body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Rekommenderade

Tester

Ett fel uppstod, försök igen senare!

eKurser /

( Ma 1a , Ma 1b , Ma 1c ) /

Kapitel {{ article.chapter.number }}

{{ article.number }}.

Visa mindre Visa mer

Inställningar & verktyg för lektion

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

Kreditlista Bilder

{{ item.file.title }}
{{ presentation }}

Inga inlägg om filrättigheter hittades

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Procent
Procentenhet
Förändringsfaktor
Upprepade procentuella förändringar

Utforska

En speciell sorts andel

En centimeter är en längdenhet som motsvarar en hundradel av en meter. På samma sätt är ett öre en hundradel av en krona när det gäller pengar. Ett århundrade består av hundra år. Med detta i åtanke betyder ordet procent just per hundra. Föreställ dig en kvadrat nedan, som är uppdelad i $100$ mindre rutor.

Skriv förhållandet mellan antalet färgade rutor och det totala antalet rutor som ett bråk.

Teori

Procent

Ett vanligt sätt att beskriva andelar är med procent, som skrivs med ett procenttecken, $%,$ och anger hundradelar. Förutom att använda $%$ kan man även skriva procent som ett bråk eller som ett decimaltal.

Procent	Bråk	Decimaltal
$1 %$	$\frac{1}{1 0 0}$	$0, 01$
$45 %$	$\frac{4 5}{1 0 0}$	$0, 45$
$135 %$	$\frac{1 3 5}{1 0 0}$	$1, 35$

Decimaltal kan enkelt skrivas om som procent genom att man multiplicerar dem med

100 .

Bråk kan däremot vara svårare att direkt göra om till procent. Hur många procent är t.ex.

\frac{3}{2 5} ?

Om det är möjligt att förlänga eller förkorta bråket så att nämnaren blir

100

kan man dock läsa av procentsatsen direkt i täljaren:

\frac{3 \cdot 4}{2 5 \cdot 4} = \frac{1 2}{1 0 0} = 12 % .

En tiondels procent kallas promille eller tusendel. En annan vanlig enhet är ppm som står för miljondel.

Exempel

Omvandla från procent till decimalform

Skriv

13, 5 %

i decimalform.

Ledtråd

Skriv procenten som hundradelar.

Lösning

Procent anger antalet hundradelar, så

13, 5 %

är alltså

13, 5

hundradelar, dvs.

13, 5 \cdot \frac{1}{1 0 0} .

Vi multiplicerar in

13, 5

i bråket och utför divisionen.

13, 5 \cdot \frac{1}{1 0 0} = \frac{1 3 , 5}{1 0 0} = 0, 135

Procentsatsen

13, 5 %

är alltså samma sak som decimaltalet

0, 135 .

Exempel

Omvandla från decimalform till procent

Skriv talet

1, 12

i procentform.

Ledtråd

Procent anger hundradelar.

Lösning

Eftersom procent anger hundradelar kan man multiplicera ett tal med

100

för att beräkna hur många procent det motsvarar. Vi får alltså

1, 12 \cdot 100 = 112,

vilket innebär att

1, 12

är samma sak som

112 % .

Övning

Att omvandla mellan decimaltal och procent

Fyll i luckorna med rätt procent, angiven som ett heltal, eller decimaltal.

En slumpgenerator som genererar olika procent eller bråk.

Teori

Procentenhet

Procentenheter används för att uttrycka skillnaden mellan två procenttal. Till exempel kan $10000$ kronor lånas för att köpa en spelkonsol till en räntesats på $4 % .$ Om räntesatsen stiger till $5 %,$ har räntan ökat med $1$ procentenhet.

\ddot{O} ka 5 - 4 = 1 procentenhet

Extra

Procentpoäng och procentuell förändring

Ökningen i procent av räntan kan beräknas med hjälp av formeln för procentuell förändring och de givna räntesatserna. Observera att i detta fall är förändringsbeloppet lika med ökningen i procentenheter.

Procentuell f \ddot{o} r \ddot{a} ndring = \frac{Belopps a ¨ ndring}{Ursprungligt belopp}

SubstituteValues

Sätt in värden

Procentuell f \ddot{o} r \ddot{a} ndring = \frac{5 % - 4 %}{4 %}

SubTerm

Subtrahera term

Procentuell f \ddot{o} r \ddot{a} ndring = \frac{1}{4}

ExpandFrac

Förläng med $25$

Procentuell f \ddot{o} r \ddot{a} ndring = \frac{2 5}{1 0 0}

WritePercent

Skriv i procent

Procentuell f \ddot{o} r \ddot{a} ndring = 25 %

Detta innebär att ökningen av räntan kan uttryckas som $1$ procentenhet eller $25 % .$

Teori

Förändringsfaktor

En förändringsfaktor är ett tal som beskriver hur ett värde förändras, t.ex. att det ökar med $20 %$ eller minskar med $35 % .$ Förändringsfaktorn skrivs oftast i decimalform och kan tolkas som hur stor andel det nya värdet utgör av det gamla. Den beräknas som kvoten mellan värdet efter förändringen (nya värdet) och värdet före förändringen (gamla värdet).

$F \ddot{o} r \ddot{a} ndringsfaktor = \frac{Nya v a ¨ rdet}{Gamla v a ¨ rdet}$

Om förändringsfaktorn är större än

1

innebär det att värdet har ökat och om den är mindre än

1

betyder det att värdet har minskat.

Att förändringsfaktorn är

12

betyder att värdet ökar med

20 %

och att det nya värdet alltså är

120 %

av det gamla. På samma sätt betyder en förändringsfaktor som är

0, 8

att värdet minskar med

20 % .

Den procentuella förändringen går alltså att läsa av i hur många hundradelar förändringsfaktorn skiljer sig från

1 .

Exempel

Vad blir förändringsfaktorn?

a Ange förändringsfaktorn om priset på en tröja ökar med

35 % .

b Ange förändringsfaktorn om priset på en tröja minskar med

35 % .

Ledtråd

a En ökning med

35 %

motsvarar en förändringsfaktor större än

1 .

b En minskning med

35 %

motsvarar en förändringsfaktor mindre än

1 .

Lösning

a Om priset på tröjan ökar med

35 %

blir slutpriset

135 %

av det gamla eftersom man adderar

35 %

till de ursprungliga

100 % .

Man delar sedan med

100

vilket ger oss förändringsfaktorn.

135 % = \frac{1 3 5}{1 0 0} = 1, 35

b Om priset istället minskar med

35 %

måste vi dra bort procentsatsen från

100 % .

100 % - 35 % = 65 %

Vi delar sedan med $100$ för att få förändringsfaktorn.

65 % = \frac{6 5}{1 0 0} = 0, 65

Exempel

Vad blir den procentuella förändringen?

Priset på en lampa ökar från

125

kr till

150

kr. Vad är den procentuella ökningen?

Ledtråd

Procentuell ökning beräknas genom att dividera det nya priset med det gamla priset.

Lösning

För att ange den procentuella ökningen bestämmer vi först förändringsfaktorn. Denna beräknas genom att dividera det nya priset med det gamla.

F \ddot{o} r \ddot{a} ndringsfaktor = \frac{Nya v a ¨ rdet}{Gamla v a ¨ rdet}

Det nya priset är

150

kr och det gamla är

125 .

Vi sätter in dessa i formeln.

F \ddot{o} r \ddot{a} ndringsfaktor = \frac{Nya v a ¨ rdet}{Gamla v a ¨ rdet}

SubstituteII

$Nytt v \ddot{a} rde = 150$ och $Gammalt v \ddot{a} rde = 125$

F \ddot{o} r \ddot{a} ndringsfaktor = \frac{1 5 0}{1 2 5}

ReduceFrac

Förkorta med $25$

F \ddot{o} r \ddot{a} ndringsfaktor = \frac{6}{5}

WriteDec

Skriv i decimalform

F \ddot{o} r \ddot{a} ndringsfaktor = 1, 2

Förändringsfaktorn är

1, 2

eller

1, 20 .

Den ligger alltså

20

hundradelar, dvs.

20 %,

över

1 .

Den procentuella ökningen är alltså

20 % .

Teori

Upprepade procentuella förändringar

För att beräkna en procentuell förändring av ett värde multiplicerar man det en förändringsfaktor. Om värdet sedan ökar eller minskar igen multiplicerar man resultatet av den första förändringen med förändringsfaktorn för den andra ändringen. Ett exempel på en sådan upprepad procentuell förändring är om priset på en liter mjölk,

x,

först ökar med

10 %,

x \cdot 1.10,

för att sedan öka igen med

20 % .

Då multiplicerar man resultatet från första ökningen med den nya förändringsfaktorn,

1, 20

x \cdot 1, 10 \cdot 1, 20 .

Multiplicerar man ihop de två förändringsfaktorerna får man

1, 10 \cdot 1, 20 = 1, 32,

vilket kan tolkas som en total förändringsfaktor för båda ändringarna. Det är alltså möjligt att bestämma att priset totalt ökar med

32 %

utan att veta det ursprungliga priset på mjölken.

Extra

Lika stora procentuella förändringar

Är de procentuella förändringarna lika stora kan man skriva den totala förändringen som en potens. Exempelvis kan en ökning med $45 %$ tre år i rad skrivas som $1, 45 \cdot 1, 45 \cdot 1, 45$ vilket är samma sak som $1, 4 5^{3} .$

Exempel

Vad blir den totala förändringsfaktorn?

Priset på en begagnad byrå är

1000

kr. Under en rea sänks priset först med

20 %

och sedan en gång till med

30 %

på reapriset. Ägaren får inte byrån såld så han målar om den och höjer priset med

50 % .

Vad är det slutliga priset?

Ledtråd

Beskriva de procentuella förändringarna som förändringsfaktorer.

Lösning

Det sker tre procentuella förändringar: två sänkningar och en ökning. Vi börjar med att beskriva de procentuella förändringarna som förändringsfaktorer.

Procentuell förändring	Förändringsfaktor
$- 20 %$	$0, 8$
$- 30 %$	$0, 7$
$+ 50 %$	$1, 5$

Genom att multiplicera de tre förändringsfaktorerna med varandra får vi den totala förändringsfaktorn:

0, 8 \cdot 0, 7 \cdot 1, 5 = 0, 84 .

Den totala förändringsfaktorn är

0, 84 .

Slutpriset ligger alltså

0, 16

under

1

så totalt sett har priset sänkts med

16 % .

Det slutliga priset blir

0, 84 \cdot 1000 = 840 kr .

Laddar innehåll

{{ article.displayTitle }}

Förkunskaper

Ledtråd

Lösning

Ledtråd

Lösning

Extra

Ledtråd

Lösning

Ledtråd

Lösning

Extra

Ledtråd

Lösning