body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

{{ 'ml-label-loading-course' | message }}

{{ toc.name }}

{{ toc.signature }}

{{ tocHeader }} {{ 'ml-btn-view-details' | message }}

{{ tocSubheader }}

{{ 'ml-toc-proceed-mlc' | message }}

{{ 'ml-toc-proceed-tbs' | message }}

Ett fel uppstod, försök igen senare!

Kapitel {{ article.chapter.number }}

{{ article.number }}.

{{ article.displayTitle }}

{{ article.intro.summary }}

Visa mindre Visa mer

{{ ability.displayTitle }}

Inställningar & verktyg för lektion

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

Kreditlista Bilder

{{ item.file.title }}
{{ presentation }}

Inga inlägg om filrättigheter hittades

Videolektion

Mathleaks

Mathleaks

Minispelare aktiv

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Logaritm
Tiologaritm
Grundläggande samband för tiologaritmen

Förkunskaper

Exponent
Potens

Koncept

Logaritm

En logaritm av ett tal anger den exponent man måste upphöja logaritmens bas till för att få tillbaka talet. Logaritmen av ett positivt tal $a$ skrivs som nedan, där $b$ anger vilken bas som används. Detta utläses som $b -$ logaritmen av $a .$

$lo g_{b} (a)$

Exempelvis är

lo g_{4} (16) = 2,

eftersom

2

är den exponent man ska upphöja basen

4

till för att få resultatet

16 .

Logaritmen är inte definierad för negativa

a .

Resultatet av en logaritm beror på logaritmens bas. Fyralogaritmer anger exponenter som sätts på basen

4

medan exempelvis niologaritmer anger exponenter som sätts på basen

9 .

Byter man logaritmens bas blir resultatet av det logaritmerade talet något annat.

En vanligt använd logaritm är tiologaritmen, som ofta betecknas med

l g

istället för

lo g_{10} .

För alla logaritmer gäller logaritmlagarna.

Koncept

Tiologaritm

En tiologaritm är en logaritm som använder basen

10

. T.ex. är

lo g_{10} (1000)

lika med

3

då

1 0^{3}

är lika med

1000 .

Samband mellan bas och exponent för tiologaritmer och potenser

Tiologaritmen kan skrivas

lo g_{10} (),

men eftersom den används ofta har den fått en egen notation,

l g () .

Det är den logaritm de flesta räknare använder när man trycker på

lo g .

För ett positivt tal

a

skrivs definitionen av en tiologaritm som nedan.

$a = 1 0^{b} \Leftrightarrow b = l g (a)$

Talen $0, 01,$ $0, 1,$ $1,$ $10$ och $100$ kan skrivas som tiopotenser, dvs. $1 0^{- 2},$ $1 0^{- 1},$ $1 0^{0},$ $1 0^{1}$ och $1 0^{2} .$ Beräknar man tiologaritmen av dessa blir resultatet exponenten på tiopotensen.

$x$	$0, 01$	$0, 1$	$1$	$10$	$100$
$l g (x)$	$l g (0, 01)$	$l g (0, 1)$	$l g (1)$	$l g (10)$	$l g (100)$
$=$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$

Man kan även beräkna tiologaritmer på räknaren.

Exempel

Bestäm tiologaritmernas värden

Bestäm värdena på logaritmerna utan räknare:

l g (10000) l g (100) l g (1) l g (0, 001) .

Ledtråd

Skriv varje tal som en potens av $10 .$

Lösning

l g

är tiologaritmen, så

l g (10000)

är alltså det tal man ska höja upp

10

till för att få

10000 .

Eftersom

10000

är lika med

1 0^{4}

är

l g (10000) = l g (1 0^{4}) = 4 .

Tänker vi på samma sätt för övriga logaritmer får vi följande. Kom ihåg att alla tal (förutom

0

) upphöjt till

0

är

1 .

$l g (10000)$	$=$	$l g (1 0^{4})$	$=$	$4$
$l g (100)$	$=$	$l g (1 0^{2})$	$=$	$2$
$l g (1)$	$=$	$l g (1 0^{0})$	$=$	$0$
$l g (0, 001)$	$=$	$l g (1 0^{- 3})$	$=$	$- 3$

Vi ser att vi även kan bestämma tiologaritmerna genom att räkna nollor, så länge vi tar logaritmen av ett tal som består av en etta följt med ett antal nollor före eller efter. Talet $10000$ har $4$ nollor, $100$ har $2$ nollor, $1$ har $0$ nollor och $0, 001$ har $3$ nollor och är ett tal mindre än $1,$ så då får vi komma ihåg att det ska bli $- 3 .$

Exempel

Vilken logaritm hör ihop med vilket värde?

Para ihop tiologaritmerna med de avrundade värdena utan att använda räknare. Det finns fler värden än logaritmer.

l g (900) l g (100) l g (0.01) l g (0.25) - 5 - 3, 57 - 2 - 0, 6000, 3022, 953

Svar

$l g (900) \approx 2.95$
$l g (100) = 2$
$l g (0, 01) = - 2$
$l g (0, 25) \approx - 0, 60$

Ledtråd

Vilka tal med exakta logaritmer är nära $900$ och $0, 25$ ?

Lösning

Börja med de logaritmer som är av exakta tiopotenser, alltså

l g (100)

och

l g (0, 01) .

De kan skrivas som

l g (1 0^{2})

respektive

l g (1 0^{- 2}),

vilka kan bestämmas exakt. Logaritmen av en tiopotens är exponenten, vilket ger

l g (100) = 2 och l g (0, 01) = - 2 .

Övriga logaritmer kan vi inte bestämma exakt, men baserat på de tiopotenser de ligger mellan kan vi avgöra vilket värde som passar ihop med dem. Talet

900

ligger mellan

100

och

1000 .

Alltså måste

l g (900)

vara större än

l g (100) = 2

och mindre än

l g (1000) = 3,

så det enda värdet logaritmen kan passa ihop med är

2, 95 .

l g (900) \approx 2, 95

På motsvarande sätt ligger

l g (0, 25)

mellan

l g (0, 1) = l g (1 0^{- 1}) = - 1

och

l g (1) = 0,

vilket innebär att den måste passa ihop med värdet

- 0, 60 .

l g (0, 25) \approx - 0, 60

Nu har vi parat ihop alla logaritmer med rätt värden, med följande resultat.

$l g (900)$	$l g (100)$	$l g (0, 25)$	$l g (0, 01)$
$\approx 2, 95$	$2$	$\approx - 0, 60$	$- 2$

Digitala verktyg

Logaritmer på räknare

Hur man beräknar logaritmer med räknaren beror på vilken bas logaritmen har.

Tiologaritmer

På räknaren kan man beräkna tiologaritmen av ett tal genom att trycka på $L O G .$

Tiologaritm på TI-räknare

Det man sedan skriver in är argumentet till logaritmen, alltså det som räknaren kommer att beräkna logaritmen av. Om man ska utföra fler räkneoperationer efter logaritmen är det viktigt att komma ihåg att avsluta argumentet med en högerparentes, vilket skrivs genom att trycka på knappen ).

Tiologaritmer på TI-räknare

Regel

Grundläggande samband för tiologaritmer

Ur definitionen av logaritmer får man två samband som är bra att känna till. De kan tolkas som att tiologaritmen av och tio upphöjt till tar ut varandra.

Regel

1 0^{l g (a)} = a

Sitter en logaritm,

l g (a),

som exponent på

10

kan man direkt bestämma tiopotensens värde genom att läsa av logaritmens argument, dvs.

a .

Samband mellan tiopotenser och tiologaritmer

Man kan endast logaritmera positiva tal. Det finns ju inget tal man kan upphöja

10

till som ger noll eller ett negativt resultat. Denna identitet gäller alltså endast när

a > 0 .

Regel

l g (1 0^{a}) = a

Logaritmerar man en tiopotens blir resultatet exponenten i tiopotensen. Detta är den praktiska tolkningen av definitionen av en tiologaritm.

Samband mellan tiologaritmer och tiopotenser

Exempel

Skriv talet som en tiopotens och tiologaritm

Skriv talet

14

både som en potens med basen

10

och som en tiologaritm.

Svar

$14 = 1 0^{l g (14)} = l g (1 0^{14})$

Ledtråd

Använd de grundläggande relationerna för tiologaritmer.

Lösning

Vi ska skriva

14

på formen

1 0^{a} .

Vad ska

a

vara? Det är det tal man ska höja upp

10

till för att få

14 .

Det är ju, enligt definitionen av logaritmer,

l g (14)

så därför är

14 = 1 0^{l g (14)} .

Nu ska vi skriva

14

som en tiologaritm. Det betyder att den ska stå på formen

l g (a) .

Vad ska

a

vara? Om vi tar tiologaritmen av

1 0^{14}

får vi den exponent som

10

ska upphöjas till för att få

1 0^{14},

dvs. vi får tillbaka exponenten

14 :

14 = l g (1 0^{14}) .

Vi kan även i båda fallen tänka att

l g

och

10

upphöjt till tar ut varandra.

{{ grade.displayTitle }}

Laddar innehåll