{{ tocSubheader }}
{{ 'ml-label-loading-course' | message }}
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel {{ article.chapter.number }}
{{ article.number }}.
{{ article.displayTitle }}
{{ article.intro.summary }}
Visa mindre Visa mer expand_more Inställningar & verktyg för lektion
| | {{ 'ml-lesson-number-slides' | message : article.intro.bblockCount }} |
| | {{ 'ml-lesson-number-exercises' | message : article.intro.exerciseCount }} |
| | {{ 'ml-lesson-time-estimation' | message }} |
Kreditlista Bilder expand_more
- {{ item.file.title }} {{ presentation }}
Inga inlägg om filrättigheter hittades
Videolektion Mathleaks
play_circle_filled
play_circle_filled
picture_in_picture_alt
Minispelare aktiv
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Andragradsfunktioner och deras grafer
- Skissa en andragradskurva
- Bestäm funktion utifrån graf
Utforska
Maximi- och minimipunkter på grafer
I koordinatplanet visas graferna för tre funktioner och deras motsvarande ekvationer.
Titta noga på varje grafs maximi- eller minimipunkt. Kan deras koordinater identifieras enbart genom att titta på den motsvarande ekvationen?
Koncept
Andragradsfunktioner och deras grafer
Om en andragradsfunktion står på formen y=ax2+bx+c avgör a både åt vilket håll kurvan är krökt (⌣ eller ⌢) och dess bredd. Stora värden, antingen positiva eller negativa (t.ex. 100 eller −100), ger smala kurvor, medan små positiva eller negativa värden (t.ex. 0,5 eller −0,5) ger bredare kurvor. Konstanten c avgör grafens skärningspunkt med y-axeln.
Metod
Skissa en andragradskurva
För att skissa grafen till en andragradsfunktion, t.ex.
y=x2−2x+1,
behöver man veta tre punkter på kurvan. Dessa kan vara extrempunkten och två punkter på varsin sida om symmetrilinjen.
1
Bestäm symmetrilinjen
expand_more Man börjar med att hitta symmetrilinjen, vilket kan göras med pq-formeln. Ställer man upp ekvationen x2−2x+1=0 får man
x=−2−2±(2−2)2−1.
Symmetrilinjen xs är termen framför rottecknet.
Kurvan är alltså symmetrisk runt xs=1.
2
Bestäm extrempunkten
expand_more Extrempunktens x-koordinat vet man redan eftersom den ligger på symmetrilinjen. y-koordinaten bestäms genom att sätta in detta x i funktionen.
Extrempunkten är (1,0), vilket ger den första punkten på grafen. 
y=x2−2x+1
Substitute
x=1
y=12−2⋅1+1
CalcPowProd
Beräkna potens & produkt
y=1−2+1
AddSubTerms
Addera och subtrahera termer
y=0
3
Bestäm två punkter till
expand_more För att kunna skissa grafen krävs ytterligare två punkter. Ena punkten bestämmer man genom att sätta in valfritt x-värde i funktionen och beräkna motsvarande y-värde.
y=x2−2x+1
Substitute
x=2
y=22−2⋅2+1
SimpPowProd
Förenkla potens & produkt
y=4−4+1
AddSubTerms
Addera och subtrahera termer
y=1
Punkten (2,1) ligger alltså på kurvan. Andragradskurvans symmetri ger att grafen har ytterligare en punkt med samma y-värde, men på andra sidan symmetrilinjen. Det ger punkten (0,1).
4
Sammanbind punkterna
expand_more Nu kan man sammanbinda punkterna för att bilda sig en uppfattning om andragradskurvans utseende. Kurvan ska ha formen av en parabel som vänder i extrempunkten.
Exempel
Använda standardformen för att rita en parabel
Linnea älskar att spela golf och försöker förbättra sin sving genom att rita parabeln som bollen kommer att skapa.
y=−2x2+6x
Rita parabeln för att hjälpa Linnea att förbättra sin sving!
Svar
Ledtråd
Identifiera parabelns vertex. Gör grafen endast för första kvadranten.
Lösning
Börja med att hitta symmetrilinjen, vilket kan göras med pq-formeln. Förenkla först ekvationen 2x2+6x=0.
x-koordinaten för extrempunkten är känd eftersom den ligger på symmetrilinjen. y-koordinaten kan hittas genom att sätta in detta värde i funktionen.
Extrempunkten är (1,5;4,5), vilket ger den första punkten på grafen. 
För att kunna skissa grafen behövs två ytterligare punkter. En punkt bestäms genom att sätta in ett valfritt x-värde i funktionen och beräkna det motsvarande y-värdet.
Punkten (1,4) ligger därför på kurvan. Andragradssymmetri ger att grafen har en annan punkt med samma y-värde men på andra sidan av symmetrilinjen. Detta ger punkten (2,4).
Nu anslut punkterna för att få en parabel. 
−2x2+6x=0⇓x2−3x=0
Nu är pq-formeln som följer.
x=−2−3±(2−3)2−0.
Symmetrilinjen xs är termen framför radikaltecknet.
Kurvan är därför symmetrisk kring xs=1,5. y=−2x2+6x
Substitute
x=1,5
y=−2(1,5)2+6(1,5)
CalcPow
Beräkna potens
y=−2(2,25)+6(1,5)
Multiply
Multiplicera faktorer
y=−4,5+9
AddSubTerms
Addera och subtrahera termer
y=4,5
y=−2x2+6x
Substitute
x=2
y=−2(2)2+6(2)
CalcPow
Beräkna potens
y=−2(4)+6(2)
Multiply
Multiplicera faktorer
y=−8+12
AddTerms
Addera termer
y=4
Illustration
Skissa en andragradskurva
Prova att flytta de tre punkterna och se hur en andragradskurva genom dem ser ut.
Koncept
Andragradsfunktion i faktorform
En andragradsfunktion med nollställen vid x=a och x=b kan skrivas som
Därmed hittas ekvationen i faktoriserad form.
y=k(x−a)(x−b),
där k är en konstant. På detta sätt skrivs en andragradsfunktion i faktoriserad form. Till exempel, betrakta en andragradsfunktion med nollställen vid x=3 och x=−1, som går genom punkten (0,−6). Börja med att sätta in värdena för a och b.
y=k(x−3)(x−(−1))⇓y=k(x−3)(x+1)
Nästa steg, för att hitta värdet av k, sätt in punkten (0,−6) i funktionen och lös för k.
y=k(x−3)(x+1)
SubstituteII
x=0 och y=−6
−6=k(0−3)(0+1)
▼
Lös ut k
AddSubTerms
Addera och subtrahera termer
−6=k(−3)(1)
Multiply
Multiplicera faktorer
−6=−3k
RearrangeEqn
Omarrangera ekvation
−3k=−6
DivEqn
VL/(−3)=HL/(−3)
k=2
y=2(x−3)(x+1)
Metod
Bestäm funktion utifrån graf
För att bestämma en funktion utifrån en graf måste man först veta vilken typ av funktion det är. I koordinatsystemet har grafen till en exponentialfunktion ritats.
1
Bestäm antalet okända konstanter
expand_more Grafen beskriver en exponentialfunktion, vilket betyder att den allmänna formen är
y=C⋅ax.
Antalet okända konstanter är två stycken: startvärdet C och förändringsfaktorn a. 2
Läs av lika många punkter på grafen
expand_more Det finns två okända konstanter och därför behövs två olika punkter för att bestämma dessa värden.
Grafen går exempelvis igenom (1,1), och (2,3).
3
Sätt in punkterna i funktionen
expand_more Punkterna sätts in i funktionen och man får då två ekvationer:
1=C⋅a1och3=C⋅a2.
4
Ställ upp ett ekvationssystem och lös det
expand_more Eftersom det finns två okända variabler och två ekvationer kan man ställa upp ett ekvationssystem.
{1=C⋅a13=C⋅a2
Nu kan man använda substitutionsmetoden för att bestämma de okända konstanterna.
{1=C⋅a13=C⋅a2(I)(II)
(I): Förenkla potens
{1=C⋅a3=C⋅a2
DivEqn
(I): VL/a=HL/a
{a1=C3=C⋅a2
RearrangeEqn
(I): Omarrangera ekvation
{C=a13=C⋅a2
Substitute
(II): C=a1
{C=a13=a1⋅a2
Multiply
(II): Multiplicera faktorer
{C=a13=aa2
SimpQuot
(II): Förenkla kvot
{C=a13=a
RearrangeEqn
(II): Omarrangera ekvation
{C=a1a=3
Substitute
(I): a=3
{C=31a=3
5
Sätt in konstanterna
expand_more Till sist sätts värdena för konstanterna in i funktionsuttrycket.
y=C⋅ax⇒y=31⋅3x
Exempel
Bestäm funktionen med hjälp av grafen
Vilken andragradsfunktion beskriver grafen?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.625em;vertical-align:-0.19444em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.03588em;\">y<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["-0,5x^2+3x+4"]}}
Ledtråd
Använd den allmänna formeln för en andragradsekvation. Analysera den givna grafen och hitta y-skärningspunkten och koordinaterna för vertexen.
Lösning
Den allmänna formen för en andragradsfunktion är
Vi ser att y-värdet är 4 så c=4, vilket ger
Två punkter på kurvan är (2,8) och (6,4), och sätter vi in dessa i funktionsuttrycket bildas två ekvationer. Punkten (2,8) betyder att när man sätter in x=2 är y=8. Det ger ekvationen
Nu sätter vi in värdet på a i den andra ekvationen.
a är −0,5 och b är 3. Sedan tidigare vet vi också att c=4. Detta ger funktionen
y=ax2+bx+c,
där a, b, och c är reella konstanter. Konstanten c kan vi bestämma direkt eftersom det är y-värdet där grafen skär y-axeln. y=ax2+bx+4.
Det finns nu två okända konstanter kvar, så vi behöver ytterligare två punkter för att bestämma dem. Vi väljer två där x- och y-koordinaterna är lätta att läsa av. a⋅22+b⋅2+4=8.
På samma sätt får man ekvationen a⋅62+b⋅6+4=4 genom att sätta in den andra punktens koordinater. Dessa två ekvationer bildar ett ekvationssystem som man kan lösa med exempelvis additionsmetoden.
{a⋅22+b⋅2+4=8a⋅62+b⋅6+4=4(I)(II)
CalcPowProd
Beräkna potens & produkt
{4a+2b+4=836a+6b+4=4
MultEqn
(I): VL⋅(−3)=HL⋅(−3)
{−12a−6b−12=−2436a+6b+4=4
SysEqnAdd
(I): Addera (II)
{−12a−6b−12+36a+6b+4=−24+436a+6b+4=4
SimpTerms
(I): Förenkla termer
{24a−8=−2036a+6b+4=4
AddEqn
(I): VL+8=HL+8
{24a=−1236a+6b+4=4
DivEqn
(I): VL/24=HL/24
{a=−0,536a+6b+4=4
{a=−0,536a+6b+4=4
Substitute
(II): a=−0,5
{a=−0,536(−0,5)+6b+4=4
MultPosNeg
(II): a(−b)=−a⋅b
{a=−0,5−18+6b+4=4
SimpTerms
(II): Förenkla termer
{a=−0,5−14+6b=4
AddEqn
(II): VL+14=HL+14
{a=−0,56b=18
DivEqn
(II): VL/6=HL/6
{a=−0,5b=3
y=−0,5x2+3x+4.
Exempel
Skriva en andragradsfunktion givet dess graf
Linnea vill skriva den faktoriserade formen av andragradsfunktionen som motsvarar den givna parabeln.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.625em;vertical-align:-0.19444em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.03588em;\">y<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{1}{3}(x+5)(x-1)","\\dfrac{1}{3}(x-1)(x+5)","\\dfrac{1}{3}(x-(-5))(x-1)","\\dfrac{1}{3}(x-1)(x-(-5))"]}}
Ledtråd
Börja med att identifiera x-skärningarna för parabeln.
Lösning
Kom ihåg formatet för den faktoriserade formen av en parabel.
Parabeln skär x-axeln vid (−5,0) och (1,0). Detta innebär att p och q är −5 och 1. Det spelar ingen roll vilket värde som tillskrivs vilken variabel, så det anses godtyckligt att p=−5 och q=1. Med denna information kan följande ekvation skrivas.
Parabelns vertex ligger vid (−2,−3). Därför kan −2 och −3 sättas in för x och y, respektive, i den partiella ekvationen. Ekvationen kan sedan lösas för a.
Det har funnits att värdet av a är 31. Med denna information kan ekvationen för den givna parabeln skrivas i faktoriserad form.
y=a(x−p)(x−q)
I det här formatet är funktionens nollställen p och q. Därför, för att ange värdena för p och q, börja med att identifiera x-skärningarna för grafen. y=a(x−(−5))(x−1)⇕y=a(x+5)(x−1)
Slutligen, för att hitta värdet av a kan vilken som helst punkt på parabeln användas. För enkelhetens skull kommer vertexen att användas. y=a(x+5)(x−1)
SubstituteII
x=−2 och y=−3
−3=a(−2+5)(−2−1)
▼
Lös ut a
AddSubTerms
Addera och subtrahera termer
−3=a(3)(−3)
MultPosNeg
a(−b)=−a⋅b
−3=a(−9)
DivEqn
VL/(−9)=HL/(−9)
−9−3=a
DivNegNeg
-b-a=ba
93=a
ReduceFrac
Förkorta med 3
31=a
RearrangeEqn
Omarrangera ekvation
a=31
y=31(x−(−5))(x−1)⇕y=31(x+5)(x−1)
Laddar innehåll