Triangelsatserna som modeller: Areasatsen, sinussatsen och cosinussatsen

Triangelsatserna är det gemensamma namnet för areasatsen, sinussatsen och cosinussatsen. Sinus- och cosinussatsen anger samband mellan vinklar och sidor i en godtycklig triangel, medan areasatsen även innefattar triangelns area.

Begrepp

Areasatsen

Enligt areasatsen är en triangels area lika med produkten av två sidor och sinusvärdet för den mellanliggande vinkeln, delat med

2 .

$Area = \frac{a b sin ( C )}{2}$

Begrepp

Sinussatsen

I en triangel är kvoten mellan sinusvärdet för en vinkel och vinkelns motstående sida konstant. Detta kallas för sinussatsen.

$\frac{sin ( A )}{a} = \frac{sin ( B )}{b} = \frac{sin ( C )}{c}$

Begrepp

Cosinussatsen

Cosinussatsen anger ett samband mellan triangelns samtliga sidor och en av vinklarna.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos (A)$

Vilken triangelsats ska användas?

fullscreen

I figuren visas två trianglar. Den blå triangeln har arean $12$ a.e.

Bestäm sidan $x$ och vinkeln $v .$ Avrunda svaren till närmaste heltal.

Visa Lösning

När man löser den här typen av problem är det bra att utgå ifrån vad man känner till och vad man söker. Utifrån detta väljer man sedan lämpliga samband eller satser.

Sidan $x$

I den blå triangeln ska vi bestämma sidan

x .

Utifrån det vi vet kan vi använda areasatsen. Vi sätter alltså in värdena i satsen och löser ut

x .

12 = \frac{x \cdot 7 sin ( 5 9 ^{\circ} )}{2}

MultEqn

$VL \cdot 2 = HL \cdot 2$

24 = x \cdot 7 sin (5 9^{\circ})

RearrangeEqn

Omarrangera ekvation

x \cdot 7 sin (5 9^{\circ}) = 24

DivEqn

$VL / 7 sin (5 9^{\circ}) = HL / 7 sin (5 9^{\circ})$

x = \frac{2 4}{7 sin ( 5 9 ^{\circ} )}

UseCalc

Slå in på räknare

x = 3.99988 \dots

RoundInt

Avrunda till närmaste heltal

x \approx 4

Längden av

x

är alltså ca 4 le.

Vinkeln $v$

Nu till den gröna triangeln. Här känner vi till triangelns samtliga sidor och söker en vinkel. Vi kan inte använda sinussatsen eftersom den kräver två vinklar, men cosinussatsen passar bra eftersom problemet innefattar just triangelns samtliga sidor och en vinkel.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos (A)

SubstituteExpressions

Sätt in uttryck

6^{2} = 8^{2} + 1 1^{2} - 2 \cdot 8 \cdot 11 cos (v)

SimpPowProd

Förenkla potens & produkt

36 = 64 + 121 - 176 cos (v)

AddTerms

Förenkla termer

36 = 185 - 176 cos (v)

AddEqn

$VL + 176 cos (v) = HL + 176 cos (v)$

36 + 176 cos (v) = 185

SubEqn

$VL - 36 = HL - 36$

176 cos (v) = 149

DivEqn

$VL / 176 = HL / 176$

cos (v) = \frac{1 4 9}{1 7 6}

ArcCosEqn

$arccos (VL) = arccos (HL)$

v = arccos (\frac{1 4 9}{1 7 6})

UseCalc

Slå in på räknare

v = 32.15720 \dots^{\circ}

RoundInt

Avrunda till närmaste heltal

v = 3 2^{\circ}

Vinkeln

v

är alltså ca

3 2^{\circ} .

Begrepp

Triangulering

Triangulering är en metod för att bestämma avstånd som är svåra eller omöjliga att mäta direkt, t.ex. för att de är väldigt stora.

Metoden går ut på att mäta vinklar och sidor som är enkla att bestämma och sedan använda trigonometri, exempelvis sinus- eller cosinussatsen, för att beräkna något sökt avstånd. Triangulering används t.ex. för att mäta höjder på byggnader, avstånd till himlakroppar och för att fastställa GPS-positioner.

Triangulera

fullscreen

Vid en viss tidpunkt förhåller sig himlakropparna $A$ - $D$ till varandra som i bilden. Det är känt att avståndet mellan himlakropparna $B$ och $C$ är 62 astronomiska enheter (AE) och att vinklarna vid $B$ och $C$ i figuren är $5 8^{\circ}$ respektive $7 3^{\circ} .$

Bestäm avståndet $x$ mellan himlakropparna $A$ och $D .$ Svara med två värdesiffror.

Visa Lösning

Vi kan börja med att bestämma den tredje vinkeln,

A,

i triangeln

A B C

med hjälp av triangelns vinkelsumma:

A = 18 0^{\circ} - 5 8^{\circ} - 7 3^{\circ} = 4 9^{\circ} .

Sedan vill vi bestämma

x,

som är katet i de två rätvinkliga trianglarna

A B D

och

A C D .

Vi kallar hypotenusan i den vänstra av dessa för

c

eftersom den är motstående till vinkeln

C .

Vi bestämmer nu $c$ så att vi därefter kan räkna ut $x$ med definitionen för sinus. Längden av $c$ beräknas med sinussatsen eftersom vi känner till vinklarna $A$ och $C$ samt längden $a .$

\frac{sin ( A )}{a} = \frac{sin ( C )}{c}

SubstituteValues

Sätt in värden

\frac{sin ( 4 9 ^{\circ} )}{6 2} = \frac{sin ( 7 3 ^{\circ} )}{c}

CrossMult

Korsmultiplicera

sin (4 9^{\circ}) \cdot c = 62 \cdot sin (7 3^{\circ})

DivEqn

$VL / sin (4 9^{\circ}) = HL / sin (4 9^{\circ})$

c = \frac{6 2 \cdot sin ( 7 3 ^{\circ} )}{sin ( 4 9 ^{\circ} )}

UseCalc

Slå in på räknare

c = 78.56120 \dots

Nu använder vi definitionen för sinus för att ställa upp uttrycket

sin (5 8^{\circ}) = \frac{x}{c},

där vi sätter in värdet på

c

och bestämmer

x .

För att undvika avrundningsfel behåller vi många decimaler för värdet på

c .

sin (5 8^{\circ}) = \frac{x}{c}

Substitute

$c = 78.56120$

sin (5 8^{\circ}) = \frac{x}{7 8 . 5 6 1 2 0}

MultEqn

$VL \cdot 78.56120 = HL \cdot 78.56120$

sin (5 8^{\circ}) \cdot 78.56120 = x

RearrangeEqn

Omarrangera ekvation

x = sin (5 8^{\circ}) \cdot 78.56120

UseCalc

Slå in på räknare

x = 66.62368 \dots

RoundSigFig

Avrunda till $2$ gällande

x \approx 67

Avståndet mellan himlakropparna

A

och

D

är alltså ca

67

AE. Om man slår upp värdet på

1

AE får man att det är ca 150 miljoner km, vilket innebär att avståndet

x

är ca

10

miljarder km.

{{ article.displayTitle }}

Areasatsen

Sinussatsen

Cosinussatsen

Exempel

Vilken triangelsats ska användas?

Sidan $x$

Vinkeln $v$

Triangulering

Exempel

Triangulera

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

{{ article.displayTitle }}

Exempel

Vilken triangelsats ska användas?

Sidan x

Vinkeln v

Exempel

Triangulera

Sidan $x$

Vinkeln $v$