Normalfördelning: Utforska Standardavvikelse och Normalfördelningskurva i Statistik

Beroende på vad man undersöker kommer ett statistiskt material att fördela sig på olika sätt. En av de vanligaste fördelningarna kallas normalfördelning och kan ofta användas för att beskriva t.ex. längder och vikter. Nedan har man gjort ett histogram med uppmätta vikter av en viss typ av godispåsar med medelvärdet $112.5$ g.

Ju fler observationer man gör desto mer kommer histogrammet likna en kulle med sin högsta punkt vid medelvärdet. Observationerna fördelar sig symmetriskt kring medelvärdet och bredden bestäms av standardavvikelsen. De flesta värdena hamnar nära medelvärdet och blir mer ovanliga längre ut i "svansarna." En kurva med det här utseendet kallas för normalfördelningskurva eller Gausskurva.

normalfördelning med standardintervall och procentsatser utsatta

Medelvärdet brukar betecknas med den grekiska bokstaven

μ

("my") och standardavvikelsen med

σ

("sigma"). Procenttalen anger hur stor andel av observationerna som hamnar i de markerade intervallen. De två

2.3 %

-intervallen i "svansarna" inkluderar samtliga observationer längre bort än

2 σ

från medelvärdet. Observationer längre än

3 σ

från medelvärdet är mycket sällsynta, men inte omöjliga.

Begrepp

Egenskaper hos normalfördelat material

Allt material som är normalfördelat fördelar sig på samma sätt. Exempelvis ligger alltid ca $68.2 %,$ alltså ungefär två tredjedelar, av observationerna inom en standardavvikelse från medelvärdet, oavsett vad medelvärdet $μ$ och standardavvikelsen $σ$ är.

Normalfördelning med de två mittersta intervallen markerade

Utseendet på själva kurvan ändras med olika värden på standardavvikelsen. Om standardavvikelsen ökar eller minskar blir kurvan bredare respektive smalare. Procentsatserna ändras dock inte – man hittar ändå samma andel av värdena i de olika intervallen och summan av dem blir alltid $100 %$ .

Tolka normalfördelningen

fullscreen

Reaktionstiden för ett visst test är normalfördelad med medelvärdet $250$ ms och standardavvikelsen $50$ ms. Hur många av testresultaten kan man förvänta sig hamnar mellan $200$ och $350$ ms?

Visa Lösning

Området mellan $200$ ms och $350$ ms går från en standardavvikelse under medelvärdet till två standardavvikelser ovanför medelvärdet.

För att bestämma den totala färgade andelen lägger vi ihop procentsatserna för delområdena:

34.1 % + 34.1 % + 13.6 % = 81.8 % .

Det innebär alltså att ca

82 %,

lite mer än fyra femtedelar, av de personer som gör testet förväntas få ett resultat mellan

200

och

350

ms.

Bestäm andel med normalfördelning

fullscreen

Födelsevikten för kattungar är normalfördelad runt medelvärdet $100$ g, med standardavvikelsen $15$ g. Hur stor andel av kattungarna kan man förvänta sig väger mellan $70$ g och $130$ g?

Visa Lösning

I denna typ av uppgifter är det bra att börja med att skissa en generell normalfördelning.

Medelvärdet är

100

g, så

μ = 100

g, och standardavvikelsen,

σ,

är

15

g. Det betyder att

μ - σ = 100 - 15 = 85 g och μ + σ = 100 + 15 = 115 g .

På samma sätt räknar vi även ut att $μ - 2 σ = 70$ g och $μ + 2 σ = 130$ g och skriver in i skissen.

Vi är intresserade av hur många kattungar som väger mellan $70$ g och $130$ g när de föds, så vi markerar det intervallet i normalfördelningen.

Nu lägger vi ihop de markerade procentsatserna:

13.6 % + 34.1 % + 34.1 % + 13.6 % = 95.4 % .

Man kan alltså förvänta sig att

95.4 %

av kattungarna väger mellan

70

g och

130

g när de föds.

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

{{ article.displayTitle }}

Exempel

Tolka normalfördelningen

Exempel

Bestäm andel med normalfördelning