body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

{{ 'ml-label-loading-course' | message }}

{{ toc.name }}

{{ toc.signature }}

{{ tocHeader }} {{ 'ml-btn-view-details' | message }}

{{ tocSubheader }}

{{ 'ml-toc-proceed-mlc' | message }}

{{ 'ml-toc-proceed-tbs' | message }}

Ett fel uppstod, försök igen senare!

Kapitel {{ article.chapter.number }}

{{ article.number }}.

{{ article.displayTitle }}

{{ article.intro.summary }}

Visa mindre Visa mer

{{ ability.displayTitle }}

Inställningar & verktyg för lektion

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

Kreditlista Bilder

{{ item.file.title }}
{{ presentation }}

Inga inlägg om filrättigheter hittades

Videolektion

Mathleaks

Mathleaks

Minispelare aktiv

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Rotekvation
Lösa rotekvationer

Förkunskaper

Kvadrering
Ekvation

Teori

Rotekvation

En rotekvation är en ekvation som innehåller minst en term där en variabel står under ett rottecken, t.ex.

x = 5 och x + 2 = x .

När man löser rotekvationer är det ofta nödvändigt att kvadrera båda leden, vilket kan leda till falska rötter, alltså rötter som inte är lösningar till ekvationen. Det är därför viktigt att kontrollera sina lösningar genom att sätta in lösningarna i ekvationen och undersöka om vänster- och högerled blir lika stora.

Metod

Lösa rotekvationer

När man löser rotekvationer, t.ex.

4 x + 13 - 2 = x,

börjar man med att skriva om dem så att det går att kvadrera bort roten. Det är sedan viktigt att pröva de rötter man får ut för att undvika falska rötter.

1

Lös ut rotuttrycket

Börja med att lösa ut rotuttrycket så att det står ensamt i höger- eller vänsterledet. Här adderas

2

till båda led.

4 x + 13 - 2 = x

$VL + 2 = HL + 2$

4 x + 13 = x + 2

2

Kvadrera båda led

Kvadrera båda led för att bli av med rottecknet.

4 x + 13 = x + 2

$VL^{2} = HL^{2}$

4 x + 13 = (x + 2)^{2}

ExpandPosPerfectSquare

Utveckla med första kvadreringsregeln

4 x + 13 = x^{2} + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}

Förenkla potens & produkt

4 x + 13 = x^{2} + 4 x + 4

3

Lös ekvationen med lämplig metod

När ekvationen inte längre innehåller ett rottecken kan den lösas med lämplig metod, t.ex. balansmetoden, nollproduktmetoden eller

p q

4 x + 13 = x^{2} + 4 x + 4

Omarrangera ekvation

x^{2} + 4 x + 4 = 4 x + 13

$VL - 4 x = HL - 4 x$

x^{2} + 4 = 13

$VL - 4 = HL - 4$

x^{2} = 9

$VL = HL$

x = \pm 9

Beräkna rot

x = \pm 3

4

Pröva rötterna

För att undersöka om någon av lösningarna är en falsk rot prövas de genom att sättas in i ursprungsekvationen.

4 x + 13 - 2 = x

$x = 3$

4 \cdot 3 + 13 - 2 = ? 3

Multiplicera faktorer

12 + 13 - 2 = ? 3

Addera termer

25 - 2 = ? 3

Beräkna rot

5 - 2 = ? 3

Subtrahera term

3 = 3

Roten

x = 3

löser ekvationen. Nu testas

x = - 3 .

4 x + 13 - 2 = x

$x = - 3$

4 \cdot (- 3) + 13 - 2 = ? - 3

Multiplicera faktorer

- 12 + 13 - 2 = ? - 3

Addera termer

1 - 2 = ? - 3

Beräkna rot

1 - 2 = ? - 3

Subtrahera term

- 1 \neq = - 3

Likheten gäller inte för

x = - 3,

som då är en falsk rot. Den enda lösningen till rotekvationen är

x = 3 .

Exempel

Lös rotekvationen

Lös ekvationen

x^{2} - 7 = 3 .

Ledtråd

Börja med att kvadrera båda sidor av ekvationen för att bli av med kvadratroten. Glöm inte att kontrollera för falska lösningar!

Lösning

För att lösa ekvationen börjar vi med att kvadrera båda led för att bli av med rottecknet. När det är gjort går det att lösa ut

x .

x^{2} - 7 = 3

$VL^{2} = HL^{2}$

x^{2} - 7 = 3^{2}

Beräkna potens

x^{2} - 7 = 9

$VL + 7 = HL + 7$

x^{2} = 16

$VL = HL$

x = \pm 16

Beräkna rot

x = \pm 4

Nu har vi fått två rötter, men vi måste pröva dem för att vara säker på att ingen av dem är falsk. Vi börjar med $x = - 4 .$

x^{2} - 7 = 3

$x = - 4$

(- 4)^{2} - 7 = ? 3

Beräkna potens

16 - 7 = ? 3

Subtrahera term

9 = ? 3

Beräkna rot

3 = 3

Likheten stämmer, så $x = - 4$ är en giltig rot. Nu testar vi $x = 4 .$

x^{2} - 7 = 3

$x = 4$

4^{2} - 7 = ? 3

Beräkna potens

16 - 7 = ? 3

Subtrahera term

9 = ? 3

Beräkna rot

3 = 3

Även här gäller likheten, så både $x = - 4$ och $x = 4$ är lösningar till ekvationen. Det är alltså viktigt att alltid testa de svar man får till rotekvationer. Det kan finnas falska rötter, men det är inte garanterat att det är så.

Övning

Lös rotekvationer

Lös den ekvationen. Glöm inte att kontrollera eventuella falska lösningar om flera lösningar erhålls.

Lös rotekvationen

{{ grade.displayTitle }}

Laddar innehåll