body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Rekommenderade

Tester

Ett fel uppstod, försök igen senare!

eKurser /

( Ma 1a , Ma 2b , Ma 2c ) /

Kapitel {{ article.chapter.number }}

{{ article.number }}.

Visa mindre Visa mer

Inställningar & verktyg för lektion

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

Kreditlista Bilder

{{ item.file.title }}
{{ presentation }}

Inga inlägg om filrättigheter hittades

Videolektion

Mathleaks

Minispelare aktiv

Ett lägesmått, eller ett mått på centraltendens, är ett statistiskt mått som sammanfattar en datamängd genom att hitta ett centralt värde. De vanligaste centralmåtten är medelvärde, median och typvärde. Centralmått används ofta tillsammans med ett spridningsmått för att ge en uppfattning om både vad ett typiskt värde är och hur mycket datan kan förväntas avvika från det.

Interaktivt program där punkterna i prickdiagrammet kan flyttas runt.

Flytta punkterna i punktdiagrammet för att skapa ny data. Applet identifierar medelvärdet, medianen och typvärdet för datamängden.

Koncept

Medelvärde

Medelvärdet, eller genomsnittet, av en numerisk datamängd är ett av centralmåtten. Det definieras som summan av alla datavärden i en mängd dividerat med antalet värden i mängden.

$Medelv \ddot{a} rde = \frac{Summan av v a ¨ rden}{Antal v a ¨ rden}$

Följande program beräknar medelvärdet av datamängden på tallinjen. Punkter kan flyttas för att ändra datavärdena.

Interaktiv graf som visar hur värdet på medelvärdet förändras när datapunkterna ändras.

Medelvärdet av en uppsättning

x_{1},

x_{2},

\dots,

x_{n}

betecknas vanligtvis som

\overline{x} .

\overline{x} = \frac{x _{1} + x _{2} + \dots + x _{n}}{n}

Koncept

Median

Medianen är ett lägesmått som ligger i mitten av en numerisk datamängd när datamängden är skriven i numerisk ordning. När datamängden har ett udda antal datapunkter är medianen värdet i mitten.

Men när datamängden har ett jämnt antal datapunkter är medianen medelvärdet av de två mellersta värdena.

Slumpmässig datamängd med 10 element, medianen är markerad

Digitala verktyg

Bestäm lägesmått med räknare

Man kan bestämma olika lägesmått för en datamängd med hjälp av räknare.

Lägg in värden i lista

Man börjar med att trycka på knappen $STAT$ och sedan Edit. Därefter skriver man in samtliga värden i en av listorna, t.ex. lista $L 1 .$ Det spelar ingen roll i vilken ordning värdena skrivs in.

Bilden kunde ej laddas

Bilden kunde ej laddas

Bestäm lägesmått

När värdena är inmatade trycker man på $STAT$ igen och väljer CALC-menyn. Där markerar man alternativet $1 - Var$ Stats och trycker på $ENTER$ två gånger. Om man matat in värdena i någon annan lista än $L 1$ väljer man den genom att trycka på $2 ND$ och sedan siffran på listan $($ t.ex. $2 ND + 3) .$

Bilden kunde ej laddas

Displayen visar då en mängd olika symboler. Den översta symbolen ( $x$ med streck ovanför) är medelvärdet, vilket här är $91, 3 .$

Bilden kunde ej laddas

För att hitta medianen måste man trycka nedåt till alternativet Med. Där kan man läsa av medianen, som i just detta fall är $12, 4 .$

Bilden kunde ej laddas

Koncept

Typvärde

Typvärdet är ett centralmått som visar det vanligaste värdet eller värdena i en datamängd. Typvärden kan användas för både numeriska och kategoriska data.

En datamängd kan ha mer än ett typvärde om två eller fler datavärden är lika vanliga. Om alla värden i mängden dock förekommer endast en gång, så har datamängden inget typvärde.

Om man har gjort en undersökning och fått en samling mätvärden kan det vara svårt att säga något om det man har undersökt bara genom att titta på alla dessa värden. Då kan det vara bra att använda läges- och spridningsmått. Ett lägesmått sammanfattar alla mätvärden med ett enda representativt värde medan spridningsmått anger hur mätvärdena är spridda kring detta värde.

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Medelvärde
Median
Typvärde

Teori

Medelvärde

Medelvärdet, eller genomsnittet, av en numerisk datamängd är ett av centralmåtten. Det definieras som summan av alla datavärden i en mängd dividerat med antalet värden i mängden.

$Medelv \ddot{a} rde = \frac{Summan av v a ¨ rden}{Antal v a ¨ rden}$

Följande program beräknar medelvärdet av datamängden på tallinjen. Punkter kan flyttas för att ändra datavärdena.

Medelvärdet av en uppsättning

x_{1},

x_{2},

\dots,

x_{n}

betecknas vanligtvis som

\overline{x} .

\overline{x} = \frac{x _{1} + x _{2} + \dots + x _{n}}{n}

Teori

Median

Men när datamängden har ett jämnt antal datapunkter är medianen medelvärdet av de två mellersta värdena.

Teori

Typvärde

Typvärdet är ett centralmått som visar det vanligaste värdet eller värdena i en datamängd. Typvärden kan användas för både numeriska och kategoriska data.

En datamängd kan ha mer än ett typvärde om två eller fler datavärden är lika vanliga. Om alla värden i mängden dock förekommer endast en gång, så har datamängden inget typvärde.

Exempel

Bestäm medelvärdet, medianen och typvärdet

a Bestäm medelvärdet för följande datamängd.

9, 5, 7, 2, 5, 4, 9, 8, 9, 1

b Bestäm medianen för följande datamängd.

9, 5, 7, 2, 5, 4, 9, 8, 9, 1

c Bestäm typvärdet för följande datamängd.

9, 5, 7, 2, 5, 4, 9, 8, 9, 1

Ledtråd

a Medelvärdet, det definieras som summan av alla datavärden i en mängd dividerat med antalet värden i mängden.

b Medianen är ett lägesmått som ligger i mitten av en numerisk datamängd när datamängden är skriven i numerisk ordning.

c Typvärdet är ett centralmått som visar det vanligaste värdet eller värdena i en datamängd.

Lösning

a För att beräkna medelvärdet adderar vi först alla värden och delar sedan med antalet värden, vilket i det här fallet är

10 .

\overset{x}{ˉ} = \frac{9 + 5 + 7 + 2 + 5 + 4 + 9 + 8 + 9 + 1}{1 0}

AddTerms

Addera termer

\overset{x}{ˉ} = \frac{5 9}{1 0}

CalcQuot

Beräkna kvot

\overset{x}{ˉ} = 5, 9

Medelvärdet är

5, 9 .

b För att bestämma medianen måste vi först skriva värdena i storleksordning:

1, 2, 4, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9 .

Medianen är mittenvärdet av datamängden men eftersom det finns ett jämnt antal tal finns det inget enskilt mittental. Medianen blir istället medelvärdet av de två mittersta talen, dvs.

5

och

7 :

Median = \frac{5 + 7}{2} = 6 .

Medianen är

6 .

c Typvärdet är det värde som är vanligast i datamängden. I det här fallet är det

9,

som förekommer tre gånger.

Exempel

Vilket lägesmått passar bäst?

En lärare ska ställa några frågor till sin lågstadieklass. Vilket eller vilka lägesmått är lämpligast för att presentera resultatet?

a Vilken är din favoritfärg?

b Hur långt har du till skolan?

c Hur gammal är du?

Svar

a Typvärdet

b Se lösning.

c Se lösning.

Ledtråd

a Kom ihåg definitionen av medelvärde, median och typvärde.

b Kom ihåg definitionen av medelvärde, median och typvärde.

c Kom ihåg definitionen av medelvärde, median och typvärde.

Lösning

a Eftersom svaren inte är tal går det inte att beräkna något medelvärde eller median. Det enda lägesmått man kan ange är typvärdet.

b Det är inte säkert att typvärdet kommer att säga något, eftersom alla sannolikt kommer ange lite olika svar. Medelvärdet är förmodligen lämpligast, om inte någon har en ovanligt lång eller kort resa till skolan. I så fall kan median vara ett bättre lägesmått.

c Förmodligen kommer de flesta vara födda samma år, så två åldrar kommer vara vanligast. Ett medelvärde kan då vara lämpligt eftersom det hamnar någonstans mellan dessa. Om läraren, som är mycket äldre än eleverna, skulle ingå som observation förskjuter det dock medelvärdet uppåt, och då passar median eller typvärde bättre.

Övning

Öva på att hitta lägesmått

Mått som medelvärde, median, och typvärde är väsentliga för att förstå den centrala tendensen i en datamängd. Hitta det angivna måttet för den givna datamängden. Om svaret inte är ett heltal, avrunda det till en decimal.

En applet som ber om ett centralmått för en given datamängd.

Teori

Variationsbredd

Lägesmått som medelvärde och median fungerar bra för att hitta ett värde som är representativt för en hel samling mätvärden. De säger dock inget om hur mätvärden är spridda kring detta värde. Alla ligger kanske nära medelvärdet eller så kan de vara väldigt utspridda. För att beskriva spridningen använder man spridningsmått, t.ex. variationsbredd.

$Variationsbredd = St \ddot{o} rsta v \ddot{a} rde - Minsta v \ddot{a} rde$

Variationsbredden är alltså den största skillnaden mellan olika mätvärden, och man får det genom att subtrahera det minsta värdet man fick i undersökningen från det största värdet. Det ger en idé om hur stort spann värdena sträcker sig över. Får man t.ex. en stor variationsbredd vet man att det finns värden som skiljer sig mycket från medelvärdet.

Exempel

Vad är variationsbredden?

Damernas längdhoppsfinal i OS

2016

fick följande resultat. Längderna är i meter.

6, 957, 157, 086, 796, 746, 81 .

Vad är variationsbredden?

Ledtråd

Tänk på skillnaden mellan det största och det minsta värdet i en datamängd.

Lösning

Variationsbredden är skillnaden mellan största och minsta värdet. Vi börjar med att identifiera dessa i datamängden.

Det längsta hoppet var

7, 15

meter och det kortaste var

6, 74

meter. Det ger variationsbredden

7, 15 - 6, 74 = 0, 41 meter .

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Medelvärde
Median
Typvärde

Förkunskaper

Datamängd
Statistik
Andel

Teori

Medelvärde

Medelvärdet, eller genomsnittet, av en numerisk datamängd är ett av centralmåtten. Det definieras som summan av alla datavärden i en mängd dividerat med antalet värden i mängden.

$Medelv \ddot{a} rde = \frac{Summan av v a ¨ rden}{Antal v a ¨ rden}$

Följande program beräknar medelvärdet av datamängden på tallinjen. Punkter kan flyttas för att ändra datavärdena.

Medelvärdet av en uppsättning

x_{1},

x_{2},

\dots,

x_{n}

betecknas vanligtvis som

\overline{x} .

\overline{x} = \frac{x _{1} + x _{2} + \dots + x _{n}}{n}

Teori

Median

Men när datamängden har ett jämnt antal datapunkter är medianen medelvärdet av de två mellersta värdena.

Teori

Typvärde

Typvärdet är ett centralmått som visar det vanligaste värdet eller värdena i en datamängd. Typvärden kan användas för både numeriska och kategoriska data.

En datamängd kan ha mer än ett typvärde om två eller fler datavärden är lika vanliga. Om alla värden i mängden dock förekommer endast en gång, så har datamängden inget typvärde.

Exempel

Bestäm medelvärdet, medianen och typvärdet

a Bestäm medelvärdet för följande datamängd.

9, 5, 7, 2, 5, 4, 9, 8, 9, 1

b Bestäm medianen för följande datamängd.

9, 5, 7, 2, 5, 4, 9, 8, 9, 1

c Bestäm typvärdet för följande datamängd.

9, 5, 7, 2, 5, 4, 9, 8, 9, 1

Ledtråd

a Medelvärdet, det definieras som summan av alla datavärden i en mängd dividerat med antalet värden i mängden.

b Medianen är ett lägesmått som ligger i mitten av en numerisk datamängd när datamängden är skriven i numerisk ordning.

c Typvärdet är ett centralmått som visar det vanligaste värdet eller värdena i en datamängd.

Lösning

a För att beräkna medelvärdet adderar vi först alla värden och delar sedan med antalet värden, vilket i det här fallet är

10 .

\overset{x}{ˉ} = \frac{9 + 5 + 7 + 2 + 5 + 4 + 9 + 8 + 9 + 1}{1 0}

AddTerms

Addera termer

\overset{x}{ˉ} = \frac{5 9}{1 0}

CalcQuot

Beräkna kvot

\overset{x}{ˉ} = 5, 9

Medelvärdet är

5, 9 .

b För att bestämma medianen måste vi först skriva värdena i storleksordning:

1, 2, 4, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9 .

Medianen är mittenvärdet av datamängden men eftersom det finns ett jämnt antal tal finns det inget enskilt mittental. Medianen blir istället medelvärdet av de två mittersta talen, dvs.

5

och

7 :

Median = \frac{5 + 7}{2} = 6 .

Medianen är

6 .

c Typvärdet är det värde som är vanligast i datamängden. I det här fallet är det

9,

som förekommer tre gånger.

Exempel

Vilket lägesmått passar bäst?

En lärare ska ställa några frågor till sin lågstadieklass. Vilket eller vilka lägesmått är lämpligast för att presentera resultatet?

a Vilken är din favoritfärg?

b Hur långt har du till skolan?

c Hur gammal är du?

Svar

a Typvärdet

b Se lösning.

c Se lösning.

Ledtråd

a Kom ihåg definitionen av medelvärde, median och typvärde.

b Kom ihåg definitionen av medelvärde, median och typvärde.

c Kom ihåg definitionen av medelvärde, median och typvärde.

Lösning

a Eftersom svaren inte är tal går det inte att beräkna något medelvärde eller median. Det enda lägesmått man kan ange är typvärdet.

Övning

Öva på att hitta lägesmått

Teori

Variationsbredd

$Variationsbredd = St \ddot{o} rsta v \ddot{a} rde - Minsta v \ddot{a} rde$

Exempel

Vad är variationsbredden?

Damernas längdhoppsfinal i OS

2016

fick följande resultat. Längderna är i meter.

6, 957, 157, 086, 796, 746, 81 .

Vad är variationsbredden?

Ledtråd

Tänk på skillnaden mellan det största och det minsta värdet i en datamängd.

Lösning

Variationsbredden är skillnaden mellan största och minsta värdet. Vi börjar med att identifiera dessa i datamängden.

Det längsta hoppet var

7, 15

meter och det kortaste var

6, 74

meter. Det ger variationsbredden

7, 15 - 6, 74 = 0, 41 meter .

Bestäm lägesmåtten från frekvenstabellen

fullscreen

På ett företag frågade man de anställda hur många gånger i veckan de tränar. Bestäm typvärde, medelvärde och median från frekvenstabellen.

Träningsdagar	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$
Frekvens	$5$	$19$	$27$	$22$	$15$	$4$	$4$	$1$

Visa Lösning

Exempel

Typvärde

Typvärdet är det vanligaste värdet, så det är bara att avläsa vilket svarsalternativ som har högst frekvens. I det här fallet har flest personer svarat att de tränar

2

dagar i veckan, vilket då är typvärdet.

Exempel

Medelvärde

För att beräkna medelvärdet ska vi summera det totala antalet träningsdagar och sedan dela med antal anställda. Vi vet till exempel att

27

personer tränar

2

dagar i veckan, vilket ger

2 \cdot 27

dagar, så vi kan beräkna det totala antalet träningsdagar genom att multiplicera träningsdagar med motsvarande frekvens och summera.

5 \cdot 0 + 19 \cdot 1 + 27 \cdot 2 + 22 \cdot 3 + 15 \cdot 4 + 4 \cdot 5 + 4 \cdot 6 + 1 \cdot 7 = 250 .

Antal anställda är summan av frekvenserna:

5 + 19 + 27 + 22 + 15 + 4 + 4 + 1 = 97 .

Det finns alltså

97

anställda på företaget. Nu delar vi det totala antalet träningsdagar med antalet anställda för att få genomsnittet:

\overset{x}{ˉ} = \frac{2 5 0}{9 7} \approx 2.6 dagar / pers .

Exempel

Median

För att hitta medianen brukar man skriva värdena i storleksordning och läsa av det som står i mitten. Nu finns det väldigt många värden så istället för att skriva ut alla, räknar vi vilket värde i ordningen som står i mitten. Om värdena skrivs i ordning får man först

5

nollor, följt av

19

ettor,

27

tvåor osv.

0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, \dots

Det finns ett udda antal värden

(97),

så det finns ett mittenvärde. Det betyder att

96

värden ligger kring medianen. Eftersom medianen är i mitten finns det lika många tal på varje sida, dvs.

\frac{9 6}{2} = 48

stycken. Medianen är då tal nummer

49 .

De fem första talen är nollor och följda av

19

ettor så att man kommer upp till nummer

24 .

Tvåorna lägger på ytterligare

27

tal, upp till och med

51

Värde	$\dots$	$2$	$2$	$2$	$2$	$2$	$3$	$\dots$
Nummer	$\dots$	$47$	$48$	$49$	$50$	$51$	$52$	$\dots$

Det $49$ :e talet är $2$ så medianen är $2$ träningsdagar.

Laddar innehåll

{{ article.displayTitle }}

Förkunskaper

Ledtråd

Lösning

Svar

Ledtråd

Lösning

Ledtråd

Lösning

Förkunskaper

Ledtråd

Lösning

Svar

Ledtråd

Lösning

Ledtråd

Lösning

Exempel

Bestäm lägesmåtten från frekvenstabellen