body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Rekommenderade

Tester

Ett fel uppstod, försök igen senare!

eKurser /

( Ma 1b , Ma 1c ) /

Kapitel {{ article.chapter.number }}

{{ article.number }}.

Visa mindre Visa mer

Inställningar & verktyg för lektion

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

Kreditlista Bilder

{{ item.file.title }}
{{ presentation }}

Inga inlägg om filrättigheter hittades

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Potensekvation
Lösa enkla potensekvationer

Teori

Potensekvation

En potensekvation är en ekvation där ena ledet är en potens med variabel i basen och andra ledet är en konstant, t.ex. $x^{4} = 9 .$ Exponenten anger ekvationens grad, så $x^{4} = 9$ är en fjärdegradsekvation.

En potensekvations grad avgör antalet lösningar den maximalt kan ha. Det innebär exempelvis att en fjärdegradsekvation som mest kan ha fyra lösningar. En potenslikning av formen

a x^{2} + c = 0

kallas en enkel andragradsekvation.

Teori

Lösa enkla andragradsekvationer

När en andragradsekvation endast innehåller

x^{2} -

termer och konstanttermer, t.ex.

5 x^{2} - 500 = 0,

går den att lösa med hjälp av kvadratrötter. Denna metod kallas också för kvadratrotsmetoden.

Lös ut

x^{2}

Börja med att lösa ut

x^{2}

så att det står ensamt.

5 x^{2} - 500 = 0

AddEqn

$VL + 500 = HL + 500$

5 x^{2} = 500

DivEqn

$VL / 5 = HL / 5$

x^{2} = 100

Dra kvadratroten ur båda led

När

x^{2}

står ensamt drar man kvadratroten ur båda led.

x^{2} = 100 \Rightarrow x^{2} = 100

Eftersom kvadraten av ett negativt tal blir positivt kan andragradsekvationer ha två lösningar. Om man slår in en kvadratrot på räknare kommer man bara att få ett positivt tal eftersom kvadratroten ur ett tal, per definition, är positiv. Den negativa lösningen måste man därför komma ihåg att lägga till själv:

x^{2} = 100 \Leftrightarrow x = \pm 100 .

Kvadratroten ur

100

är

10,

så ekvationens lösningar är

x = - 10

och

x = 10 .

x^{2}

är lika med ett negativt tal, t.ex.

x^{2} = - 7,

har ekvationen icke-reella rötter.

Exempel

Lös en enkel andragradsekvation

Lös andragradsekvationen

3 x^{2} = 12 .

Ledtråd

Börja med att isolera $x^{2}$ på vänstra sidan.

Lösning

För att lösa ut

x

måste vi först dividera bort

3 : an

så att

x^{2}

står ensamt i vänsterledet.

3 x^{2} = 12

DivEqn

$VL / 3 = HL / 3$

x^{2} = 4

Eftersom $x^{2}$ är kvadrerad drar vi kvadratroten ur båda led för att lösa ut $x .$

x^{2} = 4

SqrtEqn

$VL = HL$

x^{2} = 4

SimpRoot

Förenkla rot

x \pm 2

Både $x = - 2$ och $x = 2$ löser alltså ekvationen. Vi får även en negativ lösning eftersom produkten av två negativa tal är positiv: $(- 2) \cdot (- 2) = 4 .$ Utöver den positiva lösningen måste vi alltså lägga till en negativ. Detta är något man alltid måste tänka på när man löser potensekvationer med ett jämnt gradtal.

Teori

Lösa potensekvationer

Hur man löser en enkel potensekvation, alltså en ekvation på formen $x^{n} = a$ där $a$ är en konstant, beror på ekvationens grad. En andragradsekvation kan lösas genom att ta kvadratroten ur båda leden.

x^{2} = a \Rightarrow x = \pm a

Potensekvationer av högre grad löses på liknande sätt. Till exempel tar man tredje roten ur båda leden i en tredjegradsekvation, eftersom tredje roten ur och upphöjt till $3$ tar ut varandra. Tänk dig till exempel att vi ska lösa följande ekvation:

2 x^{3} = 128

Den här ekvationen kan lösas i två steg.

Isolera potensen

Först ska vi isolera potensen på ena sidan av ekvationen. I det här fallet gör vi det genom att dela båda sidor med $2 .$

2 x^{3} = 128

DivEqn

$VL / 2 = HL / 2$

x^{3} = \frac{1 2 8}{2}

CalcQuot

Beräkna kvot

x^{3} = 64

Ta den motsvarande roten

Ta sedan den rot som tar bort potensen. I det här fallet betyder det att vi tar tredje roten ur båda sidor.

x^{3} = 64

RadicalEqn

$3 VL = 3 HL$

3 x = 364

CalcRoot

Beräkna rot

x = 4

Lösningen till ekvationen

2 x^{3} = 128

är

x = 4 .

Det viktiga är att ta den rot som motsvarar ekvationens grad.

Hur många lösningar en potensekvation har beror på om gradtalet är jämnt eller udda.

Extra

x^{n} = a

och

n

är udda

När man löser ekvationer på formen

x^{n} = a

och

n

är udda har ekvationen alltid en lösning. Exempelvis har ekvationen

x^{3} = 27

lösningen

x = 3,

eftersom

3^{3}

är

27 .

Om potensen är lika med ett negativt tal, t.ex.

y^{3} = - 27,

har även denna ekvation en lösning:

y = - 3,

eftersom $(- 3)^{3}$ är lika med $- 27 .$ Till skillnad från jämna exponenter kan man alltså dra en udda rot ur negativa tal.

Extra

x^{n} = a

och

n

är jämnt

När man löser ekvationer på formen $x^{n} = a$ och $n$ är jämnt, finns det två villkor som är viktiga att ta hänsyn till.

Villkor $1$

En enkel potensekvation med jämn exponent har oftast två lösningar. Exempelvis har ekvationen $x^{2} = 4$ de två lösningarna

x = 2 och x = - 2

eftersom både

2^{2}

och

(- 2)^{2}

är lika med

4 .

Men om man slår in en jämn rot på räknaren kommer den bara att svara med ett positivt tal, eftersom en jämn rot ur ett tal per definition är positiv. Den negativa lösningen måste man därför komma ihåg att lägga till själv.

Villkor $2$

Man kan inte dra en jämn rot ur ett negativt tal, så ekvationer som $x^{2} = - 4$ ger inga reella lösningar.

Det brukar finnas inbyggda funktioner på räknaren för att dra tredje, fjärde osv. roten ur ett tal.

n a

kan också skrivas som

a^{1 / n}

Exempel

Lös potensekvationen med rötter

Lös potensekvationen

x^{3} - 1 = 7 .

Ledtråd

Först, isolera variabeln. Ta sedan kubroten på båda sidor av ekvationen.

Lösning

För att lösa ut $x$ måste vi först addera $1$ till båda led så att $x^{3}$ står ensamt i vänsterledet.

x^{3} - 1 = 7

AddEqn

$VL + 1 = HL + 1$

x^{3} = 8

Eftersom $x$ är upphöjt till $3$ drar vi tredje roten ur båda led för att lösa ut $x .$

x^{3} = 8

RadicalEqn

$3 VL = 3 HL$

3 x^{3} = 38

CalcRoot

Beräkna rot

x = 2

Ekvationen har alltså lösningen $x = 2 .$

Övning

Lösa Potensekvationer

Lös följande potensekvation. Om det finns mer än en lösning, skriv dem åtskilda med ett kommatecken.

Teori

Från rotuttryck till potensform

Rotuttryck är i själva verket ett annat sätt att skriva potenser som har exponenten $\frac{1}{n} .$

Exempelvis kan

a

skrivas som

a^{\frac{1}{2}}

och

3 a

som

a^{\frac{1}{3}} .

Teori

Lösa potensekvationer

När man löser potensekvationer kan man, om man vill, upphöja båda led med inversen av gradtalet. Enligt potenslagarna får man då

(x^{3})^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{3}{3}} = x^{1} = x .

Därför kan man använda detta istället för rotuttryck för att lösa potensekvationer.

Villkoren för udda och jämna exponenter är samma som när man löser potensekvationer genom att använda rotuttryck. När man skriver in denna typ av uttryck på räknaren måste man komma ihåg att sätta parenteser runt bråket i exponenten.

Exempel

Lös potensekvationen med potenser

Lös potensekvationen

9 x^{5} = 63 .

Svara exakt och med två decimaler.

Ledtråd

Först isolera $x^{5} .$ Sedan upphöj båda sidorna av ekvationen till $\frac{1}{5} .$

Lösning

För att lösa ut

x

måste vi först dividera med

9

i båda led så att

x^{5}

står ensamt i vänsterledet.

9 x^{5} = 63

DivEqn

$VL / 9 = HL / 9$

x^{5} = 7

Eftersom exponenten är

5

upphöjer vi båda led till

\frac{1}{5}

för att lösa ut

x .

x^{5} = 7

RaiseEqn

$VL^{1 / 5} = HL^{1 / 5}$

(x^{5})^{1 / 5} = 7^{1 / 5}

PowPow

$(a^{b})^{c} = a^{b \cdot c}$

x^{5 / 5} = 7^{1 / 5}

QuotOne

$\frac{a}{a} = 1$

x = 7^{1 / 5}

Det exakta svaret är $x = 7^{1 / 5} .$ Vi skriver även in detta på räknaren för att få svaret i decimalform.

Bilden kunde ej laddas

Avrundat till två decimaler är lösningen alltså $x \approx 1, 48 .$

Laddar innehåll

{{ article.displayTitle }}

Förkunskaper

Ledtråd

Lösning

Extra

Extra

Villkor1

Villkor 2

Ledtråd

Lösning

Ledtråd

Lösning

Villkor $1$

Villkor $2$