body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

{{ 'ml-label-loading-course' | message }}

{{ toc.name }}

{{ toc.signature }}

{{ tocHeader }} {{ 'ml-btn-view-details' | message }}

{{ tocSubheader }}

{{ 'ml-toc-proceed-mlc' | message }}

{{ 'ml-toc-proceed-tbs' | message }}

Ett fel uppstod, försök igen senare!

Kapitel {{ article.chapter.number }}

{{ article.number }}.

{{ article.displayTitle }}

{{ article.intro.summary }}

Visa mindre Visa mer

{{ ability.displayTitle }}

Inställningar & verktyg för lektion

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

Kreditlista Bilder

{{ item.file.title }}
{{ presentation }}

Inga inlägg om filrättigheter hittades

Videolektion

Mathleaks

Mathleaks

Minispelare aktiv

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Andragradsfunktioner som modeller
Bestäm extrempunkt för andragradsfunktion

Förkunskaper

$P q -$ formeln
Parabel
Maximipunkt
Minimipunkt
Extrempunkt
Extremvärde

Koncept

Andragradsfunktioner som modeller

Andragradsfunktioner kan beskriva många saker i verkligheten, t.ex. en kastparabel som visar banan för en kula som stöts.

Det kan därför vara intressant att undersöka hur några av andragradskurvans egenskaper kan tolkas i en verklig situation.

Kurvans extremvärde

En andragradskurvas högsta eller lägsta punkt kallas för extrempunkt. Där antar funktionen sitt extremvärde, dvs. sitt största eller minsta $y$ -värde. Detta kan t.ex. representera den högsta höjden över marken för kulan som kastas.

Shotputter i koordsys.svg

Skärningspunkten med $y -$ axeln

Kurvans skärningspunkt med $y -$ axeln tolkas ofta som kaströrelsens början, och kan därför avläsas som starthöjden över marken när kulan kastas.

Shotputter i koordsys skärn yaxel.svg

Eventuella nollställen

Grafens ena nollställe representerar ofta den punkt då det som färdas slår i marken, vilket gör det möjligt att beräkna hur långt kastet är.

Shotputter i koordsys nollställe.svg

Metod

Bestäm extrempunkt för en andragradsfunktion

För att hitta extrempunkten för en andragradsfunktion, t.ex.

f (x) = x^{2} - 12 x + 37,

använder man att den punkten alltid ligger på symmetrilinjen.

1

Bestäm symmetrilinjen för funktionen

Med valfri metod hittar man först symmetrilinjen till andragradsfunktionen. Man kan t.ex. sätta funktionsuttrycket lika med

0

och använda

p q -

formeln.

x^{2} - 12 x + 37 = 0

Använd $p q$ -formeln: $p = - 12, q = 37$

x = - \frac{- 1 2}{2} \pm (\frac{- 1 2}{2})^{2} - 37

Beräkna kvot

x = - (- 6) \pm (\frac{- 1 2}{2})^{2} - 37

$- (- a) = a$

x = 6 \pm (\frac{- 1 2}{2})^{2} - 37

Värdet framför rotuttrycket är

6,

så

x_{s} = 6 .

2

Sätt in

x

-värdet för symmetrilinjen i funktionen

Eftersom symmetrilinjen alltid går genom extrempunkten sätter man in

x -

värdet för den och beräknar funktionsvärdet där.

f (x) = x^{2} - 12 x + 37

$x = 6$

f (6) = 6^{2} - 12 \cdot 6 + 37

Förenkla potens & produkt

f (6) = 36 - 72 + 37

Addera och subtrahera termer

f (6) = 1

Funktionens extrempunkt är alltså

(6, 1) .

3

Avgör typ av extrempunkt

I funktionen $f (x) = x^{2} - 12 x + 37$ är $x^{2} -$ termen positiv. Grafens form blir då en glad mun, så $(6, 1)$ är en minimipunkt.

Exempel

Bestäm extrempunkten för andragradsfunktionen med hjälp av symmetrilinje

Bestäm extrempunkten till $y = 3 x^{2} + 12 x - 9$ och avgör om det är en maximi- eller minimipunkt.

Svar

$(- 2, - 21),$ minimipunkt

Ledtråd

Förenkla ekvationen till standardform och använd sedan en $p q -$ formel.

Lösning

Lösningen kommer att bestå av två delar.

Extrempunkt

För att hitta extrempunkten till funktionen kan vi använda

p q -

formeln för att först bestämma symmetrilinjen. Vi sätter funktionsuttrycket lika med

0

och skriver ekvationen på

p q -

y = 3 x^{2} + 12 x - 9

$y = 0$

0 = 3 x^{2} + 12 x - 9

$VL / 3 = HL / 3$

0 = x^{2} + 4 x - 3

Genom att använda

p q -

formeln kan vi läsa av symmetrilinjen.

x^{2} + 4 x - 3 = 0

Använd $p q$ -formeln: $p = 4, q = - 3$

x = - \frac{4}{2} \pm (\frac{4}{2})^{2} - (- 3)

Beräkna kvot

x = - 2 \pm (\frac{4}{2})^{2} - (- 3)

Symmetrilinjen är alltså

x_{s} = - 2

vilket betyder att detta är

x -

värdet för extrempunkten. Vi sätter in det i funktionen för att bestämma

y -

koordinaten.

y = 3 x^{2} + 12 x - 9

$x = - 2$

y = 3 (- 2)^{2} + 12 (- 2) - 9

Beräkna potens

y = 3 \cdot 4 + 12 (- 2) - 9

Multiplicera faktorer

y = 12 - 24 - 9

Subtrahera termer

y = - 21

Extrempunktens

y -

värde är

- 21,

och det nås i

x = - 2 .

Extrempunkten är alltså

(- 2, - 21) .

Maximi- eller minimipunkt

Koefficienten framför

x^{2}

i funktionen

y = 3 x^{2} + 12 x - 9

är

3,

alltså positiv. Det innebär att extrempunkten

(- 2, - 21)

är en minimipunkt.

Övning

Identifierande egenskaper hos en parabel

Betrakta den givna parabeln. Identifiera dess nollställen, symmetrilinje eller $y -$ intercept.

Identifierande egenskaper hos en parabel

Digitala verktyg

Hitta extremvärde med räknare

Räknaren kan användas för att hitta extremvärden till olika typer av funktioner.

1

Skriv in funktionen på räknaren

Man börjar med att skriva in den funktion som man söker extremvärdet för i räknaren. Det gör man genom att trycka på knappen Y= och fylla i funktionen på en av raderna $Y_{1},$ $Y_{2}$ osv. För att skriva $x$ använder man knappen $X, T, θ, n .$

visa lista med funktioner på räknare

2

Rita funktionen

Efter att funktionen skrivits in på räknaren trycker man på GRAPH för att rita ut den.

visa andragradskurva på räknare

Det är viktigt att alla extrempunkter syns i fönstret. Om de inte gör det går det att ändra inställningarna för koordinatsystemet.

3

Bestäm extrempunkter

För att bestämma extrempunkter trycker man först på CALC ( $2 nd$ + TRACE) och väljer sedan minimum eller "maximum" beroende på om man söker en minimi- eller maximipunkt.

visa calculate på räknare

Kurvan visas nu igen, och för att räknaren ska kunna bestämma extrempunkten måste man ange tre punkter på kurvan.

Left Bound: Ange en punkt till vänster om extrempunkten genom att använda räknarens höger- och vänsterpilar eller genom att skriva in ett $x -$ värde med sifferknapparna. Denna punkt anger det minsta $x -$ värdet i intervallet där räknaren letar efter extrempunkten. Tryck sedan på ENTER.

Räknarfönster med graf och vänstergräns

Right Bound: Ange en punkt till höger om extrempunkten på samma sätt som tidigare och tryck sedan på ENTER. Denna punkt anger det största $x -$ värdet i intervallet där räknaren letar efter extrempunkten.

Räknarfönster med graf och högergräns

Guess: Ange till sist en punkt i närheten av extrempunkten så att räknaren har en startpunkt när den utför sin sökning. Avsluta med ENTER.

visa guess på räknare

Räknaren bestämmer nu närmevärden för extrempunktens koordinater och anger dem längst ner på skärmen.

visa minimum på räknare

För att hitta flera olika extrempunkter upprepar man proceduren.

Exempel

Tolka andragradsfunktionen

Funktionen

f (x) = 3 x - 0, 5 x^{2}

beskriver höjden på en tunnelöppning, där

x

är avståndet från tunnelöppningens vänstra hörn. Både

x

och

f (x)

är angivna i meter. Hur bred och hög är tunneln?

Ledtråd

Hitta parabelns $x -$ intercept och koordinaterna för maximipunkten.

Lösning

Tunnelns bredd och längd kommer att hittas en i taget.

Tunnelns bredd

Bredden är avståndet mellan nollställena.

Vi börjar därför med att bestämma nollställena. Det gör vi genom att likställa funktionsuttrycket med 0 och lösa ekvationen.

3 x - 0, 5 x^{2} = 0

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

x \cdot 3 - x \cdot 0, 5 x = 0

Bryt ut $x$

x (3 - 0, 5 x) = 0

Använd nollproduktmetoden

x = 0 3 - 0, 5 x = 0 (I) (II)

$(II):$ $VL + 0.5 x = HL + 0.5 x$

x = 0 3 = 0, 5 x

$(II):$ Omarrangera ekvation

x = 0 0, 5 x = 3

$(II):$ $VL \cdot 2 = HL \cdot 2$

x_{1} = 0 x_{2} = 6

De två nollställena är alltså

x = 0

och

x = 6 .

Avståndet mellan dem är

6 - 0 = 6

meter.

Tunnelns höjd

Eftersom kurvan är symmetrisk finns högsta punkten mittemellan nollställena dvs. där $x = 3 .$

Vi sätter in

x = 3

för att beräkna höjden.

f (x) = 3 x - 0, 5 x^{2}

$x = 3$

f (3) = 3 \cdot 3 - 0, 5 \cdot 3^{2}

Beräkna potens

f (3) = 3 \cdot 3 - 0, 5 \cdot 9

Multiplicera faktorer

f (3) = 9 - 4, 5

Subtrahera term

f (3) = 4, 5

Tunneln är

6

meter bred och

4, 5

meter hög.

{{ grade.displayTitle }}

Laddar innehåll