Samband mellan graf och funktionsuttryck: Andragradsfunktioner

Videolektion

Mathleaks

Minispelare aktiv

Begrepp

Andragradsfunktioner och deras grafer

Om en andragradsfunktion står på formen $y = a x^{2} + b x + c$ avgör $a$ både åt vilket håll kurvan är krökt $(⌣ eller ⌢)$ och dess bredd. Stora värden, antingen positiva eller negativa (t.ex. $100$ eller $- 100$ ), ger smala kurvor, medan små positiva eller negativa värden (t.ex. $0.5$ eller $- 0.5$ ) ger bredare kurvor. Konstanten $c$ avgör grafens skärningspunkt med $y$ -axeln.

Metod

Skissa en andragradskurva

För att skissa grafen till en andragradsfunktion, t.ex.

y = x^{2} - 2 x + 1,

behöver man veta tre punkter på kurvan. Dessa kan vara extrempunkten och två punkter på varsin sida om symmetrilinjen.

Bestäm symmetrilinjen

Man börjar med att hitta symmetrilinjen, vilket kan göras med

p q

-formeln. Ställer man upp ekvationen

x^{2} - 2 x + 1 = 0

får man

x = - \frac{- 2}{2} \pm (\frac{- 2}{2})^{2} - 1 .

Symmetrilinjen

x_{s}

är termen framför rottecknet.

x_{s} = - \frac{- 2}{2}

CalcQuot

Beräkna kvot

x_{s} = - (- 1)

NegNeg

$- (- a) = a$

x_{s} = 1

Kurvan är alltså symmetrisk runt $x_{s} = 1 .$

Bestäm extrempunkten

Extrempunktens $x$ -koordinat vet man redan eftersom den ligger på symmetrilinjen. $y$ -koordinaten bestäms genom att sätta in detta $x$ i funktionen.

y = x^{2} - 2 x + 1

Substitute

$x = 1$

y = 1^{2} - 2 \cdot 1 + 1

CalcPowProd

Beräkna potens & produkt

y = 1 - 2 + 1

AddSubTerms

Förenkla termer

y = 0

Extrempunkten är $(1, 0),$ vilket ger den första punkten på grafen.

Bestäm två punkter till

För att kunna skissa grafen krävs ytterligare två punkter. Ena punkten bestämmer man genom att sätta in valfritt $x$ -värde i funktionen och beräkna motsvarande $y$ -värde.

y = x^{2} - 2 x + 1

Substitute

$x = 2$

y = 2^{2} - 2 \cdot 2 + 1

SimpPowProd

Förenkla potens & produkt

y = 4 - 4 + 1

AddSubTerms

Förenkla termer

y = 1

Punkten $(2, 1)$ ligger alltså på kurvan. Andragradskurvans symmetri ger att grafen har ytterligare en punkt med samma $y$ -värde, men på andra sidan symmetrilinjen. Det ger punkten $(0, 1) .$

Sammanbind punkterna

Nu kan man sammanbinda punkterna för att bilda sig en uppfattning om andragradskurvans utseende. Kurvan ska ha formen av en parabel som vänder i extrempunkten.

Prova att flytta de tre punkterna och se hur en andragradskurva genom dem ser ut.

Metod

Bestäm funktion utifrån graf

För att bestämma en funktion utifrån en graf måste man först veta vilken typ av funktion det är. I koordinatsystemet har grafen till en exponentialfunktion ritats.

För att bestämma funktionsuttrycket behöver man minst lika många punkter som antalet konstanter i funktionens allmänna form.

Bestäm antalet okända konstanter

Grafen beskriver en exponentialfunktion, vilket betyder att den allmänna formen är

y = C \cdot a^{x} .

Antalet okända konstanter är två stycken: startvärdet

C

och förändringsfaktorn

a .

Läs av lika många punkter på grafen

Det finns två okända konstanter och därför behövs två olika punkter för att bestämma dessa värden.

Grafen går exempelvis igenom $(1, 1),$ och $(2, 3)$ .

Sätt in punkterna i funktionen

Punkterna sätts in i funktionen och man får då två ekvationer:

1 = C \cdot a^{1} och 3 = C \cdot a^{2} .

Ställ upp ett ekvationssystem och lös det

Eftersom det finns två okända variabler och två ekvationer kan man ställa upp ett ekvationssystem.

{1 = C \cdot a^{1} 3 = C \cdot a^{2}

Nu kan man använda substitutionsmetoden för att bestämma de okända konstanterna.

{1 = C \cdot a^{1} 3 = C \cdot a^{2} (I) (II)

$(I):$ Förenkla potens

{1 = C \cdot a 3 = C \cdot a^{2}

DivEqn

$(I):$ $VL / a = HL / a$

{\frac{1}{a} = C 3 = C \cdot a^{2}

RearrangeEqn

$(I):$ Omarrangera ekvation

{C = \frac{1}{a} 3 = C \cdot a^{2}

Substitute

$(II):$ $C = \frac{1}{a}$

{C = \frac{1}{a} 3 = \frac{1}{a} \cdot a^{2}

Multiply

$(II):$ Multiplicera faktorer

{C = \frac{1}{a} 3 = \frac{a ^{2}}{a}

SimpQuot

$(II):$ Förenkla kvot

{C = \frac{1}{a} 3 = a

RearrangeEqn

$(II):$ Omarrangera ekvation

{C = \frac{1}{a} a = 3

Substitute

$(I):$ $a = 3$

{C = \frac{1}{3} a = 3

Sätt in konstanterna

Till sist sätts värdena för konstanterna in i funktionsuttrycket.

y = C \cdot a^{x} \Rightarrow y = \frac{1}{3} \cdot 3^{x}

Bestäm funktionen med hjälp av grafen

fullscreen

Vilken andragradsfunktion beskriver grafen?

Visa Lösning

Den allmänna formen för en andragradsfunktion är

y = a x^{2} + b x + c,

där

a,

b,

och

c

är reella konstanter. Konstanten

c

kan vi bestämma direkt eftersom det är

y

-värdet där grafen skär

y

-axeln.

Vi ser att

y

-värdet är 4 så

c = 4,

vilket ger

y = a x^{2} + b x + 4 .

Det finns nu två okända konstanter kvar, så vi behöver ytterligare två punkter för att bestämma dem. Vi väljer två där

x

- och

y

-koordinaterna är lätta att läsa av.

Två punkter på kurvan är

(2, 8)

och

(6, 4),

och sätter vi in dessa i funktionsuttrycket bildas två ekvationer. Punkten

(2, 8)

betyder att när man sätter in

x = 2

är

y = 8 .

Det ger ekvationen

a \cdot 2^{2} + b \cdot 2 + 4 = 8 .

På samma sätt får man ekvationen

a \cdot 6^{2} + b \cdot 6 + 4 = 4

genom att sätta in den andra punktens koordinater. Dessa två ekvationer bildar ett ekvationssystem som man kan lösa med exempelvis additionsmetoden.

{a \cdot 2^{2} + b \cdot 2 + 4 = 8 a \cdot 6^{2} + b \cdot 6 + 4 = 4 (I) (II)

CalcPowProd

Beräkna potens & produkt

{4 a + 2 b + 4 = 8 36 a + 6 b + 4 = 4

MultEqn

$(I):$ $VL \cdot (- 3) = HL \cdot (- 3)$

{- 12 a - 6 b - 12 = - 24 36 a + 6 b + 4 = 4

SysEqnAdd

$(I):$ Addera $(II)$

{- 12 a - 6 b - 12 + 36 a + 6 b + 4 = - 24 + 4 36 a + 6 b + 4 = 4

SimpTerms

$(I):$ Förenkla termer

{24 a - 8 = - 20 36 a + 6 b + 4 = 4

AddEqn

$(I):$ $VL + 8 = HL + 8$

{24 a = - 12 36 a + 6 b + 4 = 4

DivEqn

$(I):$ $VL / 24 = HL / 24$

{a = - 0.5 36 a + 6 b + 4 = 4

Nu sätter vi in värdet på $a$ i den andra ekvationen.

{a = - 0.5 36 a + 6 b + 4 = 4

Substitute

$(II):$ $a = - 0.5$

{a = - 0.5 36 (- 0.5) + 6 b + 4 = 4

MultPosNeg

$(II):$ $a (- b) = - a \cdot b$

{a = - 0.5 - 18 + 6 b + 4 = 4

SimpTerms

$(II):$ Förenkla termer

{a = - 0.5 - 14 + 6 b = 4

AddEqn

$(II):$ $VL + 14 = HL + 14$

{a = - 0.5 6 b = 18

DivEqn

$(II):$ $VL / 6 = HL / 6$

{a = - 0.5 b = 3

a

är

- 0.5

och

b

är 3. Sedan tidigare vet vi också att

c = 4 .

Detta ger funktionen

y = - 0.5 x^{2} + 3 x + 4 .

{{ article.displayTitle }}

Mathleaks

Andragradsfunktioner och deras grafer

Skissa en andragradskurva

Bestäm funktion utifrån graf

Exempel

Bestäm funktionen med hjälp av grafen

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}