body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Rekommenderade

Tester

Ett fel uppstod, försök igen senare!

eKurser /

( Ma 1a , Ma 2b , Ma 2c ) /

Kapitel {{ article.chapter.number }}

{{ article.number }}.

Visa mindre Visa mer

Inställningar & verktyg för lektion

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

Kreditlista Bilder

{{ item.file.title }}
{{ presentation }}

Inga inlägg om filrättigheter hittades

Videolektion

Mathleaks

Minispelare aktiv

Värden från en undersökning kan fördela sig på olika sätt – de kan t.ex. ligga centrerade runt medelvärdet eller långt ifrån det. Detta illustreras av de två mängderna nedan, som båda har medelvärdet, medianen och typvärdet $3,$ men där värdena i den nedre är betydligt mer utspridda.

Ett lägesmått säger något om var tyngdpunkten ligger, men inte om hur mätvärdena sprider ut sig. Då använder man istället spridningsmått, t.ex. standardavvikelse och variationsbredd.

Koncept

Variationsbredd

Variationsbredd är ett spridningsmått som mäter skillnaden mellan det högsta och det lägsta värdet i datamängden.

Random data sets with maximum, minimum highlighted and the range calculated.

Om man har gjort en undersökning och fått en samling mätvärden kan det vara svårt att säga något om det man har undersökt bara genom att titta på alla dessa värden. Då kan det vara bra att använda läges- och spridningsmått. Ett lägesmått sammanfattar alla mätvärden med ett enda representativt värde medan spridningsmått anger hur mätvärdena är spridda kring detta värde.

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Medelvärde
Median
Typvärde

Teori

Medelvärde

Medelvärdet, eller genomsnittet, av en numerisk datamängd är ett av centralmåtten. Det definieras som summan av alla datavärden i en mängd dividerat med antalet värden i mängden.

$Medelv \ddot{a} rde = \frac{Summan av v a ¨ rden}{Antal v a ¨ rden}$

Följande program beräknar medelvärdet av datamängden på tallinjen. Punkter kan flyttas för att ändra datavärdena.

Interaktiv graf som visar hur värdet på medelvärdet förändras när datapunkterna ändras.

Medelvärdet av en uppsättning

x_{1},

x_{2},

\dots,

x_{n}

betecknas vanligtvis som

\overline{x} .

\overline{x} = \frac{x _{1} + x _{2} + \dots + x _{n}}{n}

Teori

Median

Medianen är ett lägesmått som ligger i mitten av en numerisk datamängd när datamängden är skriven i numerisk ordning. När datamängden har ett udda antal datapunkter är medianen värdet i mitten.

Men när datamängden har ett jämnt antal datapunkter är medianen medelvärdet av de två mellersta värdena.

Slumpmässig datamängd med 10 element, medianen är markerad

Teori

Typvärde

Typvärdet är ett centralmått som visar det vanligaste värdet eller värdena i en datamängd. Typvärden kan användas för både numeriska och kategoriska data.

En datamängd kan ha mer än ett typvärde om två eller fler datavärden är lika vanliga. Om alla värden i mängden dock förekommer endast en gång, så har datamängden inget typvärde.

Exempel

Bestäm medelvärdet, medianen och typvärdet

a Bestäm medelvärdet för följande datamängd.

9, 5, 7, 2, 5, 4, 9, 8, 9, 1

b Bestäm medianen för följande datamängd.

9, 5, 7, 2, 5, 4, 9, 8, 9, 1

c Bestäm typvärdet för följande datamängd.

9, 5, 7, 2, 5, 4, 9, 8, 9, 1

Ledtråd

a Medelvärdet, det definieras som summan av alla datavärden i en mängd dividerat med antalet värden i mängden.

b Medianen är ett lägesmått som ligger i mitten av en numerisk datamängd när datamängden är skriven i numerisk ordning.

c Typvärdet är ett centralmått som visar det vanligaste värdet eller värdena i en datamängd.

Lösning

a För att beräkna medelvärdet adderar vi först alla värden och delar sedan med antalet värden, vilket i det här fallet är

10 .

\overset{x}{ˉ} = \frac{9 + 5 + 7 + 2 + 5 + 4 + 9 + 8 + 9 + 1}{1 0}

AddTerms

Addera termer

\overset{x}{ˉ} = \frac{5 9}{1 0}

CalcQuot

Beräkna kvot

\overset{x}{ˉ} = 5, 9

Medelvärdet är

5, 9 .

b För att bestämma medianen måste vi först skriva värdena i storleksordning:

1, 2, 4, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9 .

Medianen är mittenvärdet av datamängden men eftersom det finns ett jämnt antal tal finns det inget enskilt mittental. Medianen blir istället medelvärdet av de två mittersta talen, dvs.

5

och

7 :

Median = \frac{5 + 7}{2} = 6 .

Medianen är

6 .

c Typvärdet är det värde som är vanligast i datamängden. I det här fallet är det

9,

som förekommer tre gånger.

Exempel

Vilket lägesmått passar bäst?

En lärare ska ställa några frågor till sin lågstadieklass. Vilket eller vilka lägesmått är lämpligast för att presentera resultatet?

a Vilken är din favoritfärg?

b Hur långt har du till skolan?

c Hur gammal är du?

Svar

a Typvärdet

b Se lösning.

c Se lösning.

Ledtråd

a Kom ihåg definitionen av medelvärde, median och typvärde.

b Kom ihåg definitionen av medelvärde, median och typvärde.

c Kom ihåg definitionen av medelvärde, median och typvärde.

Lösning

a Eftersom svaren inte är tal går det inte att beräkna något medelvärde eller median. Det enda lägesmått man kan ange är typvärdet.

b Det är inte säkert att typvärdet kommer att säga något, eftersom alla sannolikt kommer ange lite olika svar. Medelvärdet är förmodligen lämpligast, om inte någon har en ovanligt lång eller kort resa till skolan. I så fall kan median vara ett bättre lägesmått.

c Förmodligen kommer de flesta vara födda samma år, så två åldrar kommer vara vanligast. Ett medelvärde kan då vara lämpligt eftersom det hamnar någonstans mellan dessa. Om läraren, som är mycket äldre än eleverna, skulle ingå som observation förskjuter det dock medelvärdet uppåt, och då passar median eller typvärde bättre.

Övning

Öva på att hitta lägesmått

Mått som medelvärde, median, och typvärde är väsentliga för att förstå den centrala tendensen i en datamängd. Hitta det angivna måttet för den givna datamängden. Om svaret inte är ett heltal, avrunda det till en decimal.

En applet som ber om ett centralmått för en given datamängd.

Teori

Variationsbredd

Lägesmått som medelvärde och median fungerar bra för att hitta ett värde som är representativt för en hel samling mätvärden. De säger dock inget om hur mätvärden är spridda kring detta värde. Alla ligger kanske nära medelvärdet eller så kan de vara väldigt utspridda. För att beskriva spridningen använder man spridningsmått, t.ex. variationsbredd.

$Variationsbredd = St \ddot{o} rsta v \ddot{a} rde - Minsta v \ddot{a} rde$

Variationsbredden är alltså den största skillnaden mellan olika mätvärden, och man får det genom att subtrahera det minsta värdet man fick i undersökningen från det största värdet. Det ger en idé om hur stort spann värdena sträcker sig över. Får man t.ex. en stor variationsbredd vet man att det finns värden som skiljer sig mycket från medelvärdet.

Exempel

Vad är variationsbredden?

Damernas längdhoppsfinal i OS

2016

fick följande resultat. Längderna är i meter.

6, 957, 157, 086, 796, 746, 81 .

Vad är variationsbredden?

Ledtråd

Tänk på skillnaden mellan det största och det minsta värdet i en datamängd.

Lösning

Variationsbredden är skillnaden mellan största och minsta värdet. Vi börjar med att identifiera dessa i datamängden.

Det längsta hoppet var

7, 15

meter och det kortaste var

6, 74

meter. Det ger variationsbredden

7, 15 - 6, 74 = 0, 41 meter .

Regel

Standardavvikelse

Standardavvikelse är ett av de vanligare spridningsmåtten och kan något förenklat ses som den genomsnittliga skillnaden från medelvärdet. För ett stickprov betecknas den $s .$ Ett litet värde på $s$ innebär att mätvärdena är samlade nära medelvärdet och ett större $s$ betyder att de är mer utspridda.

$s = \frac{( x _{1} - x ˉ ) ^{2} + ( x _{2} - x ˉ ) ^{2} + \dots + ( x _{n} - x ˉ ) ^{2}}{n - 1}$

$\overset{x}{ˉ}$ är stickprovets medelvärde, $x$ :en med index $1, 2, 3$ osv. är de enskilda mätvärdena och $n$ är antalet mätvärden. Varje parentes står alltså för skillnaden mellan ett mätvärde och medelvärdet. I figuren visas skillnaderna $- 2$ och $3$ mellan medelvärdet $\overset{x}{ˉ}$ och två värden $x_{1}$ och $x_{2} .$

Tallinje med avstånd mellan medelvärdet och två andra värden

För att använda formeln kan man dela upp beräkningarna i steg.

Beräkna medelvärdet, $\overset{x}{ˉ} .$
Beräkna skillnaderna $(x_{1} - \overset{x}{ˉ}),$ $(x_{2} - \overset{x}{ˉ})$ osv., kvadrera och summera dem.
Sätt in summan i formeln tillsammans med antal värden $n,$ och dra kvadratroten ur allt.

Det blir snabbt väldigt tidsödande att beräkna standardavvikelser när antalet värden ökar, så ofta är det praktiskt att göra beräkningarna med hjälp av en dator eller räknare.

Vad är standardavvikelsen?

fullscreen

Laget "Friska fläktar" har tävlat i en femkamp där varje lagmedlem kan samla ihop mellan

0

och

5

poäng till laget. De fem lagmedlemmarna har fått följande resultat:

0, 1, 4, 5, 5 .

Bestäm lagets medelpoäng och standardavvikelse utan räknarens inbyggda statistikverktyg.

Visa Lösning

För att beräkna standardavvikelsen måste vi först beräkna medelvärdet:

\overset{x}{ˉ} = \frac{0 + 1 + 4 + 5 + 5}{5} = 3 .

När vi vet medelvärdet subtraherar vi varje poäng från medelvärdet, kvadrera resultatet och summerar kvadraterna. I formeln för standardavvikelse motsvarar detta att beräkna täljaren

(x_{1} - \overset{x}{ˉ})^{2} + (x_{2} - \overset{x}{ˉ})^{2} + \dots + (x_{n} - \overset{x}{ˉ})^{2} .

De olika

x

:en står i vårt fall för de olika poängen. Vi låter

x_{1} = 0,

x_{2} = 1,

x_{3} = 4,

x_{4} = 5

och

x_{5} = 5 .

(x_{1} - \overset{x}{ˉ})^{2} + (x_{2} - \overset{x}{ˉ})^{2} + \dots + (x_{n} - \overset{x}{ˉ})^{2}

Substitute

$\overset{x}{ˉ} = 3$

(x_{1} - 3)^{2} + (x_{2} - 3)^{2} + (x_{3} - 3)^{2} + (x_{4} - 3)^{2} + (x_{5} - 3)^{2}

SubstituteValues

Sätt in värden

(0 - 3)^{2} + (1 - 3)^{2} + (4 - 3)^{2} + (5 - 3)^{2} + (5 - 3)^{2}

SubTerms

Subtrahera termer

(- 3)^{2} + (- 2)^{2} + 1^{2} + 2^{2} + 2^{2}

CalcPow

Beräkna potens

9 + 4 + 1 + 4 + 4

AddTerms

Addera termer

22

Nu slutför vi beräkningen genom att sätta in

22

i täljaren i formeln. Antal värden

n

är 5 st. Glöm inte att vänta med att dra roten ur till sist.

s = \frac{( x _{1} - x ˉ ) ^{2} + ( x _{2} - x ˉ ) ^{2} + \dots + ( x _{n} - x ˉ ) ^{2}}{n - 1}

SubstituteValues

Sätt in värden

s = \frac{2 2}{5 - 1}

SubTerm

Subtrahera term

s = \frac{2 2}{4}

UseCalc

Slå in på räknare

s = 2.34520 \dots

RoundDec

Avrunda till $1$ decimal(er)

s = 2.3

Friska fläktars medelpoäng var $3$ poäng och deras standardavvikelse var $2.3$ poäng. Det sista kan vi tolka som att den genomsnittliga skillnaden från medelpoängen var $2.3 .$

Digitala verktyg

Beräkna standardavvikelse med räknare

För att bestämma standardavvikelse för en datamängd med räknaren måste man först spara värdena i en lista. På räknaren trycker man på knappen STAT och därefter väljer man Edit.

Observationerna skrivs in i någon av listorna.

När man sparat värdena trycker man på STAT igen och byter till CALC-menyn med piltangenterna. Välj därefter det första alternativet i listan, dvs. 1-Var Stats.

Genom att trycka på ENTER igen bestämmer räknaren bl.a. standardavvikelsen för datamängden. Om man sparat värdena i någon annan lista, t.ex. L3, väljer man den genom att trycka 2nd + 3 innan man trycker på ENTER igen.

Standardavvikelsen för stickprov är det fjärde värdet i listan, dvs.

S x = 31.6227766 .

Om standaravvikelsen beräknas för en hel population använder man listans femte värde, dvs.

σ x = 28.28427125 .

Laddar innehåll

{{ article.displayTitle }}

Förkunskaper

Ledtråd

Lösning

Svar

Ledtråd

Lösning

Ledtråd

Lösning

Exempel

Vad är standardavvikelsen?