body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Rekommenderade

Tester

Ett fel uppstod, försök igen senare!

eKurser /

( Ma 1b , Ma 1c ) /

Kapitel {{ article.chapter.number }}

{{ article.number }}.

Visa mindre Visa mer

Inställningar & verktyg för lektion

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

Kreditlista Bilder

{{ item.file.title }}
{{ presentation }}

Inga inlägg om filrättigheter hittades

En talföljd är en ändlig eller oändlig följd av tal. Talen som utgör följden kallas för dess element. Ett exempel på en talföljd är

1, 4, 7, 10, 13, \dots

där punkterna på slutet innebär att den fortsätter oändligt långt. Talföljden ovan har en konstant steglängd, vilket innebär att differensen mellan två intilliggande element är lika stor. Detta kallas för en aritmetisk talföljd. Ett annat exempel är en geometrisk talföljd, där elementen istället ökar med en konstant faktor.

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Talföljd
Mönster
Mönster till formel

Teori

Talföljd

En talserie är en följd av tal som är ordnade enligt en viss regel. Varje tal i serien kallas en term. Till exempel kan vi titta på en talserie där varje tal är $2$ större än det föregående.

Aritmetisk sekvens: 2, 4, 6, 8, 10... med en gemensam skillnad på 2.

Här är skillnaden mellan den första och andra termen samma som skillnaden mellan den andra och tredje, och så vidare. Denna skillnad kallas för den gemensamma differensen i talserien. Den gemensamma differensen kan också vara negativ. Titta på följande sekvens där värdena minskar:

Aritmetisk sekvens: 54, 51, 48, 45, 42, ... med en gemensam skillnad på -3.

Beroende på antalet termer kan en talserie vara ändlig eller oändlig. Eftersom det inte är möjligt att lista alla element i en oändlig serie är det vanligt att sätta tre punkter efter några termer för att indikera att serien fortsätter oändligt baserat på ett specifikt mönster.

Mönstret i en sekvens är viktigt för att förstå hur den fungerar och vilka egenskaper den har. Därför brukar man ofta gruppera sekvenser efter vilket mönster de följer. Två vanliga typer av sekvenser är aritmetiska sekvenser och geometriska sekvenser.

Teori

Mönster

Ett mönster beskriver en upprepad förändring av till exempel tal, former, färger eller händelser. Mönster bygger på särskilda samband, och de sambanden kan hjälpa oss att hitta vad som saknas i mönstret. I exemplet nedan har tändstickor använts för att bygga tre olika figurer.

Går det att se ett mönster? Lägg märke till att antalet trianglar ökar med en för varje ny figur. Därför borde nästa figur i mönstret ha $4$ trianglar.

Den fjärde figuren i mönstret består av 4 trianglar.

Det finns också ett mönster i antalet tändstickor. För varje steg ökar antalet med $2$ tändstickor. Den första figuren har $3$ tändstickor, den andra har $5,$ den tredje har $7,$ och så vidare. Lägg märke till att skillnaden mellan två intilliggande figurer alltid är $2$ tändstickor.

En tabell som visar figurnummer och antal tändstickor, där antalet tändstickor ökar med $2$ för varje figur.

Antalet tändstickor i de senare figurerna kan beräknas med hjälp av mönstret.

3, 5, 7, 9, 11, 13, \dots

Mönster används också för att beskriva talföljder och serier. Till exempel bildar antalet tändstickor i den här sekvensen en aritmetisk talföljd.

Övning

Att bestämma de nästkommande talen i ett mönster

Applikationen nedan visar fem tal som följer ett visst mönster. Hitta de nästa två talen som passar in i mönstret.

Interaktiv applikation som visar olika oändliga sekvenser

Teori

Mönster till formel

Elementen i en talföljd numreras med platsnummer, $n,$ där $n$ är positiva heltal $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ osv. Elementen betecknas $a_{n}$ och beror på platsnumret: Första elementet brukar betecknas $a_{1},$ andra $a_{2},$ tredje $a_{3}$ osv.

En sekvens av termer a_1, a_2, a_3 och den okända nästa term med deras nummer i sekvensen som 1, 2, 3, och så vidare

Talföljder kan oftast beskrivas med en formel som beror på platsnumren. Formeln för en aritmetisk talföljd bestäms genom att undersöka startelementet $a_{1}$ och steglängden $d$ mellan elementen.

Namnen på delar av aritmetisk sekvensformel

Talföljden

3, 5, 7, 9, \dots

börjar på

a_{1} = 3

och ökar med

2

för varje element, dvs.

d = 2 .

Talföljden kan då beskrivas med formeln

a_{n} = 3 + (n - 1) \cdot 2,

som kan förenklas till

a_{n} = 1 + 2 n,

2 : an

multipliceras in i parentesen. Med formeln kan man bestämma ett godtyckligt tal,

a_{n},

i talföljden. Sätter man exempelvis in platsnumret

n = 5

i formeln får man ut vilket det femte elementet är.

Exempel

Vad är det $n$ :te elementet i talföljden?

Beräkna det femte elementet i talföljden

a_{n} = 3 n - 1 .

Ledtråd

Ersätt $n = 5$ i den givna formeln.

Lösning

För att beräkna det femte elementet sätter vi in

n = 5

i formeln och förenklar HL.

a_{n} = 3 n - 1

Substitute

$n = 5$

a_{5} = 3 \cdot 5 - 1

Multiply

Multiplicera faktorer

a_{5} = 15 - 1

SubTerm

Subtrahera term

a_{5} = 14

Det femte elementet är

14 .

Exempel

Vad är talföljdens formel?

Ställ upp en formel för talföljden

2, 7, 12, 17, 22, \dots

Ledtråd

Använd formeln för en aritmetisk talföljd.

Lösning

Skillnaden mellan varje element är

5

vilket betyder att vi har en aritmetisk talföljd. För att bestämma ett godtyckligt element i en aritmetisk talföljd kan man använda formeln

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d

där

a_{1}

är första element,

d

är steglängden och

n

är platsnumret. Vi sätter in första värdet

2

och steglängden

5

i formeln och förenklar.

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d

SubstituteII

$a_{1} = 2$ och $d = 5$

a_{n} = 2 + (n - 1) \cdot 5

Distr

Multiplicera in $5$

a_{n} = 2 + n \cdot 5 - 1 \cdot 5

Multiply

Multiplicera faktorer

a_{n} = 2 + 5 n - 5

SimpTerms

Förenkla termer

a_{n} = 5 n - 3

Talföljdens element kan beräknas med formeln

a_{n} = 5 n - 3 .

Övning

Hitta $n : e$ termen för en aritmetisk sekvens

Följande applet visar de första fem termerna i en oändlig aritmetisk sekvens. Bestäm den explicita regeln för sekvensen och använd den för att hitta den angivna termen.

Interaktiv applet som visar olika oändliga följder

Övning

Att hitta det $n : te$ termen i en aritmetisk följd av figurer

Följande applet visar de första fem termerna i en oändlig aritmetisk sekvens av figurer. Bestäm den explicita regeln för sekvensen och använd den för att hitta den angivna termen.

Laddar innehåll

{{ article.displayTitle }}

Förkunskaper

Ledtråd

Lösning

Ledtråd

Lösning