Potenser och Rotuttryck: Skriv roten ur som potens

Potenser med positiva heltalsexponenter, t.ex.

7^{3},

beskriver upprepad multiplikation. Om exponenten istället är ett bråktal kan potensen tolkas som ett rotuttryck. Vilket rotuttryck potensen motsvarar beror på potensens bas samt vilket bråktal som står i exponenten. För att utföra beräkningar med potenser och rotuttryck är det nödvändigt att först lära sig potenslagarna.

Regel

Multiplikation och division av potenser

Regel

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

När potenser med samma bas multipliceras kan de skrivas som en potens genom att man adderar exponenterna. Enligt regeln är t.ex.

2^{3} \cdot 2^{2}

lika med

2^{3 + 2} = 2^{5} .

Man kan motivera detta genom att skriva ut potenserna som upprepade multiplikationer.

2^{3} \cdot 2^{2}

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

(2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2)

RemovePar

Ta bort parentes

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

WritePow

Skriv som potens

2^{5}

Regeln gäller för alla reella tal

a,

b

och

c .

Regel

\frac{a ^{b}}{a ^{c}} = a^{b - c}

När potenser med samma bas divideras kan de skrivas som en enda potens där exponenten i nämnaren subtraherats från exponenten i täljaren. Enligt regeln blir t.ex. divisionen av $3^{6}$ och $3^{4}$ lika med $3^{6 - 4} = 3^{2}$ . Man kan motivera detta genom att skriva ut potenserna som upprepade multiplikationer.

\frac{3 ^{6}}{3 ^{4}}

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

\frac{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}

CrossCommonFac

Stryk faktorer

\frac{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}

SimpQuot

Förenkla kvot

3 \cdot 3

WritePow

Skriv som potens

3^{2}

Regeln gäller för alla reella

a,

b

och

c

, men inte om

a = 0 .

Då blir uttrycket odefinierat.

Regel

Potens av potens, produkt och kvot

Regel

(a^{b})^{c} = a^{b \cdot c}

Om basen i en potens själv är en potens kan uttrycket skrivas som en potens där exponenterna multiplicerats. Enligt regeln är t.ex. $(5^{2})^{3}$ lika med $5^{2 \cdot 3} = 5^{6} .$ Man kan motivera detta genom att skriva ut potenserna som upprepade multiplikationer.

(5^{2})^{3}

PowToProdThreeFac

$a^{3} = a \cdot a \cdot a$

5^{2} \cdot 5^{2} \cdot 5^{2}

PowToProdTwoFac

$a^{2} = a \cdot a$

5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5

WritePow

Skriv som potens

5^{6}

Regeln gäller för alla reella tal

a,

b

och

c .

Regel

(a b)^{c} = a^{c} b^{c}

När basen i en potens är en produkt kan potensen skrivas om genom att sätta exponenten på faktorerna. Enligt regeln är t.ex. $(2 \cdot 5)^{3}$ samma sak som $2^{3} \cdot 5^{3} .$ Man kan motivera detta genom att skriva ut potenserna som upprepade multiplikationer.

(2 \cdot 5)^{3}

PowToProdThreeFac

$a^{3} = a \cdot a \cdot a$

(2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5)

RemovePar

Ta bort parentes

2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5

RearrangeFac

Omarrangera faktorer

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5

ProdToPowThreeFac

$a \cdot a \cdot a = a^{3}$

2^{3} \cdot 5^{3}

Regeln gäller för alla reella tal

a,

b

och

c .

Regel

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

När basen i en potens är en kvot kan potensen skrivas om genom att sätta exponenten på både nämnaren och täljaren. Enligt regeln är t.ex. $(\frac{6}{5})^{4}$ samma sak som $\frac{6 ^{4}}{5 ^{4}} .$ Man kan motivera detta genom att skriva potensen som upprepad multiplikation.

(\frac{6}{5})^{4}

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

\frac{6}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{5}

MultFrac

Multiplicera bråk

\frac{6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6}{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}

WritePow

Skriv som potens

\frac{6 ^{4}}{5 ^{4}}

Regeln gäller för alla reella

a,

b

och

c,

men inte om

b = 0 .

Regel

Potens med negativ exponent

Regel

a^{- b} = \frac{1}{a ^{b}}

När man dividerar potenser med samma nämnare subtraherar man exponenterna. Vad händer om den resulterande exponenten blir negativ, t.ex. $5^{- 3},$ och har det någon innebörd? Enligt regeln är det lika med $\frac{1}{5 ^{3}} .$ Denna motiveras genom att skriva $- 3$ som t.ex. $4 - 7$ och använda en av potenslagarna.

5^{- 3}

Rewrite

Skriv $- 3$ som $4 - 7$

5^{4 - 7}

DiffInExponent

$a^{b - c} = \frac{a ^{b}}{a ^{c}}$

\frac{5 ^{4}}{5 ^{7}}

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

\frac{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}

CrossCommonFac

Stryk faktorer

\frac{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}

SimpQuot

Förenkla kvot

\frac{1}{5 \cdot 5 \cdot 5}

ProdToPowThreeFac

$a \cdot a \cdot a = a^{3}$

\frac{1}{5 ^{3}}

En potens med negativ exponent kan ses som en upprepad multiplikation (eller en potens med en positiv exponent) i nämnaren av ett bråk med täljaren 1.

Begrepp

Kvadratrot

Kvadratroten ur ett tal $a,$ vilket skrivs $a$ , är det positiva tal som när det multipliceras med sig självt blir $a .$ Exempelvis är $16$ lika med $4$ eftersom $4 \cdot 4 = 16$ och på samma sätt är $25$ lika med $5$ eftersom $5 \cdot 5 = 25 .$ Man kan också se kvadratroten som motsatsen till att kvadrera ett tal.

$a \cdot a = a eller (a)^{2} = a$

Drar man kvadratroten ur ett positivt tal

a

som har kvadrerats tar de två operationerna ut varandra och man får alltså tillbaka

a .

Regel

Samband mellan rotuttryck och exponenter på bråkform

Ett rotuttryck måste inte vara en kvadratrot. I $327,$ vilket utläses kubikroten ur $27$ eller "tredje roten ur $27$ ", anger $3$ :an typen av rot. Det är alltså det tal som multiplicerat med sig självt $3$ gånger blir $27,$ alltså $3 .$ Om typen av rot inte anges är det underförstått att man menar kvadratroten.

Generellt är $n a$ det tal som multiplicerat med sig självt $n$ gånger blir $a .$ Ett annat sätt att skriva ett rotuttryck är som en potens med ett bråk i exponenten, där exponenten har formen $1 / n$ och $n$ är det heltal som anger typen av rot. Till exempel kan $327$ skrivas som $2 7^{1 / 3}$ och $5100$ som $10 0^{1 / 5} .$

Regel

n a = a^{1 / n}

Om man kvadrerar kvadratroten ur ett tal tar beräkningarna ut varandra, t.ex.

(9)^{2} = 9 .

Ur detta kan man lösa ut

9

genom att höja upp båda led med

1 / 2

och använda potenslagarna.

(9)^{2} = 9

RaiseEqn

$VL^{1 / 2} = HL^{1 / 2}$

((9)^{2})^{1 / 2} = 9^{1 / 2}

PowPow

$(a^{b})^{c} = a^{b \cdot c}$

(9)^{2 \cdot \frac{1}{2}} = 9^{1 / 2}

DenomMultFracToNumber

$2 \cdot \frac{a}{2} = a$

(9)^{1} = 9^{1 / 2}

ExponentOne

$a^{1} = a$

9 = 9^{1 / 2}

Kvadratroten ur 9 kan alltså skrivas

9^{1 / 2} .

Denna regel brukar uttryckas som

a = a^{1 / 2} .

På liknande sätt kan man motivera att

3 a = a^{1 / 3},

eller mer generellt

n a = a^{1 / n} .

Digitala verktyg

Rotuttryck på räknare

Om man inte vill skriva rotuttryck som exponenter på bråkform finns det inbyggda funktioner för både kvadratrot och andra rotuttryck på räknaren.

Digitala verktyg

Kvadratrot och tredje roten ur

För att beräkna kvadratroten ur ett tal på räknaren skriver man först symbolen

5

(2nd +

x^{2}

). Då skrivs startparentesen ut automatiskt. Därefter skriver man det tal man vill dra roten ur följt av slutparentes.

TI-beräkning som visar kvadratroten ur 36

På motsvarande sätt kan man beräkna tredje roten ur ett tal genom att trycka på knappen MATH och välja $3 1 ($ följt av talet och slutparentes.

TI-meny som visar MATH, med tredje roten ur valt

Digitala verktyg

Andra typer av rotuttryck

För att skriva andra typer av rötter börjar man med att skriva in vilken typ av rot man vill beräkna. Om man vill beräkna fjärde roten ur skriver man alltså en fyra.

Därefter trycker man på MATH och väljer $x 1,$ där $x$ :et står för en godtycklig rot.

TI-meny som visar MATH, med x:te roten ur valt

Slutligen skriver man talet man vill dra den önskade roten ur inom parenteser och trycker ENTER.

TI-beräkning som visar en 4:e roten ur 81

Beräkningar med rotuttryck

fullscreen

Beräkna utan räknare:

1 6^{1 / 2} - 2 7^{1 / 3} + (5)^{2} .

Visa Lösning

Vi börjar med att skriva om de två första termerna som rotuttryck. Upphöjt till $1 / 2$ betyder samma sak som kvadratroten ur och den andra termen, $2 7^{1 / 3},$ kan skrivas om till en kubikrot. I den sista termen tar rottecknet och kvadraten ut varandra.

1 6^{1 / 2} - 2 7^{1 / 3} + (5)^{2}

PowToSqrtSL

$a^{1 / 2} = a$

16 - 2 7^{1 / 3} + (5)^{2}

PowToRootSL

$a^{1 / n} = n a$

16 - 327 + (5)^{2}

CalcRoot

Beräkna rot

4 - 3 + (5)^{2}

PowSqrt

$(a)^{2} = a$

4 - 3 + 5

AddSubTerms

Förenkla termer

6

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

{{ article.displayTitle }}

Regel

Regel

Regel

Regel

Regel

Regel

Regel

Exempel

Beräkningar med rotuttryck