{{ article.displayTitle }}

För att kunna föra meningsfulla diskussioner måste man vara överens om vad orden eller symbolerna man använder betyder. En sådan överenskommen innebörd kallas en definition. Inom matematiken används definitioner för att föra in nya begrepp, som primtal.

Ett axiom eller ett postulat är ett påstående som accepteras utan ett bevis. Det används som grund för vidare resonemang och slutsatser för att studera de konsekvenser som följer av det. Tänk på följande analogi. Ett axiom kan ses som en trädstam. Rötterna relaterar till de matematiska definitionerna, grenarna till satser och löven till följdsatser.

I boken Geometrins element, skriven av den antika grekiska matematikern Euklides, skapade han en omfattande modell som visar hur alla egenskaper och satser inom geometrin kan studeras logiskt. De följande fem axiomen beskriver Euklides modell.

1. Det är alltid möjligt att dra en rak linje mellan vilka två punkter som helst.
2. En rak linje kan förlängas oändligt.
3. Det är alltid möjligt att rita en cirkel med en given punkt som centrum och en given radie.
4. Alla räta vinklar är lika.
5. För en given linje och en given punkt som inte ligger på den linjen, finns det exakt en linje som passerar genom den punkten och inte möter den givna linjen.

För att argumentera inom matematiken använder man sig av logik. Genom att utgå ifrån axiom och definitioner, alltså saker som man vet är sanna, kan det dras nya slutsatser som då också måste vara sanna. Med hjälp av denna typ av matematisk argumentation kan man bevisa matematiska satser. Betrakta följande definition och axiom.

Inom matematiken är ett bevis ett logiskt resonemang som leder fram till en slutsats. Resonemanget ska vara så pass strikt att slutsatsen måste vara sann om premisserna, alltså det man utgår ifrån, är det. Det finns olika sätt att bevisa något matematisk:

• Ett direkt bevis är ett konsekvensresonemang där man går rakt på det man vill visa: Det där leder till det här. Vanlig ekvationslösning är uppbyggd på det här sättet.
• Ett indirekt bevis går från andra hållet. Istället för att direkt visa att talet $12$ är jämnt visar man att om ett tal är udda, så är det inte $12$, vilket har samma innebörd.

En implikation är ett samband av typen Om ..., så .... T.ex. råder en implikation mellan påståendena $A\text{:}$ Figuren är en kvadrat och $\text{:}$ Figuren är en fyrhörning. Man brukar använda en pil för att visa att ett påstående implicerar, eller leder till, ett annat.

Notera att implikationen, i det här fallet, inte gäller åt andra hållet: Att figuren är en fyrhörning betyder inte nödvändigtvis att den är en kvadrat. Det finns ju många typer av fyrhörningar.

Ordet ekvivalens kan tolkas som likvärdig. Om två uttryck har samma värde, som $2+5$ och $3+4,$ eller om två påståenden har samma innebörd säger man att de är ekvivalenta. Påstående $A\text{:}$ Triangeln är rätvinklig är helt likvärdigt (ekvivalent) med påstående $B\text{:}$ Pythagoras sats gäller, eftersom detta är en implikation som gäller åt båda håll.

Man kan därför kombinera pilarna för att få tecknet för ekvivalens, vilket är en dubbelpil.