body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

{{ 'ml-label-loading-course' | message }}

{{ toc.name }}

{{ toc.signature }}

{{ tocHeader }} {{ 'ml-btn-view-details' | message }}

{{ tocSubheader }}

{{ 'ml-lesson-btn-finish-worksheet' | message }}

{{ 'ml-toc-proceed-mlc' | message }}

{{ 'ml-toc-proceed-tbs' | message }}

Ett fel uppstod, försök igen senare!

Kapitel {{ article.chapter.number }}

{{ article.number }}.

{{ article.displayTitle }}

{{ article.intro.summary }}

Visa mindre Visa mer

{{ ability.displayTitle }}

Inställningar & verktyg för lektion

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

Kreditlista Bilder

{{ item.file.title }}
{{ presentation }}

Inga inlägg om filrättigheter hittades

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Sinussatsen

Förkunskaper

Triangel
Arean av en triangel
Pythagoras sats
Trigonometriska funktioner

Utforska

Relationship Between a Triangle's Angles and Their Opposite Sides

In

△ A B C,

all the side lengths and angle measures are given. Calculate the ratio of the sine of each angle to the length of its opposite side.

triangle

What conclusions can be made?

Regel

Sinussatsen

Sinussatsen anger ett samband mellan vinklar och sidor i en godtycklig triangel. Kvoten mellan sinusvärdet av en vinkel och dess motstående sida är lika stor oavsett vilken vinkel och motstående sida man dividerar.

$\frac{sin ( A )}{a} = \frac{sin ( B )}{b} = \frac{sin ( C )}{c}$

$A$ , $B$ och $C$ är triangelns vinklar medan $a$ , $b$ och $c$ är respektive vinkels motstående sida, så sinussatsen kan användas för att bestämma en okänd vinkel eller sida.

Mellan

0^{\circ}

och

18 0^{\circ}

finns det två vinklar med samma sinusvärde, så om man använder sinussatsen för att bestämma en okänd vinkel kan det därför finnas två möjliga värden på denna. Det är inte alltid det finns en geometrisk tolkning av båda dessa värden, så det är viktigt att man kontrollerar att båda är rimliga. Sinussatsen kan också skrivas

\frac{a}{sin ( A )} = \frac{b}{sin ( B )} = \frac{c}{sin ( C )},

vilket kan vara användbart när man istället bestämmer en okänd sida.

Bevis

Bevis för sinussatsen

För att bevisa sinussatsen kan man använda följande godtyckliga triangel.

Om man studerar sidorna

b

och

c

blir

A

mellanliggande vinkel. Enligt areasatsen kan triangelns area då skrivas

Area = \frac{b c sin ( A )}{2} .

Utgår man istället ifrån vinkel

B

respektive

C

får man två nya samband som beskriver samma area:

Area = \frac{a c sin ( B )}{2} och Area = \frac{a b sin ( C )}{2} .

Eftersom alla tre uttryck beskriver triangelns area måste de vara lika stora. Man kan därmed likställa dem och genom att göra några omskrivningar får man slutligen sinussatsen.

\frac{b c sin ( A )}{2} = \frac{a c sin ( B )}{2} = \frac{a b sin ( C )}{2}

$VL \cdot 2 = HL \cdot 2$

b c sin (A) = a c sin (B) = a b sin (C)

$VL / a b c = HL / a b c$

\frac{b c sin ( A )}{a b c} = \frac{a c sin ( B )}{a b c} = \frac{a b sin ( C )}{a b c}

Förenkla kvot

\frac{sin ( A )}{a} = \frac{sin ( B )}{b} = \frac{sin ( C )}{c}

Detta är alltså sinussatsen.

Q.E.D.

Exempel

Bestäm sidan med sinussatsen

Bestäm sidan $x .$ Avrunda till en decimal.

Ledtråd

Börja med att hitta den saknade vinkelstorleken. Använd sinussats.

Lösning

Enligt sinussatsen gäller sambandet

\frac{a}{sin ( A )} = \frac{b}{sin ( B )} = \frac{c}{sin ( C )},

där

A,

B

och

C

är vinklar och

a,

b

och

c

är respektive vinkels motstående sida. Vi bestämmer först motstående vinkel till

x

med hjälp av triangelns vinkelsumma:

18 0^{\circ} - 7 9^{\circ} - 4 1^{\circ} = 6 0^{\circ} .

Vi kompletterar figuren med den sista vinkeln. Vi sätter in värden på vinklar och sidor i sinussatsen och löser ut

x .

\frac{a}{sin ( A )} = \frac{b}{sin ( B )}

SubstituteValues

Sätt in värden

\frac{x}{sin ( 6 0 ^{\circ} )} = \frac{1 , 7}{sin ( 7 9 ^{\circ} )}

$VL \cdot sin (6 0^{\circ}) = HL \cdot sin (6 0^{\circ})$

x = \frac{1 , 7}{sin ( 7 9 ^{\circ} )} \cdot sin (6 0^{\circ})

Slå in på räknare

x = 1, 49979 \dots

Avrunda till $\ifnumequal{1}{1}{\text{tiondelar}}{}\ifnumequal{1}{2}{\text{hundradelar}}{}\ifnumequal{1}{3}{\text{tusendelar}}{}\ifnumequal{1}{4}{\text{tiotusendelar}}{}\ifnumequal{1}{5}{\text{hundratusendelar}}{}\ifnumequal{1}{6}{\text{miljontedelar}}{}\ifnumequal{1}{7}{\text{hundramiljontedelar}}{}\ifnumequal{1}{8}{\text{miljardtedelar}}{}$

x \approx 1, 5

Sidan

x

är alltså ca

1, 5

le.

Övning

Practice Finding Sides Using the Law of Sines

In the following applet, $x$ represents the side length of a triangle. Find the value of $x$ by using the Law of Sines. Write the answer rounded to two decimal places.

triangles

Metod

Bestämma vinklar med sinussatsen

När man bestämmer vinklar med sinussatsen måste man vara uppmärksam på att det i vissa fall kan finnas två korrekta svar. Man kan t.ex. undersöka möjliga värden på vinklarna $X$ och $Y$ i triangeln $X Y Z$ när man vet att motstående sida till $X$ är $x = 10$ mm och att $Z = 3 0^{\circ}$ är motstående vinkel till sidan $z = 7$ mm.

1

Sätt in känd vinkel och sidor i sinussatsen

Enligt sinussatsen är kvoten mellan sinusvärdet för en vinkel och vinkelns motstående sida alltid konstant. I det här fallet känner man till sidorna

x

och

z

samt vinkeln

Z .

Man kan då ställa upp en ekvation med hjälp av sinussatsen:

\frac{sin ( X )}{1 0} = \frac{sin ( 3 0 ^{\circ} )}{7} .

2

Lös ut den okända vinkeln

Ekvationen kan lösas genom att använda arcussinus. Kontrollera att räknaren är inställd på grader.

\frac{sin ( X )}{1 0} = \frac{sin ( 3 0 ^{\circ} )}{7}

$VL \cdot 10 = HL \cdot 10$

sin (X) = \frac{1 0 sin ( 3 0 ^{\circ} )}{7}

$\ifnumequal{30}{0}{\sin\left(0^{\, \circ}\right)=0}{}\ifnumequal{30}{30}{\sin\left(30^{\, \circ}\right)=\dfrac{1}{2}}{}\ifnumequal{30}{45}{\sin\left(45^{\, \circ}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}}{}\ifnumequal{30}{60}{\sin\left(60^{\, \circ}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{}\ifnumequal{30}{90}{\sin\left(90^{\, \circ}\right)=1}{}\ifnumequal{30}{120}{\sin\left(120^{\, \circ}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{}\ifnumequal{30}{135}{\sin\left(135^{\, \circ}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}}{}\ifnumequal{30}{150}{\sin\left(150^{\, \circ}\right)=\dfrac{1}{2}}{}\ifnumequal{30}{180}{\sin\left(180^{\, \circ}\right)=0}{}\ifnumequal{30}{210}{\sin\left(210^{\, \circ}\right)=- \dfrac 1 2}{}\ifnumequal{30}{225}{\sin\left(225^{\, \circ}\right)=- \dfrac 1 {\sqrt 2}}{}\ifnumequal{30}{240}{\sin\left(240^{\, \circ}\right)=- \dfrac {\sqrt 3}2}{}\ifnumequal{30}{270}{\sin\left(270^{\, \circ}\right)=-1}{}\ifnumequal{30}{300}{\sin\left(300^{\, \circ}\right)=-\dfrac {\sqrt 3}2}{}\ifnumequal{30}{315}{\sin\left(315^{\, \circ}\right)=- \dfrac 1 {\sqrt 2}}{}\ifnumequal{30}{330}{\sin\left(330^{\, \circ}\right)=- \dfrac 1 2}{}\ifnumequal{30}{360}{\sin\left(360^{\, \circ}\right)=0}{}$

sin (X) = \frac{1 0 \cdot \frac{1}{2}}{7}

Multiplicera faktorer

sin (X) = \frac{5}{7}

$arcsin (VL) = arcsin (HL)$

X = arcsin (\frac{5}{7})

Slå in på räknare

X = 45, 58469 \dots^{\circ}

Avrunda till närmaste heltal

X \approx 4 6^{\circ}

Nu har man bestämt ett värde på den okända vinkeln: $X \approx 4 6^{\circ} .$ Triangelns vinkelsumma ger att den tredje vinkeln, $Y,$ är $18 0^{\circ} - 3 0^{\circ} - 4 6^{\circ} = 10 4^{\circ} .$

3

Bestäm vinkeln

18 0^{\circ} - v

Mellan

0^{\circ}

och

18 0^{\circ}

finns det två vinklar som ger samma sinusvärde, så en annan möjlig vinkel är

18 0^{\circ} - 4 6^{\circ} = 13 4^{\circ} .

Både

X = 4 6^{\circ}

och

X = 13 4^{\circ}

är alltså lösningar på ekvationen

\frac{s i n ( X )}{1 0} = \frac{s i n ( 3 0 ^{\circ} )}{7} .

Men även om ekvationen stämmer är det inte säkert att man kan bilda en triangel där den okända vinkeln

X

är

13 4^{\circ}

. Vi kontrollerar detta geometriskt.

4

Är vinkeln

18 0^{\circ} - v

rimlig?

För att undersöka om

13 4^{\circ}

är en möjlig vinkel i triangeln kontrollerar man att summan av

13 4^{\circ}

och

3 0^{\circ}

är mindre än triangelns vinkelsumma:

13 4^{\circ} + 3 0^{\circ} = 16 4^{\circ} .

Eftersom summan av vinklarna är mindre än

18 0^{\circ}

finns det "grader över" till triangelns sista vinkel,

Y = 18 0^{\circ} - 16 4^{\circ} = 1 6^{\circ} .

Om vinkelsumman hade blivit lika med eller större än

18 0^{\circ}

skulle det inte gå att bilda en triangel där

X = 13 4^{\circ}

och

Y = 1 6^{\circ} .

Då hade triangeln där

X = 4 6^{\circ}

och

Y = 10 4^{\circ}

varit den enda lösningen. Men i det här fallet finns det alltså två svar:

X = 4 6^{\circ} X = 13 4^{\circ} och Y = 10 4^{\circ} eller och Y = 1 6^{\circ} .

Förklaring

Hur ska man tolka den andra vinkeln i sinussatsen?

När man använder sinussatsen för att bestämma en vinkel i en triangel måste man komma ihåg att det finns två vinklar mellan $0^{\circ}$ och $18 0^{\circ}$ som ger samma sinusvärde. Detta betyder att sinussatsen kan leda fram till två olika trianglar. Exempelvis kan man använda den för att bestämma vinkeln $B$ i triangeln nedan.

Ställer man upp satsen och löser ut

B

med arcussinus får man en första vinkel,

B_{1} .

B_{1} = arcsin (\frac{sin ( 4 0 ^{\circ} ) \cdot 2}{1 , 5}) \approx 5 9^{\circ}

Men eftersom en vinkel

v

och

18 0^{\circ} - v

har samma sinusvärde finns även en andra vinkel,

B_{2} .

B_{2} \approx 18 0^{\circ} - 5 9^{\circ} = 12 1^{\circ} .

Detta kan tolkas som att det finns två olika sätt att rita en triangel med vinkeln

4 0^{\circ}

och sidlängderna

2

och

1.5 .

En med spetsig vinkel,

B_{1} = 5 9^{\circ},

och en med trubbig vinkel,

B_{2} = 12 1^{\circ} .

Det går alltid att skapa en triangel som innehåller den spetsiga vinkeln $B_{1},$ men det är inte alltid möjligt att bilda en med den trubbiga vinkeln $B_{2} .$

Ibland blir

B_{2}

så stor att den tillsammans med vinkeln

A

blir större än

18 0^{\circ},

och då går det inte bilda en triangel eftersom alla trianglar måste ha vinkelsumman

18 0^{\circ} .

Följande tabell sammanfattar hur många trianglar som är möjliga när vinkeln

A

är spetsig.

Givna villkor	$a < h$	$a = h$	$h < a < b$	$a \geq b$
Antal möjliga trianglar	ingen	$1$	$2$	$1$

Å andra sidan, om vinkeln $A$ är trubbig, finns det bara två möjligheter.

Exempel

Bestäm vinkeln med sinussatsen

I triangeln

A B C

är

A

är motstående vinkel till sida

a,

att

B

är motstående vinkel till sida

b,

osv. Bestäm vinkel

A

givet att

a = 5, b = 8 och B = 9 9^{\circ} .

Avrunda

A

till närmaste heltal.

Ledtråd

Använd sinussatsen. Det finns två vinklar som uppfyller satsen, kan båda vinklarna bilda en triangel?

Lösning

Vi börjar med att sätta in de sidor och vinklar vi känner till i sinussatsen.

\frac{sin ( A )}{5} = \frac{sin ( 9 9 ^{\circ} )}{8}

Genom att lösa ekvationen bestämmer vi nu vinkel

A .

\frac{sin ( A )}{5} = \frac{sin ( 9 9 ^{\circ} )}{8}

$VL \cdot 5 = HL \cdot 5$

sin (A) = \frac{5 sin ( 9 9 ^{\circ} )}{8}

$arcsin (VL) = arcsin (HL)$

A = arcsin (\frac{5 sin ( 9 9 ^{\circ} )}{8})

Slå in på räknare

A = 38, 11961 \dots^{\circ}

Avrunda till närmaste heltal

A \approx 3 8^{\circ}

Ett värde på

A

är alltså

3 8^{\circ} .

Vi undersöker nu om vinkeln

18 0^{\circ} - A,

dvs.

18 0^{\circ} - 3 8^{\circ} = 14 2^{\circ},

också är ett rimligt svar genom att kontrollera summan av denna vinkel och den givna vinkeln,

9 9^{\circ}

:

14 2^{\circ} + 9 9^{\circ} = 24 1^{\circ} .

Summan överstiger triangelns vinkelsumma på

18 0^{\circ} .

Då kan vinkel

A

inte vara

14 2^{\circ},

utan det enda rimliga svaret är

3 8^{\circ} .

Övning

Practice Finding Angles Using the Law of Sines

In the following applet, $x$ represents the measure of an angle of a triangle. Use the sine theorem to find the value of $x .$ Round the answer to the nearest whole degree.

{{ grade.displayTitle }}

Redigera lektion

Laddar innehåll