body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Rekommenderade

Tester

Ett fel uppstod, försök igen senare!

eKurser /

Kapitel {{ article.chapter.number }}

{{ article.number }}.

Visa mindre Visa mer

Inställningar & verktyg för lektion

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

Kreditlista Bilder

{{ item.file.title }}
{{ presentation }}

Inga inlägg om filrättigheter hittades

Inom matematiken uppkommer det ofta situationer där man behöver multiplicera in ett tal i en parentes. Då multipliceras talet med alla termer i parentesen.

Om man istället behöver multiplicerar ihop två parenteser ska man multiplicera alla termer i ena parentesen med alla termer i den andra.

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Andragradsuttryck
Kvadreringsreglerna
Kojugat
Konjugatregeln

Utforska

Att relatera ekvationer till diagram

Överväg olika ekvationer och motsvarande diagram.

Hur kan diagram användas för att visa att ekvationer är sanna?

Koncept

Andragradsuttryck

Ett andragradsuttryck kännetecknas av att den högsta exponenten för variabeln är $2 .$ Uttrycket består av olika termer, inklusive en andragradsterm, en förstagradsterm och en konstantterm.

Uttrycket $4 x^{2} + 12 x - 8$ är ett exempel på ett andragradsuttryck. Detta beror på att den högsta exponenten för variabeln $x$ är $2 .$

Termer i uttrycket
Andragradsterm	$4 x^{2}$ ( $x -$ term med koefficienten $4$ )
Förstagradsterm	$13 x$ ( $x -$ term med koefficienten $13$ )
Konstantterm	$- 10$

Regel

Kvadreringsreglerna

När en parentes med två termer multipliceras med sig själv, dvs. kvadreras, kan beräkningarna underlättas med de så kallade kvadreringsreglerna. De kan alltså tillämpas för att förenkla och beräkna uttryck som

(x + 2)^{2} och (3 - x)^{2} .

Beroende på om det står ett plus- eller minustecken mellan termerna används första eller andra kvadreringsregeln.

Första kvadreringsregeln

Står det ett plustecken mellan termerna i parentesen kan man använda första kvadreringsregeln.

Bevis

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}

Den första kvadreringsregeln kan härledas genom att skriva kvadraten som en multiplikation av två likadana parenteser.

(a + b)^{2}

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

(a + b) (a + b)

ExpandPar

Multiplicera parenteser

a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b

Multiply

Multiplicera faktorer

a^{2} + a b + a b + b^{2}

SimpTerms

Förenkla termer

a^{2} + 2 a b + b^{2}

Man får alltså att

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2} .

Andra kvadreringsregeln

Står det ett minustecken mellan termerna i parentesen kan man använda andra kvadreringsregeln.

Bevis

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}

Den andra kvadreringsregeln kan härledas genom att skriva kvadraten som en multiplikation av två likadana parenteser.

(a - b)^{2}

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

(a - b) (a - b)

ExpandPar

Multiplicera parenteser

a \cdot a + a \cdot (- b) + (- b) \cdot a + (- b) \cdot (- b)

Multiply

Multiplicera faktorer

a^{2} - a b - a b + b^{2}

SimpTerms

Förenkla termer

a^{2} - 2 a b + b^{2}

Man får alltså att

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2} .

Exempel

Förenkla uttrycken med kvadreringsreglerna

Förenkla följande uttryck med kvadreringsreglerna.

(x + 3)^{2}

(7 - x)^{2}

Ledtråd

a Använd den första kvadreringsregeln.

b Använd den andra kvadreringsregeln.

Lösning

a Den första parentesen har ett plustecken mellan termerna så vi använder första kvadreringsregeln.

(x + 3)^{2}

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}

Multiply

Multiplicera faktorer

x^{2} + 6 x + 3^{2}

CalcPow

Beräkna potens

x^{2} + 6 x + 9

Uttrycken kan alltså utvecklas till

x^{2} + 6 x + 9 .

b Den andra parentesen har ett minustecken mellan termerna så vi använder andra kvadreringsregeln.

(7 - x)^{2}

$(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$

7^{2} - 2 \cdot 7 \cdot x + x^{2}

CalcPow

Beräkna potens

49 - 2 \cdot 7 \cdot x + x^{2}

Multiply

Multiplicera faktorer

49 - 14 x + x^{2}

Det andra uttrycket kan utvecklas till

49 - 14 x + x^{2} .

Koncept

Konjugat

Ett konjugat bildas genom att byta tecken på en av termerna i ett binom, alltså ett uttryck med två termer. Exempelvis har

x + 2 konjugatet x - 2 .

När man skapar ett konjugat säger man att man konjugerar, och uttrycken

x + 2

och

x - 2

kallas ibland för konjugerade par.

Regel

Konjugatregeln

Om två parenteser på formen

(a + b)

och

(a - b)

ska multipliceras ihop kan beräkningarna underlättas med den så kallade konjugatregeln. Exempelvis kan regeln användas för förenkling av

(x + 5) (x - 5) och (2 + 6 y) (2 - 6 y) .

Två parenteser på den här formen är varandras konjugat, och därför kallas detta konjugatregeln.

Bevis

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

Konjugatregeln kan härledas genom att utföra multiplikationen av parenteserna med hjälp av vanlig parentesmultiplikation.

(a + b) (a - b)

ExpandPar

Multiplicera parenteser

a \cdot a + a \cdot (- b) + b \cdot a + b \cdot (- b)

Multiply

Multiplicera faktorer

a^{2} - a b + a b - b^{2}

SimpTerms

Förenkla termer

a^{2} - b^{2}

Man får alltså att

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2} .

Exempel

Utveckla uttrycket med konjugatregeln

Utveckla

(x + 3) (x - 3)

med konjugatregeln.

Ledtråd

Använd konjugatregeln.

Lösning

När man använder konjugatregeln kvadrerar man den första termen och subtraherar sedan med kvadraten av den andra.

(x + 3) (x - 3)

$(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$

x^{2} - 3^{2}

CalcPow

Beräkna potens

x^{2} - 9

Man får alltså

x^{2} - 9 .

Övning

Öva på att förenkla uttryck

Förenkla det givna algebraiska uttrycket genom att följa de regler som diskuterades i lektionen. Kom ihåg att multiplicera en variabel med sig själv resulterar i kvadraten av variabeln. Den kvadrerade variabeln kan skrivas som $a^{2},$ $b^{2},$ $c^{2}$ eller $x^{2} .$

Appletet genererar slumpmässigt algebraiska uttryck som innehåller parenteser och uppmanar till den korrekta förenklingen av uttrycket.

Laddar innehåll

{{ article.displayTitle }}

Förkunskaper

Första kvadreringsregeln

Bevis

Andra kvadreringsregeln

Bevis

Ledtråd

Lösning

Bevis

Ledtråd

Lösning