya medianer" för de värden som är mindre respektive större än medianen.

Regel

Kvartilavstånd

Kvartilavståndet är ett spridningsmått som anger avståndet mellan den undre och övre kvartilen. Man beräknar det genom att subtrahera $Q_{1}$ från $Q_{3}$ .

$Kvartilavst \overset{˚}{a} nd = Q_{3} - Q_{1}$

Vad är kvartilerna, variationsbredden och kvartilavståndet?

fullscreen

Morgontrötta klubben har sammanställt data över hur många minuter deras medlemmar brukar snooza på morgonen.

20203030404045454550

Bestäm variationsbredden, kvartilerna och kvartilavståndet.

Visa Lösning

Variationsbredd
Variationsbredden är skillnaden mellan det största och minsta värdet, dvs.

50 - 20 = 30 min .

Kvartiler
Vi börjar med medianen, som är samma sak som $Q_{2} .$ Eftersom datamängden består av $10$ värden, dvs. ett jämnt antal värden, måste medianen vara medelvärdet av femte och sjätte värdet.

Det femte värdet är

40

och det sjätte värdet är också

40 .

Medelvärdet av dessa blir

\frac{4 0 + 4 0}{2} = 40

vilket alltså är medianen. Nu kan vi bestämma kvartilerna genom att dela halvorna på mitten. Varje halva innehåller ett udda antal värden så kvartilerna kommer vara de värden i datamängden som delar upp varje halva i två delmängder med två tal i varje. Den undre kvartilen ges av det tredje värdet och den övre kvartilen ges av det åttonde värdet.

Nu ser vi att $Q_{1} = 30$ min. och $Q_{3} = 45$ min.

Kvartilavstånd
Kvartilavståndet är skillnaden mellan övre och undre kvartilen, vilket är

Q_{3} - Q_{1} = 45 - 30 = 15 min .

Begrepp

Lådagram

För att illustrera spridningen i ett statistiskt material använder man sig ibland av ett så kallat lådagram. I detta kan man läsa av medianen (skrivs Med eller $Q_{2}$ ), kvartiler ( $Q_{1}$ och $Q_{3}$ ) samt största och minsta värde.

Ett lådagram ger en grov uppskattning av hur spridd en datamängd är eftersom varje segment av diagrammet innehåller en fjärdedel av värdena. Ju bredare segmenten är desto större spridning är det för den fjärdedelen av materialet.

Metod

Rita ett lådagram

För att kunna rita ett lådagram måste man bestämma fem mått för den datamängd man vill undersöka: största och minsta värdet, medianen samt övre och undre kvartil. Nedanstående datamängd anger poängen för en klass på ett prov.

8.51116 1310.55 1515.513.5 12.51115.5127 158988.5612 7.51310.511.513.5

Vi identifierar de fem måtten för datamängden.

Identifiera största och minsta värdet

Först bestämmer man största och minsta värdet.

8.51116 1310.55 1515.513.5 12.51115.5127 158988.5612 7.51310.511.513.5

Det minsta värdet är

5

och det största är

16 .

Dessa markeras ovanför en tallinje.

Tallinje och början av lådagram som visar största och minsta värde

Bestäm medianen

För att bestämma medianen skriver man talen i storleksordning. Eftersom det finns

26

värden är medianen medelvärdet av tal nr

13

och

14 .

5677.5 10.51111 1313.513.5 888.58.5910.5 11.5 121212.513 151515.515.516

Nu kan medianen bestämmas genom att beräkna medelvärdet av värdena

11

och

11.5

\frac{1 1 + 1 1 . 5}{2} = 11.25,

Medianen är

11.25

. Även denna markeras i lådagrammet.

Påbörjat lådagram med minsta och största värde samt median

Bestäm kvartilerna

Medianen delar in materialet i två delar med $13$ tal i varje halva. Den undre kvartilen är mittenvärdet i den första delen, dvs. den sjunde observationen som är $8.5 .$ Den övre kvartilen beräknas genom att bestämma medianen för den övre halvan, dvs. den tjugonde observationen som är $13.5 .$ Även kvartilerna markeras i diagrammet och slutligen ritas en låda mellan dem.

Tolka lådagrammet

fullscreen

Bossebageriet har gjort mätningar av temperaturen på $800$ koppar cappuccino. Lådagrammet visar resultatet i $^{\circ}$ C.

En bra cappuccino ska enligt experterna ligga mellan $55$ och $60$ grader. Ungefär hur många av kopparna hade denna temperatur, och vad säger lådagrammet om temperaturspridningen på de koppar som var kallare respektive varmare än så?

Visa Lösning

Antal koppar mellan 55 och 60 grader
I varje del av lådagrammet finns $25 %$ av värdena. Det betyder att $50 %$ av värdena ligger "i lådan."

Den första kvartilen ligger vid

54

grader och den tredje ligger vid

60

grader. Det betyder att ungefär

50 %

av de

800

kopparna hamnade i intervallet

55 - 6 0^{\circ}

\frac{8 0 0}{2} = 400 .

Cirka

400

koppar hade alltså den önskvärda temperaturen.

Kallare och varmare koppar
Det vi kan säga om övriga koppar är att spridningen i temperatur är mycket större bland de $200$ kallaste kopparna ( $54 - 39 = 1 5^{\circ}$ C skillnad) än bland de $200$ varmaste kopparna ( $5^{\circ}$ C skillnad).

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

{{ article.displayTitle }}

Exempel

Vad är kvartilerna, variationsbredden och kvartilavståndet?

Exempel

Tolka lådagrammet