Skissa andragradskurvor: Funktionens egenskaper

Begrepp

Andragradsfunktioner och deras grafer

Om en andragradsfunktion står på formen $y = a x^{2} + b x + c$ avgör $a$ både åt vilket håll kurvan är krökt $(⌣ eller ⌢)$ och dess bredd. Stora värden, antingen positiva eller negativa (t.ex. $100$ eller $- 100$ ), ger smala kurvor, medan små positiva eller negativa värden (t.ex. $0.5$ eller $- 0.5$ ) ger bredare kurvor. Konstanten $c$ avgör grafens skärningspunkt med $y$ -axeln.

Metod

Skissa en andragradskurva

För att skissa grafen till en andragradsfunktion, t.ex.

y = x^{2} - 2 x + 1,

behöver man veta tre punkter på kurvan. Dessa kan vara extrempunkten och två punkter på varsin sida om symmetrilinjen.

Bestäm symmetrilinjen

Man börjar med att hitta symmetrilinjen, vilket kan göras med

p q

-formeln. Ställer man upp ekvationen

x^{2} - 2 x + 1 = 0

får man

x = - \frac{- 2}{2} \pm (\frac{- 2}{2})^{2} - 1 .

Symmetrilinjen

x_{s}

är termen framför rottecknet.

x_{s} = - \frac{- 2}{2}

CalcQuot

Beräkna kvot

x_{s} = - (- 1)

NegNeg

$- (- a) = a$

x_{s} = 1

Kurvan är alltså symmetrisk runt $x_{s} = 1 .$

Bestäm extrempunkten

Extrempunktens $x$ -koordinat vet man redan eftersom den ligger på symmetrilinjen. $y$ -koordinaten bestäms genom att sätta in detta $x$ i funktionen.

y = x^{2} - 2 x + 1

Substitute

$x = 1$

y = 1^{2} - 2 \cdot 1 + 1

CalcPowProd

Beräkna potens & produkt

y = 1 - 2 + 1

AddSubTerms

Förenkla termer

y = 0

Extrempunkten är $(1, 0),$ vilket ger den första punkten på grafen.

Bestäm två punkter till

För att kunna skissa grafen krävs ytterligare två punkter. Ena punkten bestämmer man genom att sätta in valfritt $x$ -värde i funktionen och beräkna motsvarande $y$ -värde.

y = x^{2} - 2 x + 1

Substitute

$x = 2$

y = 2^{2} - 2 \cdot 2 + 1

SimpPowProd

Förenkla potens & produkt

y = 4 - 4 + 1

AddSubTerms

Förenkla termer

y = 1

Punkten $(2, 1)$ ligger alltså på kurvan. Andragradskurvans symmetri ger att grafen har ytterligare en punkt med samma $y$ -värde, men på andra sidan symmetrilinjen. Det ger punkten $(0, 1) .$

Sammanbind punkterna

Nu kan man sammanbinda punkterna för att bilda sig en uppfattning om andragradskurvans utseende. Kurvan ska ha formen av en parabel som vänder i extrempunkten.

Prova att flytta de tre punkterna och se hur en andragradskurva genom dem ser ut.

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

{{ article.displayTitle }}