Trigonometriska kurvors egenskaper: Amplitud och period

Det finns många sätt att påverka trigonometriska kurvors utseende. Man kan till exempel ändra deras amplitud, deras period eller förskjuta dem i $x -$ eller $y -$ led. För sinus- och cosinuskurvor görs detta genom att variera konstanterna i deras generella funktioner.

$y = A sin (B (x + C)) + D$

och

$y = A cos (B (x + C)) + D$

Begrepp

Amplitud

Amplituden för en sinus- eller cosinusfunktion är definierad som avståndet i $y -$ led mellan jämviktslinjen som funktionen pendlar kring och någon av dess minimi- eller maximipunkter. Eftersom amplituden är ett avstånd är den alltid positiv. Konstanten $A$ i det generella funktionsuttrycket kan dock vara negativ. Funktionens amplitud motsvaras därför av absolutbeloppet av $A .$

Differensen mellan maximi- och minimivärdet för funktionen motsvarar dubbla amplituden. Detta ger en formel för att beräkna amplituden.

$∣ A ∣ = \frac{y _{max} - y _{min}}{2}$

Konstanten $A$ påverkar kurvans utsträckning i $y -$ led utan att dess nollställen, period eller jämviktslinje ändras.

Begrepp

Period

Perioden för en funktion är det kortaste avståndet i $x -$ led mellan två motsvarande punkter på funktionens graf. För en sinus- eller cosinusfunktion mäter man ofta detta mellan närliggande toppar, dalar eller motsvarande nollställen. I det generella funktionsuttrycket påverkar man perioden genom att ändra värdet på konstanten $B .$

Från grafen kan man läsa av perioderna $2 π$ och $π$ för $y = sin (x)$ respektive $y = sin (2 x) .$ Funktionens period halveras alltså om $B$ fördubblas. Generellt kan man beräkna perioden $P$ hos en sinus- eller cosinusfunktion genom att dividera $2 π$ eller $36 0^{\circ}$ med absolutbeloppet av $B .$

$P = \frac{2 π}{∣ B ∣}$

eller

$P = \frac{3 6 0 ^{\circ}}{∣ B ∣}$

Vilken formel man väljer beror på vinkelenheten som används. Att det ska divideras med just absolutbeloppet av $B$ beror på att $B$ kan vara ett negativt tal medan en period är en längd — den måste vara positiv. Konstanten $B$ påverkar funktionens period utan att dess amplitud eller jämviktslinje förändras.

Avläsa amplitud och period grafiskt

fullscreen

Ange en funktion på formen $f (x) = A sin (B x),$ där $A$ och $B$ är positiva konstanter, vars graf ser ut som den i figuren.

Visa Lösning

För att kunna bestämma

A

och

B

behöver vi ta reda på funktionens amplitud och period. Amplituden kan man beräkna med formeln

∣ A ∣ = \frac{y _{max} - y _{min}}{2} .

Ur grafen avläser vi

y_{max}

som

1.5

och

y_{min}

som

- 1.5 .

Vi beräknar nu amplituden.

∣ A ∣ = \frac{y _{max} - y _{min}}{2}

SubstituteII

$y_{max} = 1.5$ , $y_{min} = - 1.5$

∣ A ∣ = \frac{1 . 5 - ( - 1 . 5 )}{2}

SubTerm

Förenkla termer

∣ A ∣ = \frac{3}{2}

WriteDec

Skriv i decimalform

∣ A ∣ = 1.5

Amplituden är alltså

1.5 .

Eftersom vi vet att

A

är ett positivt tal måste även det vara

1.5 .

För att sedan bestämma

B

använder vi formeln

P = \frac{2 π}{∣ B ∣} .

Då måste vi först läsa av perioden

P .

Perioden är alltså

\frac{5 π}{4},

vilket vi sätter in i formeln för att sedan lösa ut

∣ B ∣ .

P = \frac{2 π}{∣ B ∣}

Substitute

$P = \frac{5 π}{4}$

\frac{5 π}{4} = \frac{2 π}{∣ B ∣}

▼

Lös ut |B|

MultEqn

$VL \cdot ∣ B ∣ = HL \cdot ∣ B ∣$

\frac{5 π}{4} \cdot ∣ B ∣ = 2 π

DivEqn

$VL / \frac{5 π}{4} = HL / \frac{5 π}{4}$

∣ B ∣ = 2 π / \frac{5 π}{4}

DivByFracSL

$a / \frac{b}{c} = \frac{a \cdot c}{b}$

∣ B ∣ = \frac{2 π \cdot 4}{5 π}

CancelCommonFac

Förkorta

∣ B ∣ = \frac{2 \cdot 4}{5}

Multiply

Multiplicera faktorer

∣ B ∣ = \frac{8}{5}

WriteDec

Skriv i decimalform

∣ B ∣ = 1.6

Från uppgiften vet vi att båda konstanterna är positiva, så

B

måste vara lika med

1.6 .

Sätter vi in

A

och

B

i funktionsuttrycket får vi slutligen vår funktion.

f (x) = 1.5 sin (1.6 x)

Regel

Förskjutningar i $y$ -led

Genom att lägga till en konstant till funktionsuttrycket förskjuter man dess graf i $y$ -led. I det generella uttrycket betecknas denna konstant $D .$ Om man till exempelvis adderar $2$ förskjuts kurvan uppåt $2$ längdenheter. På samma sätt förskjuts den nedåt om man subtraherar en konstant.

För att läsa av förskjutningar i $y$ -led mäter man avståndet från $x$ -axeln till jämviktslinjen. Om det är lättare att läsa av minimi- och maximivärdena för grafen går det också bra att räkna ut förskjutningen som medelvärdet av dessa.

$D = \frac{y _{min} + y _{max}}{2}$

Konstanten $D$ ändrar funktionens nollställen men påverkar varken dess amplitud eller dess period.

Regel

Förskjutningar i $x$ -led

För att förskjuta grafen i

x

-led lägger man till en konstant

C

till

x

-värdet.

f (x) = sin (x + C)

Om konstanten

C

är positiv förskjuts kurvan åt vänster med detta värde och om

C

är negativ sker förskjutningen åt höger.

Det är viktigt att komma ihåg att

C

ska adderas direkt till

x,

vilket innebär att man måste lägga till en parentes om det finns en konstant framför

x .

Till exempel kan en sinusvåg med perioden

π

och förskjutningen

7

åt höger uttryckas som

f (x) = sin (2 (x - 7)) .

För att läsa av en förskjutning måste man först hitta en punkt på grafen som motsvarar origo för en oförskjuten graf. För cosinuskurvor innebär detta maximipunkter medan för sinuskurvor är det skärningspunkter med jämviktslinjen där kurvan har positiv lutning, även kallade inflexionspunkter. Dessa inflexionspunkter kan alternativt bestämmas genom att beräkna medelvärdet av

x

-värdena för den omgivande dalen och toppen.

x_{inflexion} = \frac{x _{dal} + x _{topp}}{2}

För periodiska funktioner finns det ett oändligt antal sådana punkter, men oftast väljer man den som ligger närmast origo. För att bestämma förskjutningen mäter man sedan avståndet i $x$ -led från punkten till origo. Konstanten $C$ motsvarar detta avstånd om punkten ligger till vänster om origo och det negativa värdet av avståndet om punkten ligger till höger om origo.

Bestäm förskjutningarna för sinusfunktionen

fullscreen

Bestäm konstanterna

C

och

D

till funktionen

f (x) = sin (0.5 (x + C)) + D

så att dess graf ser ut som i figuren.

Visa Lösning

Vi börjar med att bestämma konstanten $D,$ som avgör förskjutningen i $y$ -led. Det kan man göra genom att mäta avståndet från $x$ -axeln till jämviktslinjen. I det här fallet kan vi läsa av det värdet som $y = 1 .$

Förskjutningen är uppåt så konstanten

D

ska vara positiv, vilket ger

D = 1 .

Vi hade också kunnat beräkna detta som medelvärdet av funktionens minsta värde,

y_{min} = 0,

och dess största värde,

y_{max} = 2 .

D = \frac{y _{min} + y _{max}}{2} = \frac{0 + 2}{2} = 1

För att bestämma konstanten

C,

som ger grafens förskjutning i

x

-led, måste man först hitta en punkt på grafen som motsvarar origo för en oförskjuten graf. Vi har en sinusfunktion, vilket innebär att vi söker en skärningspunkt med jämviktslinjen där grafen har positiv lutning. I grafen finns det bara en sådan punkt.

Förskjutningen i

x

-led är alltså

\frac{π}{2}

åt vänster. Det ger oss

C = \frac{π}{2},

eftersom positiva

C

ger förskjutningar åt vänster. Vi har nu bestämt båda konstanterna:

C = \frac{π}{2} och D = 1 .

Begrepp

Amplitud, period och förskjutningar

I figuren kan man ändra på de olika konstanterna i den generella funktionen för en sinuskurva och se hur de påverkar grafen.

{{ article.displayTitle }}

Amplitud

Period

Exempel

Avläsa amplitud och period grafiskt

Förskjutningar i $y$ -led

Förskjutningar i $x$ -led

Exempel

Bestäm förskjutningarna för sinusfunktionen

Amplitud, period och förskjutningar

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}