body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Rekommenderade

Tester

Ett fel uppstod, försök igen senare!

eKurser /

Matematik 1a /

Kapitel {{ article.chapter.number }}

{{ article.number }}.

Visa mindre Visa mer

Inställningar & verktyg för lektion

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

Kreditlista Bilder

{{ item.file.title }}
{{ presentation }}

Inga inlägg om filrättigheter hittades

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Potens
Multiplikation och division av potenser
Potenslagar

Utforska

Hur man skriver om upprepade termer till en produkt

När ett specifikt tal adderas till sig själv flera gånger, blir resultatet detsamma som multiplikation.

Olika siffror adderas med sig självt ett slumpmässigt antal gånger.

Men vad händer om talet i stället multipliceras med sig själv ett visst antal gånger?

Olika tal multipliceras med sig själv ett slumpmässigt antal gånger.

Fundera över följande frågor.

Vilket tal multipliceras med sig självt upprepade gånger?
Hur många gånger multipliceras detta tal?
Kan denna upprepade multiplikation representeras med hjälp av dessa två tal?

Teori

Potens

Potenser är ett enklare sätt att skriva upprepad multiplikation. Exempelvis kan produkten $7 \cdot 7 \cdot 7$ skrivas som potensen $7^{3},$ där sjuan och trean utgör potensens bas respektive exponent.

$7^{3}$ utläses sju upphöjt till tre och exponenten $3$ betyder att basen $7$ multipliceras tre gånger. I tabellen syns ytterligare några exempel.

Uttryck	Exempel
$2 \cdot 2 = 2^{2}$	$2$ upphöjt till $2$
$7 \cdot 7 \cdot 7 = 7^{3}$	$7$ upphöjt till $3$
$5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^{4}$	$5$ upphöjt till $4$
$m \cdot m \cdot m \cdot m = m^{4}$	$m$ upphöjt till $4$
$x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x = x^{9}$	$x$ upphöjt till $6$

När exponenten är

2

utläser man den ibland som i kvadrat. Till exempel

8^{2},

som kan utläsas åtta i kvadrat. På motsvarande sätt kan potensen

8^{3}

utläsas åtta i kubik.

Teori

Potenser på räknare

För att skriva potenser använder man knappen med det lilla taket som ser ut så här: $^{\land} .$ Man skriver först basen, sedan taket och sist exponenten.

Bilden kunde ej laddas

Detta sätt att skriva en potens fungerar för alla exponenter, men det finns ett snabbare sätt att skriva just upphöjt till två. Man skriver då talet man vill kvadrera, dvs. basen, och trycker sedan på knappen $x^{2}$ för att upphöja det till $2 .$

Bilden kunde ej laddas

Teori

Potenslagar

Ur definitionen av potenser följer en del räkneregler som underlättar vid beräkningar. Dessa brukar kort och gott kallas potenslagar.

Regel

Multiplikation och division av potenser

Regel

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

När potenser med samma bas multipliceras kan de skrivas som en potens genom att man adderar exponenterna. Enligt regeln är t.ex.

2^{3} \cdot 2^{2}

lika med

2^{3 + 2} = 2^{5} .

Man kan motivera detta genom att skriva ut potenserna som upprepade multiplikationer.

2^{3} \cdot 2^{2}

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

(2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2)

RemovePar

Ta bort parentes

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

WritePow

Skriv som potens

2^{5}

Regeln gäller för alla reella tal

a,

b

och

c .

Regel

\frac{a ^{b}}{a ^{c}} = a^{b - c}

När potenser med samma bas divideras kan de skrivas som en enda potens där exponenten i nämnaren subtraherats från exponenten i täljaren. Enligt regeln blir t.ex. divisionen av $3^{6}$ och $3^{4}$ lika med $3^{6 - 4} = 3^{2} .$ Man kan motivera detta genom att skriva ut potenserna som upprepade multiplikationer.

\frac{3 ^{6}}{3 ^{4}}

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

\frac{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}

CrossCommonFac

Stryk faktorer

\frac{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}

SimpQuot

Förenkla kvot

3 \cdot 3

WritePow

Skriv som potens

3^{2}

Regeln gäller för alla reella

a,

b

och

c,

men inte om

a = 0 .

Då blir uttrycket odefinierat.

Teori

Specialfall

Ur potenslagarna följer några vanliga fall som kanske inte är självklara, men som kan vara bra att komma ihåg.

Regel

a^{0} = 1

Hur ska man tolka en potens med exponenten $0,$ t.ex. $4^{0} ?$ Svaret är att ett tal upphöjt till $0$ är $1 .$ Motiveringen till detta är att ett tal dividerat med sig självt är just $1 .$ I exemplet skrivs noll som $2 - 2 .$

4^{0}

ZeroToDiff

Skriv 0 som $2 - 2$

4^{2 - 2}

DiffInExponent

$a^{b - c} = \frac{a ^{b}}{a ^{c}}$

\frac{4 ^{2}}{4 ^{2}}

QuotOne

$\frac{a}{a} = 1$

1

Denna regel gäller för alla tal utom när basen är

0,

dvs. om man har

0^{0} .

Då hade man, på motsvarande sätt som i exemplet med

4

fått

\frac{0 ^{2}}{0 ^{2}},

vilket ger nolldivision som inte är tillåtet.

Regel

a^{1} = a

En potens med exponenten

1

är alltid lika med sin bas. Det följer naturligt av definitionen av en potens som säger att en potens anger upprepad multiplikation av ett tal. Man kan intuitivt visa varför:

7^{5} 7^{4} 7^{3} 7^{2} 7^{1} = 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 = 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 7 \cdot 7 = 7

Detta är inget riktigt bevis, men ett enkelt sätt att förstå varför

a^{1} = a .

Dessa regler kan motiveras med hjälp av potenslagarna.

Exempel

Beräkna med potenslagarna

Beräkna värdet av uttrycket utan räknare.

6^{3} \cdot \frac{6 ^{9}}{6 ^{5}} \cdot 6^{- 7}

Ledtråd

Det börjar med att kvoten beräknas. Eftersom basen är densamma, subtraheras exponenterna.

Lösning

Vi börjar med att beräkna kvoten. Eftersom det är samma bas subtraheras exponenterna.

6^{3} \cdot \frac{6 ^{9}}{6 ^{5}} \cdot 6^{- 7}

DivPow

$\frac{a ^{b}}{a ^{c}} = a^{b - c}$

6^{3} \cdot 6^{9 - 5} \cdot 6^{- 7}

Beräkna $9 - 5$

6^{3} \cdot 6^{4} \cdot 6^{- 7}

MultPow

$a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}$

6^{3 + 4 - 7}

AddSubTerms

Addera och subtrahera termer

6^{0}

ExponentZero

$a^{0} = 1$

1

Uttryckets värde är $1 .$

Övning

Förenkling av potenser

Omskriv det givna uttrycket enligt anvisningarna. I detta specifika fall, om exponenten är lika med $1,$ skriv ut den som $1$ istället för att utelämna den.

Slumpmässiga uttryck som involverar potenser

Laddar innehåll

{{ article.displayTitle }}

Förkunskaper

Regel

Regel

Regel

Regel

Ledtråd

Lösning