MathReads
Premium
Mitt konto

Mitt konto Logga ut
1a
Kurs 1a Visa detaljer
3. Lägesmått
Fortsätt till nästa lektion
Lektion
Övningar
Tester
arrow_back
eKurser /
( Ma 1a , Ma 2b , Ma 2c ) /
Kapitel 4
3. 

Lägesmått

Innehållet handlar om lägesmått, en central del av statistik. Den förklarar tre viktiga lägesmått: medelvärde, median och typvärde. Medelvärdet beräknas genom att addera alla värden och sedan dela summan med antalet värden. Medianen är mittenvärdet av datamängden och typvärdet är det vanligaste värdet i en datamängd. Sidan ger exempel på hur man kan använda dessa lägesmått i olika situationer, som att beräkna medellängden av en grupp elever eller att bestämma det vanligaste betyget i en klass. Sidan betonar vikten av att välja rätt lägesmått baserat på datamängden och syftet med analysen.
Visa mer expand_more
Begrepp Modellering Problemlösning Procedur Resonemang och Kommunikation
Inställningar & verktyg för lektion
8 sidor teori
18 Uppgifter - Nivå 1 - 3
Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.
Kreditlista Bilder expand_more
Lägesmått
Sida av 8
Mathleaks Videolektion

Mathleaks
play_circle_filled
play_circle_filled Mathleaks
picture_in_picture_alt

Minispelare aktiv
Ett lägesmått, eller ett mått på centraltendens, är ett statistiskt mått som sammanfattar en datamängd genom att hitta ett centralt värde. De vanligaste centralmåtten är medelvärde, median och typvärde. Centralmått används ofta tillsammans med ett spridningsmått för att ge en uppfattning om både vad ett typiskt värde är och hur mycket datan kan förväntas avvika från det.
Interaktivt program där punkterna i prickdiagrammet kan flyttas runt.
Flytta punkterna i punktdiagrammet för att skapa ny data. Applet identifierar medelvärdet, medianen och typvärdet för datamängden.
Koncept

Medelvärde

Medelvärdet, eller genomsnittet, av en numerisk datamängd är ett av centralmåtten. Det definieras som summan av alla datavärden i en mängd dividerat med antalet värden i mängden.

Följande program beräknar medelvärdet av datamängden på tallinjen. Punkter kan flyttas för att ändra datavärdena.
Interaktiv graf som visar hur värdet på medelvärdet förändras när datapunkterna ändras.
Medelvärdet av en uppsättning betecknas vanligtvis som
Koncept

Median

Medianen är ett lägesmått som ligger i mitten av en numerisk datamängd när datamängden är skriven i numerisk ordning. När datamängden har ett udda antal datapunkter är medianen värdet i mitten.
Slumpmässig datamängd med 9 element, medianen är markerad
Men när datamängden har ett jämnt antal datapunkter är medianen medelvärdet av de två mellersta värdena.
Slumpmässig datamängd med 10 element, medianen är markerad
Digitala verktyg

Bestäm lägesmått med räknare

Man kan bestämma olika lägesmått för en datamängd med hjälp av räknare.
1
Lägg in värden i lista
expand_more

Man börjar med att trycka på knappen och sedan Edit. Därefter skriver man in samtliga värden i en av listorna, t.ex. lista Det spelar ingen roll i vilken ordning värdena skrivs in. 

Bilden kunde ej laddas
Bilden kunde ej laddas
2
Bestäm lägesmått
expand_more

När värdena är inmatade trycker man på igen och väljer CALC-menyn. Där markerar man alternativet Stats och trycker på två gånger. Om man matat in värdena i någon annan lista än väljer man den genom att trycka på och sedan siffran på listan t.ex. 

Bilden kunde ej laddas

Displayen visar då en mängd olika symboler. Den översta symbolen ( med streck ovanför) är medelvärdet, vilket här är 

Bilden kunde ej laddas

För att hitta medianen måste man trycka nedåt till alternativet Med. Där kan man läsa av medianen, som i just detta fall är 

Bilden kunde ej laddas
Koncept

Typvärde

Typvärdet är ett centralmått som visar det vanligaste värdet eller värdena i en datamängd. Typvärden kan användas för både numeriska och kategoriska data.
Slumpmässig datamängd med 11 element, typvärdet är markerat
En datamängd kan ha mer än ett typvärde om två eller fler datavärden är lika vanliga. Om alla värden i mängden dock förekommer endast en gång, så har datamängden inget typvärde.
Om man har gjort en undersökning och fått en samling mätvärden kan det vara svårt att säga något om det man har undersökt bara genom att titta på alla dessa värden. Då kan det vara bra att använda läges- och spridningsmått. Ett lägesmått sammanfattar alla mätvärden med ett enda representativt värde medan spridningsmått anger hur mätvärdena är spridda kring detta värde.

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

  • Medelvärde
  • Median
  • Typvärde

Förkunskaper
Teori

Medelvärde

Medelvärdet, eller genomsnittet, av en numerisk datamängd är ett av centralmåtten. Det definieras som summan av alla datavärden i en mängd dividerat med antalet värden i mängden.

Följande program beräknar medelvärdet av datamängden på tallinjen. Punkter kan flyttas för att ändra datavärdena.
Interaktiv graf som visar hur värdet på medelvärdet förändras när datapunkterna ändras.
Medelvärdet av en uppsättning betecknas vanligtvis som
Teori

Median

Medianen är ett lägesmått som ligger i mitten av en numerisk datamängd när datamängden är skriven i numerisk ordning. När datamängden har ett udda antal datapunkter är medianen värdet i mitten.
Slumpmässig datamängd med 9 element, medianen är markerad
Men när datamängden har ett jämnt antal datapunkter är medianen medelvärdet av de två mellersta värdena.
Slumpmässig datamängd med 10 element, medianen är markerad
Teori

Typvärde

Typvärdet är ett centralmått som visar det vanligaste värdet eller värdena i en datamängd. Typvärden kan användas för både numeriska och kategoriska data.
Slumpmässig datamängd med 11 element, typvärdet är markerat
En datamängd kan ha mer än ett typvärde om två eller fler datavärden är lika vanliga. Om alla värden i mängden dock förekommer endast en gång, så har datamängden inget typvärde.
Exempel

Bestäm medelvärdet, medianen och typvärdet

a Bestäm medelvärdet för följande datamängd.
b Bestäm medianen för följande datamängd.
c Bestäm typvärdet för följande datamängd.

Ledtråd
a Medelvärdet, det definieras som summan av alla datavärden i en mängd dividerat med antalet värden i mängden.
b Medianen är ett lägesmått som ligger i mitten av en numerisk datamängd när datamängden är skriven i numerisk ordning.
c Typvärdet är ett centralmått som visar det vanligaste värdet eller värdena i en datamängd.

Lösning
a För att beräkna medelvärdet adderar vi först alla värden och delar sedan med antalet värden, vilket i det här fallet är
AddTerms

Addera termer

CalcQuot

Beräkna kvot

Medelvärdet är
b För att bestämma medianen måste vi först skriva värdena i storleksordning:
Medianen är mittenvärdet av datamängden men eftersom det finns ett jämnt antal tal finns det inget enskilt mittental. Medianen blir istället medelvärdet av de två mittersta talen, dvs. och
Medianen är
c Typvärdet är det värde som är vanligast i datamängden. I det här fallet är det som förekommer tre gånger.
Exempel

Vilket lägesmått passar bäst?

En lärare ska ställa några frågor till sin lågstadieklass. Vilket eller vilka lägesmått är lämpligast för att presentera resultatet?

a Vilken är din favoritfärg?
b Hur långt har du till skolan?
c Hur gammal är du?

Svar
a Typvärdet
b Se lösning.
c Se lösning.

Ledtråd
a Kom ihåg definitionen av medelvärde, median och typvärde.
b Kom ihåg definitionen av medelvärde, median och typvärde.
c Kom ihåg definitionen av medelvärde, median och typvärde.

Lösning
a Eftersom svaren inte är tal går det inte att beräkna något medelvärde eller median. Det enda lägesmått man kan ange är typvärdet.
b Det är inte säkert att typvärdet kommer att säga något, eftersom alla sannolikt kommer ange lite olika svar. Medelvärdet är förmodligen lämpligast, om inte någon har en ovanligt lång eller kort resa till skolan. I så fall kan median vara ett bättre lägesmått.
c Förmodligen kommer de flesta vara födda samma år, så två åldrar kommer vara vanligast. Ett medelvärde kan då vara lämpligt eftersom det hamnar någonstans mellan dessa. Om läraren, som är mycket äldre än eleverna, skulle ingå som observation förskjuter det dock medelvärdet uppåt, och då passar median eller typvärde bättre.
Övning

Öva på att hitta lägesmått

Mått som medelvärde, median, och typvärde är väsentliga för att förstå den centrala tendensen i en datamängd. Hitta det angivna måttet för den givna datamängden. Om svaret inte är ett heltal, avrunda det till en decimal.

En applet som ber om ett centralmått för en given datamängd.
Teori

Variationsbredd

Lägesmått som medelvärde och median fungerar bra för att hitta ett värde som är representativt för en hel samling mätvärden. De säger dock inget om hur mätvärden är spridda kring detta värde. Alla ligger kanske nära medelvärdet eller så kan de vara väldigt utspridda. För att beskriva spridningen använder man spridningsmått, t.ex. variationsbredd.

Variationsbredden är alltså den största skillnaden mellan olika mätvärden, och man får det genom att subtrahera det minsta värdet man fick i undersökningen från det största värdet. Det ger en idé om hur stort spann värdena sträcker sig över. Får man t.ex. en stor variationsbredd vet man att det finns värden som skiljer sig mycket från medelvärdet.
Exempel

Vad är variationsbredden?

Damernas längdhoppsfinal i OS fick följande resultat. Längderna är i meter.
Vad är variationsbredden?

Ledtråd

Tänk på skillnaden mellan det största och det minsta värdet i en datamängd.

Lösning

Variationsbredden är skillnaden mellan största och minsta värdet. Vi börjar med att identifiera dessa i datamängden.

Värdemängd med det största och minsta värdet markerade
Det längsta hoppet var meter och det kortaste var meter. Det ger variationsbredden
Om man har gjort en undersökning och fått en samling mätvärden kan det vara svårt att säga något om det man har undersökt bara genom att titta på alla dessa värden. Då kan det vara bra att använda läges- och spridningsmått. Ett lägesmått sammanfattar alla mätvärden med ett enda representativt värde medan spridningsmått anger hur mätvärdena är spridda kring detta värde.

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

  • Medelvärde
  • Median
  • Typvärde

Förkunskaper
Teori

Medelvärde

Medelvärdet, eller genomsnittet, av en numerisk datamängd är ett av centralmåtten. Det definieras som summan av alla datavärden i en mängd dividerat med antalet värden i mängden.

Följande program beräknar medelvärdet av datamängden på tallinjen. Punkter kan flyttas för att ändra datavärdena.
Interaktiv graf som visar hur värdet på medelvärdet förändras när datapunkterna ändras.
Medelvärdet av en uppsättning betecknas vanligtvis som
Teori

Median

Medianen är ett lägesmått som ligger i mitten av en numerisk datamängd när datamängden är skriven i numerisk ordning. När datamängden har ett udda antal datapunkter är medianen värdet i mitten.
Slumpmässig datamängd med 9 element, medianen är markerad
Men när datamängden har ett jämnt antal datapunkter är medianen medelvärdet av de två mellersta värdena.
Slumpmässig datamängd med 10 element, medianen är markerad
Teori

Typvärde

Typvärdet är ett centralmått som visar det vanligaste värdet eller värdena i en datamängd. Typvärden kan användas för både numeriska och kategoriska data.
Slumpmässig datamängd med 11 element, typvärdet är markerat
En datamängd kan ha mer än ett typvärde om två eller fler datavärden är lika vanliga. Om alla värden i mängden dock förekommer endast en gång, så har datamängden inget typvärde.
Exempel

Bestäm medelvärdet, medianen och typvärdet

a Bestäm medelvärdet för följande datamängd.
b Bestäm medianen för följande datamängd.
c Bestäm typvärdet för följande datamängd.

Ledtråd
a Medelvärdet, det definieras som summan av alla datavärden i en mängd dividerat med antalet värden i mängden.
b Medianen är ett lägesmått som ligger i mitten av en numerisk datamängd när datamängden är skriven i numerisk ordning.
c Typvärdet är ett centralmått som visar det vanligaste värdet eller värdena i en datamängd.

Lösning
a För att beräkna medelvärdet adderar vi först alla värden och delar sedan med antalet värden, vilket i det här fallet är
AddTerms

Addera termer

CalcQuot

Beräkna kvot

Medelvärdet är
b För att bestämma medianen måste vi först skriva värdena i storleksordning:
Medianen är mittenvärdet av datamängden men eftersom det finns ett jämnt antal tal finns det inget enskilt mittental. Medianen blir istället medelvärdet av de två mittersta talen, dvs. och
Medianen är
c Typvärdet är det värde som är vanligast i datamängden. I det här fallet är det som förekommer tre gånger.
Exempel

Vilket lägesmått passar bäst?

En lärare ska ställa några frågor till sin lågstadieklass. Vilket eller vilka lägesmått är lämpligast för att presentera resultatet?

a Vilken är din favoritfärg?
b Hur långt har du till skolan?
c Hur gammal är du?

Svar
a Typvärdet
b Se lösning.
c Se lösning.

Ledtråd
a Kom ihåg definitionen av medelvärde, median och typvärde.
b Kom ihåg definitionen av medelvärde, median och typvärde.
c Kom ihåg definitionen av medelvärde, median och typvärde.

Lösning
a Eftersom svaren inte är tal går det inte att beräkna något medelvärde eller median. Det enda lägesmått man kan ange är typvärdet.
b Det är inte säkert att typvärdet kommer att säga något, eftersom alla sannolikt kommer ange lite olika svar. Medelvärdet är förmodligen lämpligast, om inte någon har en ovanligt lång eller kort resa till skolan. I så fall kan median vara ett bättre lägesmått.
c Förmodligen kommer de flesta vara födda samma år, så två åldrar kommer vara vanligast. Ett medelvärde kan då vara lämpligt eftersom det hamnar någonstans mellan dessa. Om läraren, som är mycket äldre än eleverna, skulle ingå som observation förskjuter det dock medelvärdet uppåt, och då passar median eller typvärde bättre.
Övning

Öva på att hitta lägesmått

Mått som medelvärde, median, och typvärde är väsentliga för att förstå den centrala tendensen i en datamängd. Hitta det angivna måttet för den givna datamängden. Om svaret inte är ett heltal, avrunda det till en decimal.

En applet som ber om ett centralmått för en given datamängd.
Teori

Variationsbredd

Lägesmått som medelvärde och median fungerar bra för att hitta ett värde som är representativt för en hel samling mätvärden. De säger dock inget om hur mätvärden är spridda kring detta värde. Alla ligger kanske nära medelvärdet eller så kan de vara väldigt utspridda. För att beskriva spridningen använder man spridningsmått, t.ex. variationsbredd.

Variationsbredden är alltså den största skillnaden mellan olika mätvärden, och man får det genom att subtrahera det minsta värdet man fick i undersökningen från det största värdet. Det ger en idé om hur stort spann värdena sträcker sig över. Får man t.ex. en stor variationsbredd vet man att det finns värden som skiljer sig mycket från medelvärdet.
Exempel

Vad är variationsbredden?

Damernas längdhoppsfinal i OS fick följande resultat. Längderna är i meter.
Vad är variationsbredden?

Ledtråd

Tänk på skillnaden mellan det största och det minsta värdet i en datamängd.

Lösning

Variationsbredden är skillnaden mellan största och minsta värdet. Vi börjar med att identifiera dessa i datamängden.

Värdemängd med det största och minsta värdet markerade
Det längsta hoppet var meter och det kortaste var meter. Det ger variationsbredden

Exempel

Bestäm lägesmåtten från frekvenstabellen

 fullscreen

På ett företag frågade man de anställda hur många gånger i veckan de tränar. Bestäm typvärde, medelvärde och median från frekvenstabellen.

Träningsdagar
Frekvens
Visa Lösning expand_more
Exempel

Typvärde

Typvärdet är det vanligaste värdet, så det är bara att avläsa vilket svarsalternativ som har högst frekvens. I det här fallet har flest personer svarat att de tränar dagar i veckan, vilket då är typvärdet.
Exempel

Medelvärde

För att beräkna medelvärdet ska vi summera det totala antalet träningsdagar och sedan dela med antal anställda. Vi vet till exempel att personer tränar dagar i veckan, vilket ger dagar, så vi kan beräkna det totala antalet träningsdagar genom att multiplicera träningsdagar med motsvarande frekvens och summera.
Antal anställda är summan av frekvenserna:
Det finns alltså anställda på företaget. Nu delar vi det totala antalet träningsdagar med antalet anställda för att få genomsnittet:
Exempel

Median

För att hitta medianen brukar man skriva värdena i storleksordning och läsa av det som står i mitten. Nu finns det väldigt många värden så istället för att skriva ut alla, räknar vi vilket värde i ordningen som står i mitten. Om värdena skrivs i ordning får man först nollor, följt av ettor, tvåor osv.
Det finns ett udda antal värden så det finns ett mittenvärde. Det betyder att värden ligger kring medianen. Eftersom medianen är i mitten finns det lika många tal på varje sida, dvs. stycken. Medianen är då tal nummer De fem första talen är nollor och följda av ettor så att man kommer upp till nummer Tvåorna lägger på ytterligare tal, upp till och med .
Värde
Nummer

Det :e talet är så medianen är träningsdagar.

Nivå 1
Nivå 2
Nivå 3
Lägesmått
Uppgift 2.1
Nadim har fem sköldpaddor hemma. De två yngsta är lika gamla, sedan skiljer det år till varje nästkommande sköldpaddas ålder. Sköldpaddornas medelålder är år. Vad är deras medianålder?

Kalla de två yngsta sköldpaddornas ålder för x. Det är då 3 sköldpaddor kvar. Den näst yngsta blir då x+5, nästa blir x+5+5=x+10 år och den äldsta är x+5+5+5=x+15 år. Medelåldern är 14, vilket gör att vi kan sätta in det vi vet i formeln för medelvärde ur vilken vi kan lösa ut x.

Sköldpaddornas åldrar är alltså 8, 8, 13, 18 och 23 år. Ställer vi dessa på en rad och avläser mittenvärdet ser vi att medianåldern är 13 år.

Betrakta följande fem tal.
Bestäm medianen för talen.
Bestäm medelvärdet för talen.
Vilken eller vilka av utsagorna är sanna för fem på varandra följande heltal?

Eftersom talen redan står i storleksordning kan vi direkt läsa av medianen som är mittenvärdet, 47. 45, 46, 47, 48, 49


Medelvärdet blir summan av värdena delat med 5.

Medelvärdet är alltså 47.


Eftersom fem på varandra följande heltal kan vara fem negativa kan vi konstatera att både medianen och medelvärdet kan vara negativa tal. Det betyder att de första två utsagorna är felaktiga. A:& Medianen är alltid större än0. B:& Medelvärdet är alltid större än0. C:& Medianen är större än medelvärdet. D:& Medelvärdet är större än medianen. E:& Medelvärde och median är lika. Från föregående deluppgifter har vi sett att för fem på varandra följande heltal kan medelvärde och median vara lika. Därmed har vi visat att även de följande två utsagorna inte stämmer. A:& Medianen är alltid större än0. B:& Medelvärdet är alltid större än0. C:& Medianen är större än medelvärdet. D:& Medelvärdet är större än medianen. E:& Medelvärde och median är lika. Det som återstår nu är att undersöka om medelvärdet av fem på varandra följande heltal alltid är lika med medianen oavsett vilka talen är. Om vi kallar det minsta talet x blir nästa heltal x+1 och efter det kommer x+2 osv. Talen kan alltså skrivas x, x+1, x+2, x+3, x+4. Det mittersta av dem är x+2 så detta är medianen. Om vi kan visa att medelvärdet också blir x+2 är vi klara. Vi beräknar det genom att summera talen och dividera med 5.

Både median och medelvärde är x+2, dvs. samma. Därför är alternativ E korrekt.

Du har under en veckas tid antecknat vilken temperatur din kökstermometer visade kl. på morgonen. Tyvärr spillde du kaffe över måndagen och tisdagen.

temperaturanteckningar med kaffefläck
Vilka temperaturer var det veckans två första dagar?

Vi kallar de okända temperaturerna för x och y och ställer upp ett uttryck för medelvärdet, som du antecknat var 3.

Summan av temperaturerna är alltså 9^(∘)C. Vi vet också att typvärdet är 7^(∘)C så minst en av temperaturerna är 7^(∘)C. Men det kan inte vara båda eftersom summan då hade blivit 14^(∘)C. Vi låter y vara 7 och beräknar x: x+7=9 ⇔ x=2. De okända temperaturerna var alltså 2^(∘)C och 7^(∘)C.

På en origamikurs är medelåldern år bland de deltagarna. Ett tillfälle skolkar Julio, för att plugga till en tenta. Vad blir den nya medelåldern? Avrunda till närmaste heltal.

Vi börjar med att beräkna den totala åldern, som vi kan kalla s, på de 16 deltagarna. Det gör vi genom att använda formeln för medelvärde.

Den totala åldern på deltagarna är alltså 752 år. Om Julio är sjuk blir den nya totalåldern 752-21=731. Medelåldern för de som är kvar i gruppen får vi genom att dividera detta med antal deltagare, som nu alltså har sjunkit till 15: 731/15≈49. Den nya medelåldern blir ungefär 49 år.

När talet läggs till en samling värden ändras inte medelvärdet. Bestäm medelvärdet för värdena. Motivera ditt svar.

Vi antar att summan av värdena innan vi lägger till 7 är S och att antalet värden är n. Medelvärdet innan 7 läggs till kan då skrivas \begin{aligned} m_\text{före} = \dfrac{S}{n}. \end{aligned} Lägger man sedan till 7 till samlingen värden får vi en ny summa, S + 7, och ett nytt antal värden, n + 1. Medelvärdet blir då \begin{aligned} m_\text{efter} = \dfrac{S + 7}{n + 1}. \end{aligned} Vi vet att medelvärdet är oförändrat före och efter 7 läggs till, så vi kan sätta dessa två uttryck lika med varandra. Vi gör det och förenklar dem något.

Nu kommer vi ihåg att Sn är definierat som medelvärdet, vilket alltså är 7.

Medelåldern på fem anställda i en sportaffär var år. En kvinna på år anställs som butiksföreståndare. Vad blir därefter genomsnittsåldern i sportaffären?

Nationella provet VT05 MaA

Medelåldern, dvs. medelvärdet av de anställdas åldrar, beräknas genom att beräkna summan av de 5 anställdas ålder och dela med antalet anställda. Från uppgiften vet vi att medelåldern är 24 så vi kan ställa upp 24=Summa av åldrar/5. Nu kan vi bestämma summan av åldrarna genom att multiplicera med 5 i båda led. Summa av åldrar=120 När den nya butiksföreståndaren anställs ökar antalet anställda med 1 och summan av åldrarna ökar med 36 till 156. Nu kan vi beräkna den nya genomsnittsåldern.

Den nya medelåldern är 26 år.

Lägesmått

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Återvänd till lektionen.