{{ 'ml-label-loading-course' | message }}
{{ toc.name }}
{{ toc.signature }}
{{ tocHeader }} {{ 'ml-btn-view-details' | message }}
{{ tocSubheader }}
{{ 'ml-toc-proceed-mlc' | message }}
{{ 'ml-toc-proceed-tbs' | message }}
Lektion
Övningar
Rekommenderade
Tester
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel {{ article.chapter.number }}
{{ article.number }}. 

{{ article.displayTitle }}

{{ article.intro.summary }}
expand_more
{{ ability.description }} {{ ability.displayTitle }}
Inställningar & verktyg för lektion
{{ 'ml-lesson-number-slides' | message : article.intro.bblockCount}}
{{ 'ml-lesson-number-exercises' | message : article.intro.exerciseCount}}
{{ 'ml-lesson-time-estimation' | message }}
En exponentialfunktion som står på formen
har i de flesta fall en derivata som inte är lika med funktionen själv. Det finns dock ett undantag och det är när funktionens bas är lika med talet , dvs. ungefär Då är derivatan och funktionen samma för alla Den blå grafen visar funktionen medan den röda visar derivatan Väljer man basen till ser man att funktionens och derivatans graf sammanfaller.
Regel

Derivatan av

Exponentialfunktionen är sin egen derivata.

Härledning

För att visa varför derivatan till är kan man använda derivatans definition.
Eftersom inte påverkas av att går mot kan man placera utanför gränsvärdet:
Man kan visa att gränsvärdet är lika med (detta är ett så kallat standardgränsvärde). Det medför att
Regel

Derivatan av

Derivatan av en exponentialfunktion på formen är lika med funktionsuttrycket multiplicerat med koefficienten framför

Härledning

Man kan visa denna derivata med hjälp av derivatans definition:
Uttrycket får vi genom att ersätta med i funktionsuttrycket.
Eftersom inte innehåller något påverkas inte denna faktor av att går mot Man kan därför lyfta ut det från gränsvärdet, vilket ger
Man kan visa att gränsvärdet är lika med (detta är ett så kallat standardgränsvärde). Det medför att

Exempel

Derivera exponentialfunktioner med bas

fullscreen

Derivera och

Visa Lösning expand_more
Eftersom derivatan av alltid är sin egen derivata är alltså
Funktionen är på formen och eftersom multiplicerar vi funktionen med koefficienten för att få derivatan:


Regel

Derivatan av

Derivatan till exponentialfunktioner på formen dvs. när är något annat än talet , är funktionsuttrycket multiplicerat med

Härledning

För att visa varför regeln gäller kan man skriva om basen i exponentialfunktionen enligt sambandet . Sedan använder man deriveringsreglerna för exponentialfunktioner med basen

Uttrycken och är alltså ekvivalenta och man kan nu använda deriveringsregeln för att derivera . Därefter skrivs om till igen.
Regel

Derivatan av

Funktioner på formen deriveras på nästan samma sätt som Men utöver att multiplicera funktionsuttrycket med multipliceras det även med koefficienten

Härledning

För att visa varför regeln gäller kan man skriva om basen i exponentialfunktionen enligt . Sedan använder man deriveringsreglerna för exponentialfunktioner med basen
Uttrycken och är alltså ekvivalenta och man kan nu använda regeln .

Exempel

Derivera exponentialfunktioner med generell bas

fullscreen

Derivera och

Visa Lösning expand_more
Vi börjar med att derivera och använder då regeln . Vi multiplicerar alltså funktionen med naturliga logaritmen av basen Derivatan blir då
Funktionen skiljer sig från genom att har koefficienten Vi använder därför deriveringsregeln och multiplicerar funktionen med både och :


Laddar innehåll