Potenser: Utforska potenslagar och specialfall

Videolektion

Mathleaks

Minispelare aktiv

Begrepp

Potens

Potenser är ett enklare sätt att skriva upprepad multiplikation. Exempelvis kan produkten $7 \cdot 7 \cdot 7$ skrivas som potensen $7^{3},$ där sjuan och trean utgör potensens bas respektive exponent.

$7^{3}$ utläses "sju upphöjt till tre" och exponenten $3$ betyder att basen $7$ multipliceras tre gånger. I tabellen syns ytterligare några exempel.

$12 \cdot 12 \cdot 12 = 1 2^{3}$	$12$ upphöjt till $3$
$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^{4}$	$2$ upphöjt till $4$
$6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^{5}$	$6$ upphöjt till $5$

När exponenten är

2

utläser man den ibland som "i kvadrat". Till exempel

8^{2},

som kan utläsas "åtta i kvadrat". På motsvarande sätt kan potensen

8^{3}

utläsas "åtta i kubik".

Digitala verktyg

Potenser på räknare

För att skriva potenser använder man knappen med det lilla "taket" som ser ut så här: $\land$ . Man skriver först basen, sedan taket och sist exponenten.

Detta sätt att skriva en potens fungerar för alla exponenter, men det finns ett snabbare sätt att skriva just "upphöjt till två". Man skriver då talet man vill kvadrera, dvs. basen, och trycker sedan på knappen $x^{2}$ för att upphöja det till $2 .$

Regel

Potenslagar

Ur definitionen av potenser följer en del räkneregler som underlättar vid beräkningar. Dessa brukar kort och gott kallas potenslagar.

Regel

Multiplikation och division av potenser

Regel

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

När potenser med samma bas multipliceras kan de skrivas som en potens genom att man adderar exponenterna. Enligt regeln är t.ex.

2^{3} \cdot 2^{2}

lika med

2^{3 + 2} = 2^{5} .

Man kan motivera detta genom att skriva ut potenserna som upprepade multiplikationer.

2^{3} \cdot 2^{2}

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

(2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2)

RemovePar

Ta bort parentes

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

WritePow

Skriv som potens

2^{5}

Regeln gäller för alla reella tal

a,

b

och

c .

Regel

\frac{a ^{b}}{a ^{c}} = a^{b - c}

När potenser med samma bas divideras kan de skrivas som en enda potens där exponenten i nämnaren subtraherats från exponenten i täljaren. Enligt regeln blir t.ex. divisionen av $3^{6}$ och $3^{4}$ lika med $3^{6 - 4} = 3^{2}$ . Man kan motivera detta genom att skriva ut potenserna som upprepade multiplikationer.

\frac{3 ^{6}}{3 ^{4}}

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

\frac{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}

CrossCommonFac

Stryk faktorer

\frac{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}

SimpQuot

Förenkla kvot

3 \cdot 3

WritePow

Skriv som potens

3^{2}

Regeln gäller för alla reella

a,

b

och

c

, men inte om

a = 0 .

Då blir uttrycket odefinierat.

Regel

Potens av potens, produkt och kvot

Regel

(a^{b})^{c} = a^{b \cdot c}

Om basen i en potens själv är en potens kan uttrycket skrivas som en potens där exponenterna multiplicerats. Enligt regeln är t.ex. $(5^{2})^{3}$ lika med $5^{2 \cdot 3} = 5^{6} .$ Man kan motivera detta genom att skriva ut potenserna som upprepade multiplikationer.

(5^{2})^{3}

PowToProdThreeFac

$a^{3} = a \cdot a \cdot a$

5^{2} \cdot 5^{2} \cdot 5^{2}

PowToProdTwoFac

$a^{2} = a \cdot a$

5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5

WritePow

Skriv som potens

5^{6}

Regeln gäller för alla reella tal

a,

b

och

c .

Regel

(a b)^{c} = a^{c} b^{c}

När basen i en potens är en produkt kan potensen skrivas om genom att sätta exponenten på faktorerna. Enligt regeln är t.ex. $(2 \cdot 5)^{3}$ samma sak som $2^{3} \cdot 5^{3} .$ Man kan motivera detta genom att skriva ut potenserna som upprepade multiplikationer.

(2 \cdot 5)^{3}

PowToProdThreeFac

$a^{3} = a \cdot a \cdot a$

(2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5)

RemovePar

Ta bort parentes

2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5

RearrangeFac

Omarrangera faktorer

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5

ProdToPowThreeFac

$a \cdot a \cdot a = a^{3}$

2^{3} \cdot 5^{3}

Regeln gäller för alla reella tal

a,

b

och

c .

Regel

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

När basen i en potens är en kvot kan potensen skrivas om genom att sätta exponenten på både nämnaren och täljaren. Enligt regeln är t.ex. $(\frac{6}{5})^{4}$ samma sak som $\frac{6 ^{4}}{5 ^{4}} .$ Man kan motivera detta genom att skriva potensen som upprepad multiplikation.

(\frac{6}{5})^{4}

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

\frac{6}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{5}

MultFrac

Multiplicera bråk

\frac{6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6}{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}

WritePow

Skriv som potens

\frac{6 ^{4}}{5 ^{4}}

Regeln gäller för alla reella

a,

b

och

c,

men inte om

b = 0 .

Regel

Potens med negativ exponent

Regel

a^{- b} = \frac{1}{a ^{b}}

När man dividerar potenser med samma nämnare subtraherar man exponenterna. Vad händer om den resulterande exponenten blir negativ, t.ex. $5^{- 3},$ och har det någon innebörd? Enligt regeln är det lika med $\frac{1}{5 ^{3}} .$ Denna motiveras genom att skriva $- 3$ som t.ex. $4 - 7$ och använda en av potenslagarna.

5^{- 3}

Rewrite

Skriv $- 3$ som $4 - 7$

5^{4 - 7}

DiffInExponent

$a^{b - c} = \frac{a ^{b}}{a ^{c}}$

\frac{5 ^{4}}{5 ^{7}}

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

\frac{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}

CrossCommonFac

Stryk faktorer

\frac{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}

SimpQuot

Förenkla kvot

\frac{1}{5 \cdot 5 \cdot 5}

ProdToPowThreeFac

$a \cdot a \cdot a = a^{3}$

\frac{1}{5 ^{3}}

En potens med negativ exponent kan ses som en upprepad multiplikation (eller en potens med en positiv exponent) i nämnaren av ett bråk med täljaren 1.

Regel

Specialfall

Ur potenslagarna följer några vanliga fall som kanske inte är självklara, men som kan vara bra att komma ihåg.

Regel

0^{a} = 0

En potens med basen 0, exempelvis

0^{3}

, blir 0. Oavsett hur många gånger man multiplicerar 0 med sig själv blir ju produkten alltid 0, t.ex.

0^{3} = 0 \cdot 0 \cdot 0 = 0 eller 0^{5} = 0 \cdot 0 \cdot 0 \cdot 0 \cdot 0 = 0 .

Regeln gäller alltid, förutom när exponenten är 0, eftersom

0^{0}

är odefinierat.

Regel

1^{a} = 1

En potens med basen 1 blir alltid 1. Oavsett hur många gånger man multiplicerar 1 med sig själv blir ju produkten alltid 1, t.ex.

1^{3} = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 och 1^{5} = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 .

Regeln gäller för alla reella exponenter.

Regel

a^{0} = 1

Hur ska man tolka en potens med exponenten 0, t.ex. $4^{0}$ ? Svaret är att ett tal upphöjt till 0 är 1. Motiveringen till detta är att ett tal dividerat med sig självt är just 1. I exemplet skrivs noll som $2 - 2 .$

4^{0}

ZeroToDiff

Skriv 0 som $2 - 2$

4^{2 - 2}

DiffInExponent

$a^{b - c} = \frac{a ^{b}}{a ^{c}}$

\frac{4 ^{2}}{4 ^{2}}

QuotOne

$\frac{a}{a} = 1$

1

Denna regel gäller för alla tal utom när basen är 0, dvs. om man har

0^{0}

. Då hade man, på motsvarande sätt som i exemplet med 4 fått

\frac{0 ^{2}}{0 ^{2}},

vilket ger nolldivision som inte är tillåtet.

Regel

a^{1} = a

En potens med exponenten

1

är alltid lika med sin bas. Det följer naturligt av definitionen av en potens som säger att en potens anger upprepad multiplikation av ett tal. Man kan intuitivt visa varför:

7^{5} 7^{4} 7^{3} 7^{2} 7^{1} = 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 = 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 7 \cdot 7 = 7

Detta är inget riktigt bevis, men ett enkelt sätt att förstå varför

a^{1} = a .

Dessa regler kan motiveras med hjälp av potenslagarna.

Beräkna med potenslagarna

fullscreen

Beräkna värdet av uttrycket utan räknare.

6^{3} \cdot \frac{6 ^{9}}{6 ^{5}} \cdot 6^{- 7}

Visa Lösning

Vi börjar med att beräkna kvoten. Eftersom det är samma bas subtraheras exponenterna.

6^{3} \cdot \frac{6 ^{9}}{6 ^{5}} \cdot 6^{- 7}

DivPow

$\frac{a ^{b}}{a ^{c}} = a^{b - c}$

6^{3} \cdot 6^{9 - 5} \cdot 6^{- 7}

Beräkna $9 - 5$

6^{3} \cdot 6^{4} \cdot 6^{- 7}

MultPow

$a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}$

6^{3 + 4 - 7}

AddSubTerms

Förenkla termer

6^{0}

ExponentZero

$a^{0} = 1$

1

Uttryckets värde är $1 .$

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

{{ article.displayTitle }}

Regel

Regel

Regel

Regel

Regel

Regel

Regel

Regel

Regel

Regel

Exempel

Beräkna med potenslagarna