{{ 'ml-label-loading-course' | message }}
{{ toc.name }}
{{ toc.signature }}
{{ tocHeader }} {{ 'ml-btn-view-details' | message }}
{{ tocSubheader }}
{{ 'ml-toc-proceed-mlc' | message }}
{{ 'ml-toc-proceed-tbs' | message }}
Lektion
Övningar
Rekommenderade
Tester
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel {{ article.chapter.number }}
{{ article.number }}. 

{{ article.displayTitle }}

{{ article.intro.summary }}
Visa mindre Visa mer expand_more
{{ ability.description }} {{ ability.displayTitle }}
Inställningar & verktyg för lektion
{{ 'ml-lesson-number-slides' | message : article.intro.bblockCount }}
{{ 'ml-lesson-number-exercises' | message : article.intro.exerciseCount }}
{{ 'ml-lesson-time-estimation' | message }}
Mathleaks Videolektion

Mathleaks

play_circle_filled
play_circle_filled
Mathleaks
picture_in_picture_alt

Minispelare aktiv

Begrepp

Potens

Potenser är ett enklare sätt att skriva upprepad multiplikation. Exempelvis kan produkten skrivas som potensen där sjuan och trean utgör potensens bas respektive exponent.

Potenser1.svg

utläses "sju upphöjt till tre" och exponenten betyder att basen multipliceras tre gånger. I tabellen syns ytterligare några exempel.

upphöjt till
upphöjt till
upphöjt till
När exponenten är utläser man den ibland som "i kvadrat". Till exempel som kan utläsas "åtta i kvadrat". På motsvarande sätt kan potensen utläsas "åtta i kubik".
Digitala verktyg

Potenser på räknare

För att skriva potenser använder man knappen med det lilla "taket" som ser ut så här: . Man skriver först basen, sedan taket och sist exponenten.

TI-beräkning som visar potens

Detta sätt att skriva en potens fungerar för alla exponenter, men det finns ett snabbare sätt att skriva just "upphöjt till två". Man skriver då talet man vill kvadrera, dvs. basen, och trycker sedan på knappen för att upphöja det till

TI-beräkning som visar kvadrering
Regel

Potenslagar

Ur definitionen av potenser följer en del räkneregler som underlättar vid beräkningar. Dessa brukar kort och gott kallas potenslagar.

Regel

Multiplikation och division av potenser

Regel

När potenser med samma bas multipliceras kan de skrivas som en potens genom att man adderar exponenterna. Enligt regeln är t.ex. lika med Man kan motivera detta genom att skriva ut potenserna som upprepade multiplikationer.
Regeln gäller för alla reella tal och

Regel

När potenser med samma bas divideras kan de skrivas som en enda potens där exponenten i nämnaren subtraherats från exponenten i täljaren. Enligt regeln blir t.ex. divisionen av och lika med . Man kan motivera detta genom att skriva ut potenserna som upprepade multiplikationer.

Regeln gäller för alla reella och , men inte om Då blir uttrycket odefinierat.
Regel

Potens av potens, produkt och kvot

Regel

Om basen i en potens själv är en potens kan uttrycket skrivas som en potens där exponenterna multiplicerats. Enligt regeln är t.ex. lika med Man kan motivera detta genom att skriva ut potenserna som upprepade multiplikationer.

Regeln gäller för alla reella tal och

Regel

När basen i en potens är en produkt kan potensen skrivas om genom att sätta exponenten på faktorerna. Enligt regeln är t.ex. samma sak som Man kan motivera detta genom att skriva ut potenserna som upprepade multiplikationer.

Regeln gäller för alla reella tal och

Regel

När basen i en potens är en kvot kan potensen skrivas om genom att sätta exponenten på både nämnaren och täljaren. Enligt regeln är t.ex. samma sak som Man kan motivera detta genom att skriva potensen som upprepad multiplikation.

Regeln gäller för alla reella och men inte om
Regel

Potens med negativ exponent

Regel

När man dividerar potenser med samma nämnare subtraherar man exponenterna. Vad händer om den resulterande exponenten blir negativ, t.ex. och har det någon innebörd? Enligt regeln är det lika med Denna motiveras genom att skriva som t.ex. och använda en av potenslagarna.

En potens med negativ exponent kan ses som en upprepad multiplikation (eller en potens med en positiv exponent) i nämnaren av ett bråk med täljaren 1.
Regel

Specialfall

Ur potenslagarna följer några vanliga fall som kanske inte är självklara, men som kan vara bra att komma ihåg.

Regel

En potens med basen 0, exempelvis , blir 0. Oavsett hur många gånger man multiplicerar 0 med sig själv blir ju produkten alltid 0, t.ex.
Regeln gäller alltid, förutom när exponenten är 0, eftersom är odefinierat.

Regel

En potens med basen 1 blir alltid 1. Oavsett hur många gånger man multiplicerar 1 med sig själv blir ju produkten alltid 1, t.ex.
Regeln gäller för alla reella exponenter.

Regel

Hur ska man tolka en potens med exponenten 0, t.ex. ? Svaret är att ett tal upphöjt till 0 är 1. Motiveringen till detta är att ett tal dividerat med sig självt är just 1. I exemplet skrivs noll som

Denna regel gäller för alla tal utom när basen är 0, dvs. om man har . Då hade man, på motsvarande sätt som i exemplet med 4 fått vilket ger nolldivision som inte är tillåtet.

Regel

En potens med exponenten är alltid lika med sin bas. Det följer naturligt av definitionen av en potens som säger att en potens anger upprepad multiplikation av ett tal. Man kan intuitivt visa varför:
Detta är inget riktigt bevis, men ett enkelt sätt att förstå varför

Dessa regler kan motiveras med hjälp av potenslagarna.

Exempel

Beräkna med potenslagarna

fullscreen
Beräkna värdet av uttrycket utan räknare.
Visa Lösning expand_more

Vi börjar med att beräkna kvoten. Eftersom det är samma bas subtraheras exponenterna.

Beräkna

Uttryckets värde är

Laddar innehåll