Skissa grafer: Teckentabell och derivator

När man skissar grafer vill man veta hur de ser ut i stora drag. Man är alltså inte intresserad av att veta samtliga punkter en graf går igenom utan bara dess generella utseende. Det är dock nödvändigt att bestämma de stationära punkternas koordinater och karaktär för att veta var grafen vänder.

Metod

Skissa en graf med första- och andraderivata

En funktions första- och andraderivata kan användas för att skissa funktionens graf, där förstaderivatan används för att bestämma var funktionen har stationära punkter och andraderivatan för att avgöra punkternas karaktär. Man kan t.ex. skissa grafen till funktionen

f (x) = 0.5 x^{4} + \frac{x ^{3}}{3} - 3 x^{2}

med denna metod.

Derivera funktionen

Funktionen

f (x)

deriveras först med lämpliga deriveringsregler.

f (x) = 0.5 x^{4} + \frac{x ^{3}}{3} - 3 x^{2}

Derive

Derivera funktion

f^{'} (x) = D (0.5 x^{4}) + D (\frac{x ^{3}}{3}) - D (3 x^{2})

DeriveMonomCo

$D (a x^{n}) = a \cdot n x^{n - 1}$

f^{'} (x) = 2 x^{3} + D (\frac{x ^{3}}{3}) - 6 x

DeriveMonomCoDiv

$D (\frac{x ^{n}}{a}) = \frac{n x ^{n - 1}}{a}$

f^{'} (x) = 2 x^{3} + x^{2} - 6 x

Bestäm derivatans nollställen

För att hitta $x$ -värdena för funktionens stationära punkter sätter man sedan derivatan lika med $0$ och löser ekvationen.

f^{'} (x) = 2 x^{3} + x^{2} - 6 x

Substitute

$f^{'} (x) = 0$

0 = 2 x^{3} + x^{2} - 6 x

RearrangeEqn

Omarrangera ekvation

2 x^{3} + x^{2} - 6 x = 0

FactorOut

Bryt ut $x$

x (2 x^{2} + x - 6) = 0

ZeroProdProp

Använd nollproduktmetoden

x = 0 2 x^{2} + x - 6 = 0

Den första ekvationen ger direkt ett av derivatans nollställen, $x = 0,$ och den andra ekvationen kan lösas med $p q$ -formeln. Den måste dock skrivas om på $p q$ -form först.

2 x^{2} + x - 6 = 0

DivEqn

$VL / 2 = HL / 2$

x^{2} + 0.5 x - 3 = 0

UsePQ

Använd $p q$ -formeln: $p = 0.5, q = - 3$

x = - \frac{0 . 5}{2} \pm (\frac{0 . 5}{2})^{2} - (- 3)

CalcQuot

Beräkna kvot

x = - 0.25 \pm 0.2 5^{2} - (- 3)

CalcPow

Beräkna potens

x = - 0.25 \pm 0.0625 - (- 3)

SubNeg

$a - (- b) = a + b$

x = - 0.25 \pm 0.0625 + 3

AddTerms

Förenkla termer

x = - 0.25 \pm 3.0625

CalcRoot

Beräkna rot

x = - 0.25 \pm 1.75

StateSol

Ange lösningar

x_{1} = - 2 x_{2} = 1.5

Övriga nollställen till derivatan är $x = - 2$ och $x = 1.5 .$ Funktionen har alltså stationära punkter där $x$ är $- 2,$ $0$ och $1.5 .$

Markera de stationära punkterna i ett koordinatsystem

Genom att sätta in respektive $x$ -värde i funktionen bestämmer man de stationära punkternas $y$ -värden.

$x$	$0.5 x^{4} + \frac{x ^{3}}{3} - 3 x^{2}$	$f (x)$
$- 2$	$0.5 \cdot (- 2)^{4} + \frac{( - 2 ) ^{3}}{3} - 3 \cdot (- 2)^{2}$	$\sim - 6.7$
$0$	$0.5 \cdot 0^{4} + \frac{0 ^{3}}{3} - 3 \cdot 0^{2}$	$0$
$1.5$	$0.5 \cdot 1.5^{4} + \frac{1 . 5 ^{3}}{3} - 3 \cdot 1.5^{2}$	$\sim - 3.1$

De tre stationära punkterna har alltså de ungefärliga koordinaterna $(- 2, - 6.7),$ $(0, 0)$ och $(1.5, - 3.1) .$ Första steget i att skissa grafen till funktionen är att markera dessa punkter i ett koordinatsystem.

Avgör de stationära punkternas karaktär med andraderivatan

För att avgöra vilken karaktär de stationära punkterna har kan man undersöka andraderivatans tecken i punkterna. Då måste man först bestämma funktionens andraderivata genom att derivera ytterligare en gång.

f^{'} (x) = 2 x^{3} + x^{2} - 6 x

Derive

Derivera funktion

f^{''} (x) = D (2 x^{3}) + D (x^{2}) - D (6 x)

DeriveMonomCo

$D (a x^{n}) = a \cdot n x^{n - 1}$

f^{''} (x) = 6 x^{2} + D (x^{2}) - D (6 x)

DeriveMonom

$D (x^{n}) = n x^{n - 1}$

f^{''} (x) = 6 x^{2} + 2 x - D (6 x)

DeriveXCo

$D (a x) = a$

f^{''} (x) = 6 x^{2} + 2 x - 6

Andraderivatan är alltså

f^{''} (x) = 6 x^{2} + 2 x - 6,

och genom att sätta in

x

-värdena från respektive stationär punkt beräknas andraderivatan i dem.

$x$	$6 x^{2} + 2 x - 6$	$f^{''} (x)$	Tecken
$- 2$	$6 (- 2)^{2} + 2 (- 2) - 6$	$14$	$+$
$0$	$6 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0 - 6$	$- 6$	$-$
$1.5$	$6 \cdot 1.5^{2} + 2 \cdot 1.5 - 6$	$10.5$	$+$

I två av punkterna, där $x$ är $- 2$ och $1.5$ , ser man att andraderivatan är positiv. Det innebär att dessa är minimipunkter. Den stationära punkten i $x = 0$ är istället en maximipunkt eftersom andraderivatan är negativ där. Detta markeras i koordinatsystemet.

Notera att om andraderivatan blir $0$ för något $x$ -värde så vet man inte vilken karaktär den stationära punkten har utan man måste undersöka det med teckentabell.

Bestäm eventuellt fler punkter på grafen

Grafen kommer inte att vända på några fler ställen än i de stationära punkterna, men för att få en bättre idé om grafens form kan det behövas fler punkter. Funktionens nollställen, om det finns några sådana, brukar vara av intresse och man hittar dem genom att lösa ekvationen

f (x) = 0 .

Man kan dock välja vilka

x

-värden som helst och beräkna motsvarande

y

-värden.

f (x) = 0.5 x^{4} + \frac{x ^{3}}{3} - 3 x^{2}

Substitute

$f (x) = 0$

0 = 0.5 x^{4} + \frac{x ^{3}}{3} - 3 x^{2}

RearrangeEqn

Omarrangera ekvation

0.5 x^{4} + \frac{x ^{3}}{3} - 3 x^{2} = 0

FactorOut

Bryt ut $x^{2}$

x^{2} (0.5 x^{2} + \frac{x}{3} - 3) = 0

ZeroProdProp

Använd nollproduktmetoden

x^{2} = 0 0.5 x^{2} + \frac{x}{3} - 3 = 0 (I) (II)

SqrtEqn

$(I):$ $VL = HL$

x = \pm 0 0.5 x^{2} + \frac{x}{3} - 3 = 0

CalcRoot

$(I):$ Beräkna rot

x = 0 0.5 x^{2} + \frac{x}{3} - 3 = 0

Funktionen skär alltså

x

-axeln vid

x = 0 .

Övriga nollställen får man genom att lösa den andra ekvationen, t.ex. genom att skriva den på

p q

-form och lösa med

p q

-formeln.

0.5 x^{2} + \frac{x}{3} - 3 = 0

MultEqn

$VL \cdot 2 = HL \cdot 2$

x^{2} + \frac{2}{3} \cdot x - 6 = 0

UsePQ

Använd $p q$ -formeln: $p = \frac{2}{3}, q = - 6$

x = - \frac{2 / 3}{2} \pm (\frac{2 / 3}{2})^{2} - (- 6)

DivFracD

$\frac{a / c}{b} = \frac{a}{b \cdot c}$

x = - \frac{2}{6} \pm (\frac{2}{6})^{2} - (- 6)

ReduceFrac

Förkorta med $2$

x = - \frac{1}{3} \pm (\frac{1}{3})^{2} - (- 6)

SubNeg

$a - (- b) = a + b$

x = - \frac{1}{3} \pm (\frac{1}{3})^{2} + 6

StateSol

Ange lösningar

x_{1} = - \frac{1}{3} - (\frac{1}{3})^{2} + 6 x_{2} = - \frac{1}{3} + (\frac{1}{3})^{2} + 6

UseCalc

Slå in på räknare

x_{1} = - 2.80539 \dots x_{2} = 2.13873 \dots

Funktionen kommer alltså skära

x

-axeln där

x

är

0,

- 2.8

och ca

2.1,

vilket nu kan markeras i koordinatsystemet.

Skissa grafen

Till sist kopplas punkterna samman med en kurva. För funktionen $f (x) = 0.5 x^{4} + \frac{x ^{3}}{3} - 3 x^{2}$ ser den skissade grafen ut på följande sätt.

Skissa grafen utifrån teckentabellen

fullscreen

Skissa grafen till funktionen $f (x)$ med hjälp av teckentabellen.

$x$		$- 4$		$- 1$		$2$
$f^{'} (x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$-$
$f (x)$	$↘$	$- 27$	$↗$	$20$	$↘$	$6$	$↘$

Visa Lösning

Vi bestämmer först storleken på koordinatsystemet. Vi har givna intressanta punkter från $x = - 4$ till $x = 2,$ men vi vill också kunna se hur grafen beter sig till vänster och höger om dessa. Då kan man t.ex. välja att rita $x$ -axeln från $- 6$ till $6 .$ Med samma resonemang kan vi välja $y$ -axeln från $- 30$ till $30$ eftersom $y$ -värdena sträcker sig från $- 27$ till $20 .$

Sedan färdigställer vi teckentabellen. En positiv derivata betyder växande funktion och negativ derivata innebär avtagande funktion.

$x$		$- 4$		$- 1$		$2$
$f^{'} (x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$-$
$f (x)$	$↘$	$- 27$	$↗$	$20$	$↘$	$6$	$↘$

Funktionen har alltså en minimipunkt i $(- 4, - 27),$ en maximipunkt i $(- 1, 20)$ och en terrasspunkt i $(2, 6) .$ Vi ritar ut punkterna och "skissar karaktären" för grafen runt punkten.

Eftersom vi inte har något funktionsuttryck kan vi inte ta reda på någon mer information om grafen, som funktionens nollställen eller skärningspunkt med $y$ -axeln, så vi får gissa oss fram till ungefär hur den ser ut i övrigt när vi kopplar samman punkterna.

Skissa grafen med derivata

fullscreen

Skissa grafen till $f (x) = 0.2 x^{3} + 4$ med derivata.

Visa Lösning

Vi följer metoden för att skissa en graf med hjälp av derivata.

Derivera funktionen

Första steget är att derivera funktionen.

f (x) = 0.2 x^{3} + 4

Derive

Derivera funktion

f^{'} (x) = D (0.2 x^{3}) + D (4)

DeriveMonomCo

$D (a x^{n}) = a \cdot n x^{n - 1}$

f^{'} (x) = 0.6 x^{2} + D (4)

DeriveConst

$D (a) = 0$

f^{'} (x) = 0.6 x^{2}

Bestäm derivatans nollställen

För att hitta funktionens stationära punkter sätter vi derivatan lika med

0

och löser ekvationen.

f^{'} (x) = 0.6 x^{2}

Substitute

$f^{'} (x) = 0$

0 = 0.6 x^{2}

RearrangeEqn

Omarrangera ekvation

0.6 x^{2} = 0

DivEqn

$VL / 0.6 = HL / 0.6$

x^{2} = 0

SqrtEqn

$VL = HL$

x^{2} = \pm 0

CalcRoot

Beräkna rot

x = 0

Derivatan har en dubbelrot i

x = 0 .

I punkten med detta

x

-värde har funktionen alltså en stationär punkt.

Markera de stationära punkterna i ett koordinatsystem

Vi bestämmer

y

-koordinaten för den stationära punkten genom att sätta in

x = 0

i funktionen

f (x) .

f (x) = 0.2 x^{3} + 4

Substitute

$x = 0$

f (0) = 0.2 \cdot 0^{3} + 4

CalcPow

Beräkna potens

f (0) = 0.2 \cdot 0 + 4

Multiply

Multiplicera faktorer

f (0) = 0 + 4

AddTerms

Förenkla termer

f (0) = 4

Funktionen har en stationär punkt med koordinaterna

(0, 4) .

Vi markerar denna punkt i ett koordinatsystem.

Avgör de stationära punkternas karaktär med andraderivatan

För att avgöra vilken typ av stationär punkt vi har hittat bestämmer vi andraderivatans tecken i punkten. Vi börjar med att ta fram funktionens andraderivata genom att derivera förstaderivatan.

f^{'} (x) = 0.6 x^{2}

Derive

Derivera funktion

f^{''} (x) = D (0.6 x^{2})

DeriveMonomCo

$D (a x^{n}) = a \cdot n x^{n - 1}$

f^{''} (x) = 1.2 x

Vi sätter nu in

x

-värdet

0

f^{''} (x)

för att avgöra andraderivatans tecken i punkten.

f^{''} (x) = 1.2 x

Substitute

$x = 0$

f^{''} (0) = 1.2 \cdot 0

Multiply

Multiplicera faktorer

f^{''} (0) = 0

Andraderivatan är lika med

0

i den stationära punkten. Det innebär att vi inte kan veta vilken typ av stationär punkt det är utan vi behöver undersöka det med en teckentabell. Vi undersöker förstaderivatans tecken för ett

x

-värde som är mindre respektive större än

0 .

Vi kan t.ex. välja

x = - 1

och

x = 1 .

$x$	$0.6 x^{2}$	$f^{'} (x)$	Tecken
$- 1$	$0.6 \cdot (- 1)^{2}$	$0.6$	$+$
$1$	$0.6 \cdot 1^{2}$	$0.6$	$+$

Derivatan är positiv både till vänster och höger om $x = 0 .$ Vi fyller i detta i en teckentabell och skriver samtidigt in hur funktionen ser ut.

$x$		$0$
$f^{'} (x)$	$+$	$0$	$+$
$f (x)$	$↗$	Ter.	$↗$

Vi kan konstatera att den stationära punkten måste vara en terrasspunkt eftersom grafen har positiv lutning på båda sidor om den, och markerar detta i koordinatsystemet.

Bestäm eventuellt fler punkter på grafen

Vi vet nu ungefär hur grafen kommer att se ut runt terrasspunkten, men för att få en bättre idé om hur den ser ut på andra ställen undersöker vi också var den skär $x$ -axeln. För att ta reda på det bestämmer vi funktionens nollställe genom att likställa $f (x)$ med $0$ och lösa ekvationen.

f (x) = 0.2 x^{3} + 4

Substitute

$f (x) = 0$

0 = 0.2 x^{3} + 4

RearrangeEqn

Omarrangera ekvation

0.2 x^{3} + 4 = 0

DivEqn

$VL / 0.2 = HL / 0.2$

x^{3} + 20 = 0

SubEqn

$VL - 20 = HL - 20$

x^{3} = - 20

RadicalEqn

$3 VL = 3 HL$

x = - 2.71441 \dots

Funktionen skär alltså $x$ -axeln där $x$ är ca $- 2.7 .$ Vi markerar detta i koordinatsystemet.

Skissa grafen

Till sist skissar vi grafen till funktionen $f (x) = 0.2 x^{3} + 4,$ dvs. en kurva som har terrasspunkt i $(0, 4)$ och som skär $x$ -axeln i ca $(- 2.7, 0) .$

{{ article.displayTitle }}

Skissa en graf med första- och andraderivata

Exempel

Skissa grafen utifrån teckentabellen

Exempel

Skissa grafen med derivata

Derivera funktionen

Bestäm derivatans nollställen

Markera de stationära punkterna i ett koordinatsystem

Avgör de stationära punkternas karaktär med andraderivatan

Bestäm eventuellt fler punkter på grafen

Skissa grafen

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}