Trigonometriska funktioner: Hypotenusa och katet

Många trigonometriska värden är irrationella och kan vara omständliga att räkna med, exempelvis följande.

cos (3 0^{\circ}) = 0.86602 \dots sin (4 5^{\circ}) = 0.70710 \dots tan (6 0^{\circ}) = 1.73205 \dots

Dessa vinklar är några av de så kallade standardvinklarna, för vilka man kan ta fram exakta värden och därmed göra beräkningar mer kortfattade.

Vinkel $v$	$3 0^{\circ}$	$4 5^{\circ}$	$6 0^{\circ}$
$sin (v)$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{2}$
$cos (v)$	$\frac{3}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$
$tan (v)$	$\frac{1}{3}$	$1$	$3$

Värdena i tabellen finns på formelbladet, men man kan förstå varifrån de kommer med hjälp av två typer av rätvinkliga trianglar. Den ena är en likbent triangel med hypotenusan $1$ (grön) och den andra en liksidig triangel med sidan $1,$ som halverats (blå).

Härledning

Vinklar och sidor i den likbenta och halva liksidiga triangeln

För att ta fram vinklar och sidor i den gröna triangeln utgår man från en rätvinklig, likbent triangel där hypotenusan är $1$ le. Eftersom triangeln är rätvinklig och likbent blir de övriga vinklarna i triangeln $4 5^{\circ}$ vardera.

Katetlängderna är som sagt lika långa så genom att kalla dem båda för

x

kan man beräkna deras längd med Pythagoras sats.

a^{2} + b^{2} = c^{2}

SubstituteExpressions

Sätt in uttryck

x^{2} + x^{2} = 1^{2}

SimpPowTerm

Förenkla potens & termer

2 x^{2} = 1

DivEqn

$VL / 2 = HL / 2$

x^{2} = \frac{1}{2}

SqrtEqn

$VL = HL$

x = \pm \frac{1}{2}

$x > 0$

x = \frac{1}{2}

SqrtQuot

$\frac{a}{b} = \frac{a}{b}$

x = \frac{1}{2}

Nu kan vi komplettera triangeln med dess katetlängder.

Den blå triangeln får man genom att dela en liksidig triangel med sidan $1$ på mitten, vinkelrätt mot t.ex. basen. Eftersom ursprungstriangeln är liksidig är alla dess vinklar $6 0^{\circ}$ , och den halva triangeln får därför toppvinkeln $3 0^{\circ} .$ Basen halveras och får längden $\frac{1}{2} .$

Höjden, $h,$ kan beräknas med Pythagoras sats.

a^{2} + b^{2} = c^{2}

SubstituteExpressions

Sätt in uttryck

h^{2} + (\frac{1}{2})^{2} = 1^{2}

PowQuot

$(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}$

h^{2} + \frac{1}{4} = 1

SubEqn

$VL - \frac{1}{4} = HL - \frac{1}{4}$

h^{2} = 1 - \frac{1}{4}

OneToFrac

Skriv $1$ som $\frac{4}{4}$

h^{2} = \frac{4}{4} - \frac{1}{4}

SubFrac

Subtrahera bråk

h^{2} = \frac{3}{4}

SqrtEqn

$VL = HL$

h = \pm \frac{3}{4}

$h > 0$

h = \frac{3}{4}

SqrtQuot

$\frac{a}{b} = \frac{a}{b}$

h = \frac{3}{2}

Höjden i den blå triangeln är alltså $\frac{3}{2} .$

Eftersom man nu har härlett varför trianglarna ser ut som de gör kan de användas för att motivera specifika trigonometriska värden.

Regel

Vinkeln $3 0^{\circ}$

För standardvinkeln

3 0^{\circ}

används den halva liksidiga triangeln.

Med definitionerna för sinus, cosinus och tangens kan man härleda de exakta trigonometriska värdena.

Härledning

sin (3 0^{\circ}) = \frac{1}{2}

Sinus definieras i en rätvinklig triangel som motstående katet dividerat med hypotenusan:

sin (3 0^{\circ}) = \frac{Motst a ˚ ende}{Hypotenusan} = \frac{1 / 2}{1} = \frac{1}{2} .

Härledning

cos (3 0^{\circ}) = \frac{3}{2}

Cosinusvärdet bestäms genom att dividera den närliggande kateten med hypotenusan:

cos (3 0^{\circ}) = \frac{N a ¨ rliggande}{Hypotenusan} = \frac{3 / 2}{1} = \frac{3}{2} .

Härledning

tan (3 0^{\circ}) = \frac{1}{3}

Tangens beräknas genom att dividera motstående kateten med den närliggande:

tan (3 0^{\circ}) = \frac{Motst a ˚ ende}{N a ¨ rliggande} = \frac{1 / 2}{3 / 2} = \frac{1}{3} .

Regel

Vinkeln $4 5^{\circ}$

För att härleda de exakta trigonometriska värdena för

4 5^{\circ}

används istället den likbenta triangeln.

Det spelar ingen roll vilken av $4 5^{\circ}$ -vinklarna man utgår ifrån.

Härledning

sin (4 5^{\circ}) = \frac{1}{2}

I en rätvinklig triangel definieras sinus som motstående katet dividerat med hypotenusan:

sin (4 5^{\circ}) = \frac{Motst a ˚ ende}{Hypotenusan} = \frac{1 / 2}{1} = \frac{1}{2} .

Härledning

cos (4 5^{\circ}) = \frac{1}{2}

Cosinusvärdet bestäms genom att dividera den närliggande kateten med hypotenusan:

cos (4 5^{\circ}) = \frac{N a ¨ rliggande}{Hypotenusan} = \frac{1 / 2}{1} = \frac{1}{2} .

Härledning

tan (4 5^{\circ}) = 1

Tangens beräknas genom att dividera motstående kateten med den närliggande:

tan (4 5^{\circ}) = \frac{Motst a ˚ ende}{N a ¨ rliggande} = \frac{1 / 2}{1 / 2} = 1 .

Regel

Vinkeln $6 0^{\circ}$

För att ta fram de trigonometriska värdena för

6 0^{\circ}

använder man ännu en gång den halva liksidiga triangeln.

Härledningarna liknar de för $3 0^{\circ}$ -vinkeln. För sinus och cosinus är de identiska fast omvända, dvs. $sin (3 0^{\circ}) = cos (6 0^{\circ})$ och $cos (3 0^{\circ}) = sin (6 0^{\circ}) .$

Härledning

sin (6 0^{\circ}) = \frac{3}{2}

Sinus definieras i en rätvinklig triangel som motstående katet dividerat med hypotenusan:

sin (6 0^{\circ}) = \frac{Motst a ˚ ende}{Hypotenusan} = \frac{3 / 2}{1} = \frac{3}{2} .

Härledning

cos (6 0^{\circ}) = \frac{1}{2}

Cosinusvärdet bestäms genom att dividera den närliggande kateten med hypotenusan:

cos (6 0^{\circ}) = \frac{N a ¨ rliggande}{Hypotenusan} = \frac{1 / 2}{1} = \frac{1}{2} .

Härledning

tan (6 0^{\circ}) = 3

Tangens beräknas genom att dividera motstående kateten med den närliggande:

tan (6 0^{\circ}) = \frac{Motst a ˚ ende}{N a ¨ rliggande} = \frac{3 / 2}{1 / 2} = 3 .

{{ article.displayTitle }}

Exempel

Bestäm trigonometriskt värde med triangeln

Standardvinklar i rätvinkliga trianglar

Härledning

Vinkeln $3 0^{\circ}$

Härledning

Härledning

Härledning

Vinkeln $4 5^{\circ}$

Härledning

Härledning

Härledning

Vinkeln $6 0^{\circ}$

Härledning

Härledning

Härledning

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}