Räkna med komplexa tal: Division, Multiplikation, och Räkneregler

Regel

Addera, subtrahera och multiplicera komplexa tal

Många av de regler man använder vid beräkningar av reella tal, t.ex. de fyra räknesätten och prioriteringsreglerna, gäller även för komplexa tal. Eftersom ett komplext tal kan bestå av både en real- och imaginärdel kan även resultatet av en räkneoperation göra det. Exempelvis kan man beräkna

(1 + 5 i) + (7 - 2 i)

genom att addera real- och imaginärdelarna var för sig. Det betyder att summan blir

1 + 7 + 5 i - 2 i = 8 + 3 i .

Vid multiplikation, t.ex.

(5 - i) (10 + 4 i),

gör man på samma sätt som för reella tal: alla termer i den ena parentesen multipliceras med alla termer i den andra. Om man då får termer som innehåller

i^{2}

kan dessa förenklas med sambandet

i^{2} = - 1

Förenkla det komplexa talet

fullscreen

Förenkla

3 - 8 i - (- 7 + 5 i) + (9 + 2 i) (4 - 11 i)

och kontrollera svaret med räknare.

Visa Lösning

Prioriteringsreglerna gäller även vid förenkling av komplexa tal, så vi börjar med multiplikationen. Vi multiplicerar alla termer i ena parentesen med alla termer i den andra och förenklar.

3 - 8 i - (- 7 + 5 i) + (9 + 2 i) (4 - 11 i)

ExpandPar

Multiplicera parenteser

3 - 8 i - (- 7 + 5 i) + 9 \cdot 4 - 9 \cdot 11 i + 2 i \cdot 4 - 2 i \cdot 11 i

Multiply

Multiplicera faktorer

3 - 8 i - (- 7 + 5 i) + 36 - 99 i + 8 i - 22 i^{2}

IDefPow

$i^{2} = - 1$

3 - 8 i - (- 7 + 5 i) + 36 - 99 i + 8 i - 22 (- 1)

Multiply

Multiplicera faktorer

3 - 8 i - (- 7 + 5 i) + 36 - 99 i + 8 i + 22

Nu fortsätter vi genom att ta bort parentesen och byta tecken.

3 - 8 i - (- 7 + 5 i) + 36 - 99 i + 8 i + 22

RemoveParSigns

Ta bort parentes & byt tecken

3 - 8 i + 7 - 5 i + 36 - 99 i + 8 i + 22

Till sist adderar och subtraherar vi real- och imaginärdelarna var för sig.

3 - 8 i + 7 - 5 i + 36 - 99 i + 8 i + 22

AddSubTerms

Förenkla termer

68 - 104 i

Det komplexa talet är alltså

68 - 104 i .

När vi sedan gör samma förenkling på räknaren skriver vi

i

genom att trycka på

2 :

nd +

∙ .

Räknaren måste dessutom vara inställd på att räkna med komplexa tal.

Metod

Dividera komplexa tal

När man beräknar kvoten av två komplexa tal, t.ex.

\frac{5 + 1 0 i}{1 - 2 i},

använder man att ett bråk kan förlängas utan att dess värde förändras. Genom att förlänga med nämnarens komplexkonjugat får man ett reellt tal i nämnaren.

Förläng med nämnarens komplexkonjugat

Man börjar med att förlänga med nämnarens komplexkonjugat. I det här fallet är nämnaren

1 - 2 i,

så man förlänger med

1 + 2 i .

\frac{5 + 1 0 i}{1 - 2 i} = \frac{( 5 + 1 0 i ) ( 1 + 2 i )}{( 1 - 2 i ) ( 1 + 2 i )}

Förenkla täljare och nämnare

Man fortsätter sedan med att förenkla täljaren och nämnaren så långt det går, vilket i det här fallet betyder att man multiplicerar ihop parenteserna. Notera att konjugatregeln kan användas i nämnaren och att det leder till att imaginärdelarna förenklas bort.

\frac{( 5 + 1 0 i ) ( 1 + 2 i )}{( 1 - 2 i ) ( 1 + 2 i )}

ExpandPar

Multiplicera parenteser

\frac{5 \cdot 1 + 5 \cdot 2 i + 1 0 i \cdot 1 + 1 0 i \cdot 2 i}{( 1 - 2 i ) ( 1 + 2 i )}

Multiply

Multiplicera faktorer

\frac{5 + 1 0 i + 1 0 i + 2 0 i ^{2}}{( 1 - 2 i ) ( 1 + 2 i )}

IDefPow

$i^{2} = - 1$

\frac{5 + 1 0 i + 1 0 i + 2 0 ( - 1 )}{( 1 - 2 i ) ( 1 + 2 i )}

Multiply

Multiplicera faktorer

\frac{5 + 1 0 i + 1 0 i - 2 0}{( 1 - 2 i ) ( 1 + 2 i )}

AddSubTerms

Förenkla termer

\frac{- 1 5 + 2 0 i}{( 1 - 2 i ) ( 1 + 2 i )}

ExpandDiffSquares

Utveckla med konjugatregeln

\frac{- 1 5 + 2 0 i}{1 ^{2} - ( 2 i ) ^{2}}

PowProdII

$(a b)^{c} = a^{c} b^{c}$

\frac{- 1 5 + 2 0 i}{1 ^{2} - 2 ^{2} i ^{2}}

CalcPow

Beräkna potens

\frac{- 1 5 + 2 0 i}{1 - 4 i ^{2}}

IDefPow

$i^{2} = - 1$

\frac{- 1 5 + 2 0 i}{1 - 4 ( - 1 )}

Multiply

Multiplicera faktorer

\frac{- 1 5 + 2 0 i}{1 + 4}

AddTerms

Förenkla termer

\frac{- 1 5 + 2 0 i}{5}

Beräkna kvoten

Nu står det bara ett reellt tal i nämnaren, vilket gör att termerna i täljaren går att dividera var för sig.

\frac{- 1 5 + 2 0 i}{5}

WriteSumFrac

Dela upp bråk

\frac{- 1 5}{5} + \frac{2 0 i}{5}

CalcQuot

Beräkna kvot

- 3 + 4 i

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

{{ article.displayTitle }}

Exempel

Förenkla det komplexa talet