body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Rekommenderade

Tester

Ett fel uppstod, försök igen senare!

eKurser /

( Ma 1b , Ma 1c ) /

Kapitel {{ article.chapter.number }}

{{ article.number }}.

Visa mindre Visa mer

Inställningar & verktyg för lektion

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

Kreditlista Bilder

{{ item.file.title }}
{{ presentation }}

Inga inlägg om filrättigheter hittades

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Sannolikhet
Slumpförsök
Utfall
Utfallsrum
Händelse
Experimentel sannolikhet
Axiom för sannolikhet
Komplementhändelse

Utforska

Undersökning av tärningskast

Rulla tärningen och dokumentera resultaten i tabellen.

Om tärningen rullas

100

gånger, hur många gånger kan man vänta sig att varje siffra rullas?

Teori

Sannolikhet

Sannolikhet beskriver hur troligt det är att något ska hända. Sannolikheten kan anges som ett tal mellan $0$ och $1,$ eller mellan $0 %$ och $100 % .$ Om något inte kan hända alls, är sannolikheten $0 .$ Om något kommer att hända med säkerhet, är sannolikheten $1 .$

Teori

Slumpförsök

Ett slumpförsök är en process som används för att bestämma sannolikheten att en händelse inträffar i framtiden. När man undersöker sannolikheten för någonting är experiment med slumpförsök en åtgärd som kan upprepas oändligt många gånger. Resultaten av dessa slumpförsök är begränsade och kallas för utfall. Något så enkelt som att rulla en tärning kan betraktas som ett sådant experiment.

Applikation som låter en rulla en tärning.

När experiment upprepas flera gånger för att samla in data, kallas varje upprepning för ett försök. Till exempel, om tärningen kastas

100

gånger, betraktas varje kast som ett försök.

Teori

Utfall

Ett utfall är ett möjligt resultat av ett slumpförsök. Att rulla en trea med en sexsidig tärning är ett exempel på ett möjligt utfall.

En tärning med 3 på ovansidan, 1 på framsidan och 2 på högersidan.

Observera att när man utför ett experiment är varje möjligt utfall unikt och varje försök kommer endast ha ett utfall.

Teori

Utfallsrum

Alla de utfall som ett slumpförsök kan ge kallas för försökets utfallsrum. När man slår en tärning kan man bara få något av talen

1

till

6,

så utfallsrummet är

{1, 2, 3, 4, 5, 6} .

Eftersom det är en mängd tar man inte med upprepningar. Om sidan

6

på en tärning exempelvis målas om till en till

1 : a,

blir utfallsrummet för denna tärning

{1, 2, 3, 4, 5} .

Trots att det finns två

1 : or

på tärningen visar alltså utfallsrummet endast en

1 : a .

Teori

Händelse

En händelse är en kombination av ett eller flera specifika utfall. Till exempel, när man spelar kort, kan en händelse vara att dra en spader eller ett hjärta. För denna händelse är ett möjligt utfall att dra $A ♠$ eller att dra $7 ♡ .$

En kortlek, en 7:a i hjärter och esset i spader.

Men dessa är inte de enda möjliga utfallen för denna händelse. Alla möjliga utfall som uppfyller händelsen listas nedan.

M \ddot{o} jliga utfall : A ♠, 2 ♠, 3 ♠, 4 ♠, 5 ♠, 6 ♠, 7 ♠ 8 ♠, 9 ♠, 10 ♠, J ♠, Q ♠, K ♠ A ♡, 2 ♡, 3 ♡, 4 ♡, 5 ♡, 6 ♡, 7 ♡ 8 ♡, 9 ♡, 10 ♡, J ♡, Q ♡, K ♡

Teori

Formel för sannolikhet

Om alla utfall i ett slumpförsök är lika sannolika kan sannolikheten för en händelse bestämmas med följande formel.

$P = \frac{Antal gynnsamma utfall}{Antal m o ¨ jliga utfall}$

Inom sannolikhet syftar gynnsamma utfall på de händelser man är intresserad av att bestämma sannolikheten för, oavsett om de upplevs som bra eller dåliga. Betrakta kastet av en vanlig sexsidig tärning. Det finns sex lika sannolika utfall i utfallsrummet. Eftersom varje utfall har samma sannolikhet, kallas detta en likformig sannolikhetsfördelning. Om händelsen exempelvis är att slå ett udda tal med en tärning är de gynnsamma utfallen

3

stycken: etta, trea och femma.

Ett utfallsrum för att kasta en tärning: {1,2,3,4,5,6}; händelsen att få ett udda tal består av tre utfall {1,3,5}.

Antalet möjliga utfall är

6,

eftersom det finns

6

sidor på tärningen. Sannolikheten blir

P (udda) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0, 5,

alltså

50 % .

Exempel

Hur sannolik är händelsen?

Vad är sannolikheten att man är född på helgen? Svara i hela procent.

Ledtråd

Räkna de gynnsamma utfallen och det totala antalet möjliga utfall.

Lösning

Vi antar att dagen man är född på är helt slumpmässig, dvs. det är inte mer sannolikt att man är född på en dag jämfört med en annan. Det finns två dagar på helgen, lördag och söndag, och totalt sju dagar på en vecka.

Antalet gynnsamma utfall är

2

och det totala antalet

7 .

Vi sätter in detta i formeln för sannolikhet.

P = \frac{Antal gynnsamma utfall}{Antal m o ¨ jliga utfall}

SubstituteExpressions

Sätt in uttryck

P (helg) = \frac{2}{7}

UseCalc

Slå in på räknare

P (helg) = 0, 285714 \dots

RoundDec

Avrunda till $2$ decimal(er)

P (helg) \approx 0, 29

Sannolikheten att man är född en helg är ungefär

29 % .

Teori

Experimentell sannolikhet

Experimentell sannolikhet är sannolikheten att en händelse inträffar baserat på data som samlats in från upprepade försök i ett experiment. För varje försök noteras utfallet. När alla försök är utförda beräknas den experimentella sannolikheten för en händelse genom att dividera antalet gånger händelsen inträffar med antalet försök.

P (h \ddot{a} ndelse) = \frac{Antal g a ˚ nger h a ¨ ndelsen intr a ¨ ffar}{Antal f o ¨ rs o ¨ k}

Genom att upprepa ett experiment många gånger kommer resultatet att närma sig den teoretiska sannolikheten för händelsen. Till exempel, betrakta ett myntkast och händelsen att utfallet blir en klave. Använd applikationen för att simulera resultaten och beräkna den experimentella sannolikheten.

Den experimentella sannolikheten att få en klave som utfall ligger nära den teoretiska sannolikheten

0, 5 .

Exempel

Hur kan man tolka experimentell sannolikhet?

En väderprognos säger att sannolikheten för regn är

25 % .

Tolka detta uttryck.

Ledtråd

Tänk på det som tidigare observationer: Räkna hur många gånger det regnade under $100$ liknande dagar.

Lösning

Prognosen som påstår en

25 %

chans för regn är baserad på faktiska observationer, liknande ett experiment. Detta innebär att av

100

registrerade dagar med liknande väderförhållanden regnade det under

25

av dessa dagar och regnade inte under de återstående

75

dagarna.

Experimentell sannolikhet \frac{2 5}{1 0 0} = 25 %

Med andra ord indikerar en

25 %

chans för regn att, i tidigare observationer av liknande väder, har regn förekommit

25

gånger av

100 .

Detta innebär inte att det kommer att regna under

25 %

av dagen eller att

25 %

av området kommer att påverkas. Istället speglar det helt enkelt hur ofta regn har inträffat under liknande förhållanden tidigare.

Teori

Axiom för sannolikhet

Den ryske matematikern Andrej Kolmogorov lade grunden för sannolikhetsläran med sina tre axiom:

Sannolikheter är lika med noll eller är positiva.
Sannolikheten för det kompletta utfallsrummet är $1 .$
Om $A$ och $B$ är två händelser som inte kan inträffa samtidigt är den kombinerade sannolikheten att något av dem inträffar summan av deras enskilda sannolikheter.

$P (A eller B) = P (A) + P (B)$

Teori

Komplementhändelse

Om en händelse, kallad $A,$ är att slå $4 : a$ med en tärning är händelsen att man inte slår en $4 : a$ den s.k. komplementhändelsen. Den brukar skrivas med ett litet $c$ uppe till höger: $A^{c} .$ För $A$ är komplementhändelsen $A^{c}$ att tärningen visar $1,$ $2,$ $3,$ $5$ eller $6 .$

Antingen inträffar händelsen $A$ eller dess komplementhändelse, $A^{c} .$ Utfallet kan inte vara något annat så den sammanlagda sannolikheten för dessa två händelser är lika med $1 .$

$P (A) + P (A^{c}) = 1$

Exempel

Vad är komplementhändelsen?

Eloise köper

5

lotter i ett lotteri. Vad är komplementhändelsen,

A^{c},

A

är händelsen att alla lotter är nitlotter?

Ledtråd

Vad är motsatsen till att alla förlorar?

Lösning

För att lösa uppgiften måste vi veta vilka utfall som är möjliga när Eloise köper

5

lotter. Har hon otur får hon ingen vinstlott alls. Men hon kan också ha tur och få upp till

5

vinstlotter. Det innebär alltså att hon kan få

0, 1, 2, 3, 4 eller 5 vinstlotter .

Vi vet att händelse

A

är att alla är nitlotter, dvs. att hon får

0

vinstlotter. Komplementhändelsen,

A^{c},

består av alla andra möjliga utfall, dvs. att hon får

1,

2,

3,

4

eller

5

vinstlotter. Enklare uttryckt är

A^{c}

alltså att minst en av de fem lotterna är en vinstlott.

Laddar innehåll

{{ article.displayTitle }}

Förkunskaper

Ledtråd

Lösning

Ledtråd

Lösning

Ledtråd

Lösning