Polynomekvationer - Polynom och funktioner (Ma 3)

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Polynomekvation
Lösa polynomekvationer algebraiskt
Nollproduktmetoden
Variabelsubstitution
Kvadratrotsmetoden
Kvadratkomplettering
Lösning av potesekvationen $x^{n} = a$
Lösa polynomekvationer grafiskt
Hitta nollställe med räknare

Koncept

Polynomekvation

En polynomekvation är en ekvation där både höger- och vänsterledet är polynom, t.ex.

x^{3} - x = 7 x^{2} + 3 .

En sådan ekvation har maximalt lika många reella lösningar som gradtalet för det polynom man får om man flyttar över alla termer till ena ledet. Skriver man exempelvis ekvationen ovan som

x^{3} - 7 x^{2} - x - 3 = 0

vet man att den har maximalt

3

lösningar. För att lösa polynomekvationer finns det algebraiska metoder som

p q

-formeln, nollproduktmetoden och variabelsubstitution. Dessa går bara att använda i vissa specifika fall, medan en grafisk lösning fungerar på alla polynomekvationer.

Metod

Lösa polynomekvationer algebraiskt

Det kan vara svårt att hitta generella algebraiska metoder för att lösa polynomekvationer av grad

3

eller högre men vissa går att lösa med metoderna nedan.

Metod

Nollproduktmetoden

För att kunna använda nollproduktmetoden måste polynomet i ekvationen först faktoriseras. Man kan t.ex. lösa ekvationen

x^{3} + 8 x^{2} = 20 x

på detta sätt.

Flytta över alla termer till vänsterledet

Nollproduktmetoden kräver att ekvationens ena led är lika med

0,

så man subtraherar

20 x

från båda led:

x^{3} + 8 x^{2} - 20 x = 0 .

Dela upp vänsterledet i faktorer

Använd en lämplig metod för att faktorisera vänsterledet. Här kan man bryta ut

x .

x^{3} + 8 x^{2} - 20 x = 0

FactorOut

Bryt ut $x$

x (x^{2} + 8 x - 20) = 0

Använd nollproduktmetoden

Nu kan man använda nollproduktmetoden för att dela upp ekvationen i flera delekvationer av lägre grad.

x (x^{2} + 8 x - 20) = 0

ZeroProdProp

Använd nollproduktmetoden

{x = 0 x^{2} + 8 x - 20 = 0

Lös ekvationerna

I det här fallet får man ut en lösning direkt,

x = 0,

samt en andragradsekvation som kan lösas med

p q -

formeln.

x^{2} + 8 x - 20 = 0

UsePQ

Använd $p q$ -formeln: $p = 8, q = - 20$

x = - \frac{8}{2} \pm (\frac{8}{2})^{2} - (- 20)

CalcQuot

Beräkna kvot

x = - 4 \pm 4^{2} - (- 20)

CalcPow

Beräkna potens

x = - 4 \pm 16 - (- 20)

SubNeg

$a - (- b) = a + b$

x = - 4 \pm 36

CalcRoot

Beräkna rot

x = - 4 \pm 6

StateSol

Ange lösningar

x_{1} = - 10 x_{2} = 2

Ekvationen har alltså lösningarna

x = 0,

x = - 10

och

x = 2 .

Metod

Variabelsubstitution

Den här metoden är lämplig för fjärdegradsekvationer på formen

a x^{4} + b x^{2} + c = 0,

alltså de som saknar tredje- och förstagradstermer. Idén är att med hjälp av variabelsubstitution skriva om fjärdegradsekvationen till en andragradsekvation för att sedan lösa den med

p q

-formeln. Ekvationen

2 x^{4} - 36 x^{2} + 160 = 0

kan exempelvis lösas med denna metod.

Skriv på formen

x^{4} + p x^{2} + q = 0

Man börjar med att skriva ekvationen på något som liknar

p q -

form, dvs. så att koefficienten framför

x^{4}

är

1

och högerledet är lika med

0 .

I detta fall divideras ekvationen med

2,

vilket ger

x^{4} - 18 x^{2} + 80 = 0 .

Substituera

x^{2}

med

t

Låt

x^{2} = t .

Mittentermen blir då

- 18 t

och genom att skriva om

x^{4} -

termen som

(x^{2})^{2}

ser man också att

x^{4} = t^{2} .

x^{4} - 18 x^{2} + 80 = 0

ProdInExponent

$a^{b \cdot c} = (a^{b})^{c}$

(x^{2})^{2} - 18 x^{2} + 80 = 0

Substitute

$x^{2} = t$

t^{2} - 18 t + 80 = 0

Nu har man en andragradsekvation, vilket var det man var ute efter.

Lös andragradsekvationen

För att lösa denna andragradsekvation kan man använda

p q -

formeln.

t^{2} - 18 t + 80 = 0

UsePQ

Använd $p q$ -formeln: $p = - 18, q = 80$

t = - \frac{- 1 8}{2} \pm (\frac{- 1 8}{2})^{2} - 80

CalcQuot

Beräkna kvot

t = - (- 9) \pm (- 9)^{2} - 80

NegNeg

$- (- a) = a$

t = 9 \pm (- 9)^{2} - 80

CalcPow

Beräkna potens

t = 9 \pm 81 - 80

SubTerm

Subtrahera term

t = 9 \pm 1

CalcRoot

Beräkna rot

t = 9 \pm 1

StateSol

Ange lösningar

t_{1} = 8 t_{2} = 10

Byt tillbaka till

x^{2}

Nu måste man byta tillbaka variabeln eftersom det är värden på

x,

inte

t,

som löser ursprungsekvationen. I början gjordes variabelbytet

x^{2} = t,

och för lösningarna

t = 8

och

t = 10

ger det att

x^{2} = 8 och x^{2} = 10 .

Lös ekvationerna och ange rötterna till ursprungsekvationen

Slutligen måste dessa andragradsekvationer lösas, en i taget.

x^{2} = 8

SqrtEqn

$VL = HL$

x = \pm 8

Två av lösningarna är alltså

x = 8

och

x = - 8 .

x^{2} = 10

SqrtEqn

$VL = HL$

x = \pm 10

De fyra lösningarna till ursprungsekvationen är alltså

x = \pm 8

och

x = \pm 10 .

Metod

Kvadratrotsmetoden

Om en andragradsekvation bara innehåller

x^{2} -

termer och en konstant, som

2 x^{2} - 50 = 0

kan den lösas med kvadratrotsmetoden.

Lös ut

x^{2}

Börja med att isolera

x^{2} .

2 x^{2} - 50 = 0

AddEqn

$VL + 50 = HL + 50$

2 x^{2} = 50

DivEqn

$VL / 2 = HL / 2$

x^{2} = 25

Dra kvadratroten ur båda led

Ta kvadratroten ur båda led: kom ihåg att både positiva och negativa tal har samma kvadrat.

x^{2} = 25

SqrtEqn

$VL = HL$

x = \pm 25

CalcRoot

Beräkna rot

x = \pm 5

StateSol

Ange lösningar

x = 5 x = - 5

x^{2} = 100 \Leftrightarrow x = \pm 10

Räknare visar vanligtvis bara den positiva roten, så glöm inte den negativa. Om

x^{2}

är lika med ett negativt tal har ekvationen inga reella lösningar.

Metod

Kvadratkomplettering

Kvadratkomplettering används för att lösa andragradsekvationer som innehåller

x^{2} -,

x -

och konstantterm, t.ex.

3 x^{2} + 18 x - 21 = 0 .

Målet är att skriva om ekvationen i formen

(x + a)^{2} = b

så att vi kan lösa ut

x

genom att ta roten ur båda led.

Flytta om termer och gör koefficienten framför

x^{2}

till

1

Flytta konstanten till högerledet:

3 x^{2} + 18 x = 21 .

Dividera med

3 :

x^{2} + 6 x = 7 .

Komplettera till en kvadrat

Titta på koefficienten framför

x

(h \ddot{a} r 6) .

Halva den är

3,

och

3^{2} = 9 .

Lägg till

9

i båda led:

x^{2} + 6 x + 9 = 7 + 9 \Rightarrow (x + 3)^{2} = 16

Lös ekvationen

Ta kvadratroten ur båda led och kom ihåg

\pm :

x + 3 = \pm 4 \Rightarrow x = - 3 \pm 4

Lösningarna blir:

x = 1 och x = - 7

Metod

Lösning av potesekvationen

x^{n} = a

En potensekvation har formen

x^{n} = a .

Man löser den genom att ta den rot som tar ut exponenten.

x^{2} = a \Rightarrow x = \pm a

Potensekvationer av högre grad löses på samma sätt. I en tredjegradsekvation tar man tredje roten ur båda leden, eftersom tredje roten ur och upphöjt till

3

tar ut varandra. Tänk dig till exempel att vi ska lösa följande ekvation:

2 x^{3} = 128

Den här ekvationen löses i två steg:

Isolera potensen

Dela båda sidor med

2 :

2 x^{3} = 128 \Rightarrow x^{3} = 64

Ta motsvarande rot

Cube root of both sides:

x = 64 \Rightarrow x = 4

Det viktiga är att ta den rot som motsvarar ekvationens grad. Om exponenten är udda har ekvationen alltid en reell lösning, även om högerledet är negativt. Är exponenten jämn får man oftast två lösningar, men inga reella lösningar om högerledet är negativt.

Exempel

Lös polynomekvationen med nollproduktmetoden

Lös ekvationen

2 x (3 x + 5) (x - 7) = 0 .

Ledtråd

Sätt varje faktor lika med noll och lös de resulterande ekvationerna.

Lösning

Vänsterledet är en produkt av tre faktorer och högerledet är lika med

0 .

Det betyder att vi kan använda nollproduktmetoden.

2 x (3 x + 5) (x - 7) = 0

ZeroProdProp

Använd nollproduktmetoden

⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ 2 x = 0 3 x + 5 = 0 x - 7 = 0 (I) (II) (III)

DivEqn

$(I):$ $VL / 2 = HL / 2$

⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ x = 0 3 x + 5 = 0 x - 7 = 0

SubEqn

$(II):$ $VL - 5 = HL - 5$

⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ x = 0 3 x = - 5 x - 7 = 0

DivEqn

$(II):$ $VL / 3 = HL / 3$

⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ x = 0 x = - 5 / 3 x - 7 = 0

AddEqn

$(III):$ $VL + 7 = HL + 7$

⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ x_{1} = 0 x_{2} = - 5 / 3 x_{3} = 7

Ekvationen har tre rötter:

x = 0,

x = - 5 / 3

och

x = 7 .

Exempel

Lös polynomekvationen med variabelsubstitution

Lös ekvationen

3 x^{4} - 15 x^{2} + 12 = 0 .

Ledtråd

Skriv om ekvationen så att koefficienten framför $x^{4}$ är $1 .$ Använd variabelsubstitution för att bilda en andragradsekvation och lös den med $p q -$ formeln.

Lösning

Börja med att dividera ekvationen med

2,

så att koefficienten framför

x^{4}

blir

1 .

x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0

Resultatet är en fjärdegradsekvation på formen

x^{4} + b x^{2} + c = 0,

så använd variabelsubstitution för att lösa den. Låt

x^{2} = t .

Använd detta för att skriva om ekvationen.

x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0

ProdInExponent

$a^{b \cdot c} = (a^{b})^{c}$

(x^{2})^{2} - 5 x^{2} + 4 = 0

Substitute

$x^{2} = t$

t^{2} - 5 t + 4 = 0

Detta ger en andragradsekvation som kan lösas med

p q -

formeln.

t^{2} - 5 t + 4 = 0

▼

Lös ut

t

UsePQ

Använd $p q$ -formeln: $p = - 5, q = 4$

t = - \frac{- 5}{2} \pm (\frac{- 5}{2})^{2} - (4)

RemoveNegFracAndNum

$- \frac{- a}{b} = \frac{a}{b}$

t = \frac{5}{2} \pm (\frac{- 5}{2})^{2} - (4)

RemovePar

Ta bort parentes

t = \frac{5}{2} \pm (\frac{- 5}{2})^{2} - 4

PowQuot

$(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}$

t = \frac{5}{2} \pm \frac{( - 5 ) ^{2}}{2 ^{2}} - 4

CalcPow

Beräkna potens

t = \frac{5}{2} \pm \frac{2 5}{4} - 4

NumberToFrac

$a = \frac{4 \cdot a}{4}$

t = \frac{5}{2} \pm \frac{2 5}{4} - \frac{1 6}{4}

SubFrac

Subtrahera bråk

t = \frac{5}{2} \pm \frac{9}{4}

SqrtQuot

$\frac{a}{b} = \frac{a}{b}$

t = \frac{5}{2} \pm \frac{9}{4}

CalcRoot

Beräkna rot

t = \frac{5}{2} \pm \frac{3}{2}

StateSol

Ange lösningar

t = 5 / 2 + 3 / 2 t = 5 / 2 - 3 / 2

$(I), (II):$ Lägg ihop bråk

t = 4 t = 1

Substituera därefter tillbaka till den ursprungliga variabeln, eftersom lösningarna är värden på

t

och inte

x .

Byt ut

t

mot

x^{2},

vilket ger ekvationerna:

x^{2} = 4 och x^{2} = 1 .

Ta kvadratroten ur båda sidor i varje ekvation för att få lösningarna till den ursprungliga fjärdegradsekvationen.

x = \pm 2 och x = \pm 1

Dessa är de fyra lösningarna till ekvationen.

Exempel

Lös polynomekvationen med kvadratkomplettering

Lös ekvationen

2 x^{2} + 8 x - 10 = 0

med hjälp av kvadratkomplettering.

Ledtråd

Skriv om ekvationen så att koefficienten framför $x^{2}$ är $1 .$ Isolera variabeltermerna på vänster sida och konstanten på höger sida. Lägg till kvadraten av halva koefficienten framför $x$ på båda sidor. Skriv sedan om vänster sida som en binom i kvadrat.

Lösning

Börja med att dividera hela ekvationen med

2,

så att koefficienten framför

x^{2}

blir

1 .

2 x^{2} + 8 x - 10 = 0 \Rightarrow x^{2} + 4 x - 5 = 0

Flytta nu konstanttermen till höger sida.

x^{2} + 4 x = 5

Koefficienten framför

x

är

4,

hälften av den är

2,

och

2^{2}

är

4 .

\frac{4}{2} = 2 \Rightarrow 2^{2} = 4

Fortsätt kvadratkompletteringen genom att lägga till

4

på båda sidor av ekvationen för att fullborda kvadraten, och skriv om vänster sida som en binom i kvadrat.

x^{2} + 4 x = 5

AddEqn

$VL + 4 = HL + 4$

x^{2} + 4 x + 4 = 5 + 4

AddTerms

Addera termerna

x^{2} + 4 x + 4 = 9

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

x^{2} + 2 x \cdot 2 + 2 \cdot 2 = 3 \cdot 3

WritePow

Skriv som potens

x^{2} + 2 x \cdot 2 + 2^{2} = 3^{2}

FacPosPerfectSquare

Faktorisera med första kvadreringsregeln

(x + 2)^{2} = 9^{2}

Ta slutligen kvadratroten ur båda sidor och lös ekvationen med avseende på

x .

(x + 2)^{2} = 9^{2}

SqrtEqn

$VL = HL$

x + 2 = \pm 3

StateSol

Ange lösningar

x + 2 = 3 x + 2 = - 3

$(I), (II):$ $VL - 2 = HL - 2$

x = 1 x = - 5

Lösningarna till ekvationen är

x = 1

och

x = - 5 .

Metod

Lösa polynomekvationer grafiskt

För att hitta eventuella rötter till polynomekvationer som är svåra att lösa algebraiskt kan man göra en grafisk lösning. Exempelvis kan man lösa ekvationen

x^{4} + 2 x^{3} + 8 = 9 x^{2} + 2 x

på detta sätt.

Flytta över alla termer till vänsterledet

Genom att skriva om ekvationen så att högerledet är

0

kan man rita upp vänsterledet som en funktion och identifiera funktionens nollställen för att hitta rötterna:

x^{4} + 2 x^{3} - 9 x^{2} - 2 x + 8 = 0 .

Man skulle också kunna använda höger- och vänsterledets funktioner och undersöka när de skär varandra, men det kan vara lite mer komplicerat.

Rita grafen till funktionen

Rita funktionens graf, exempelvis med hjälp av grafritare. Det kan vara nödvändigt att ändra på koordinatsystemets inställningar för att kunna se hela grafen.

Hitta nollställena

För att hitta nollställena kan man använda räknarens verktyg för detta. I det här fallet kan man läsa av dem direkt i figuren.

Nollställena är $x = - 4,$ $x = - 1,$ $x = 1$ och $x = 2,$ och dessa löser även ursprungsekvationen.

Räknaren har ett inbyggt verktyg för att hitta nollställen till en funktion. För att använda det måste man först rita ut grafen, så man börjar med att skriva in funktionsuttrycket.

Bilden kunde ej laddas

Trycker man sedan på $GRAPH$ visas grafen.

Bilden kunde ej laddas

Genom att trycka på $CALC$ $(2 nd + TRACE)$ visas en meny med olika beräkningar som kan göras.

Bilden kunde ej laddas

För att bestämma nollställen väljer man det andra alternativet, zero. Den utritade grafen visas nu igen med en markör som man kan röra med vänster- och högerknapparna.

Bilden kunde ej laddas

Man anger den vänstra och högra gränsen för området där räknaren ska leta efter ett nollställe samt en gissning. Det gör man genom att flytta på markören och trycka på $ENTER$ för att välja punkter. Det går också att skriva in ett $x -$ värde och trycka på $ENTER$ .

Bilden kunde ej laddas

Nollställets

x -

koordinat visas till vänster och

y -

koordinaten, som är

0,

visas till höger. På grund av att räknaren löser problemet numeriskt blir ibland

y -

koordinaten inte exakt

0,

vilket innebär att resultat inte heller blir exakt. Vill man hitta fler nollställen kan man använda metoden igen och sätta gränserna runt ett annat intervall på grafen.

Exempel

Lös polynomekvationen med digitalt verktyg

Lös ekvationen

x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6 = 0

med hjälp av ett digitalt verktyg.

Ledtråd

Sätt högerledet i ekvationen lika med $0,$ och grafritar sedan vänsterledet som en funktion på en grafräknare. Identifiera funktionens nollställen — dessa är lösningarna till ekvationen.

Lösning

Ekvationen kommer att lösas med hjälp av en grafräknare. Eftersom högerledet i ekvationen är $0,$ kan vänsterledet grafritas som en funktion, och funktionens nollställen kan identifieras för att hitta rötterna. Börja med att trycka på $Y =$ och mata in ekvationens vänsterled.

Bilden kunde ej laddas

Tryck sedan på $GRAPH$ för att visa grafen. Det kan vara nödvändigt att justera fönsterinställningarna för att se alla nollställen.

Bilden kunde ej laddas

Tryck nu på $2 nd$ och därefter $TRACE$ för att komma åt menyn $CALC .$ Denna meny innehåller olika beräkningsalternativ.

Bilden kunde ej laddas

Tryck på $2$ för att välja alternativet zero. Grafen visas igen med en markör som kan flyttas med vänster- och högerpilarna.

Bilden kunde ej laddas

Ange det vänstra och högra gränsvärdet för det område där räknaren ska söka efter ett nollställe, samt en gissning. Gör detta genom att flytta markören och trycka på $ENTER$ för att välja punkter. Alternativt kan du skriva in ett $x -$ värde och trycka på $ENTER .$

Bilden kunde ej laddas

Upprepa denna process för varje nollställe i funktionen tills alla tre nollställen har hittats. I detta fall är nollställena $x = - 2,$ $x = 1$ och $x = 3 .$ Dessa är också lösningarna till ekvationen.

Alternativ lösning

Lösa ekvationen med GeoGebra

Ekvationen kan också lösas med ett ekvationslösningsverktyg som GeoGebra. I GeoGebra används kommandot NLös(ekvation), där ekvationen skrivs inom parentesen.

NLös( $x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6 = 0$ )

$= {x = - 2, x = 1, x = 3}$

Lösningen stämmer överens med resultatet som erhölls tidigare. Detta innebär att lösningarna till polynomekvationen är $x = - 2,$ $x = 1$ och $x = 3 .$

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

{{ article.displayTitle }}

Förkunskaper

Metod

Metod

Metod

Metod

Metod

Ledtråd

Lösning

Ledtråd

Lösning

Ledtråd

Lösning

Ledtråd

Lösning

Alternativ lösning