Likformighet och Kongruens: Dra Nytta Av Samband Mellan Geometriska Former

Videolektion

Mathleaks

Minispelare aktiv

Begrepp

Likformighet

Två geometriska figurer med samma form men inte nödvändigtvis samma storlek kallas likformiga. Om två figurer är likformiga gäller följande.

Motsvarande vinklar i figurerna är lika stora.
Kvoten, dvs. förhållandet, mellan två motsvarande sidor i figurerna är lika stor för alla sidor.

Med "motsvarande" menas vinklar och sidor som har samma relativa placering i figurerna, t.ex. hypotenusan i två likformiga rätvinkliga trianglar.

Fyrhörningarna är likformiga med varandra.

Detta kan anges genom att skriva

A \sim B,

vilket utläses "

A

är likformig med

B

" eller "

A

och

B

är likformiga med varandra."

Regel

Likformiga trianglar

För att avgöra om två trianglar är likformiga räcker det med att undersöka om två par av motsvarande vinklar är likadana. Om detta gäller måste även vinklarna i det tredje paret vara lika stora eftersom vinkelsumman är $18 0^{\circ}$ i alla trianglar.

För tre givna vinklar går det bara att rita upp en typ av triangel, vilket innebär att förhållandet mellan de motsvarande sidorna måste vara likadant. Delar man sidorna i en av trianglarna med motsvarande sidor i den andra triangel får man alltså en konstant kvot.

$\frac{A B}{D E} = \frac{B C}{E F} = \frac{A C}{D F}$

Bestäm de okända sidorna med likformighet

fullscreen

Figurerna är likformiga med längder angivna i meter. Bestäm de okända sidorna $x$ och $y .$

Visa Lösning

För att lättare kunna se vilka sidor som motsvarar varandra roterar vi den mindre figuren.

Sidorna längst till vänster är kända i båda figurerna, så vi kan använda dem för att bestämma kvoten mellan motsvarande sidor. Vi väljer att dividera sidan i den större figuren med motsvarande sida i den mindre figuren.

\frac{3 . 1 6}{2 . 3 7}

Man kan också dela den kortare sidan med den längre, men då måste man tänka på att göra det även i resten av uppgiften. Eftersom fyrhörningarna är likformiga ska vi få kvoten ovan oavsett vilka motsvarande sidor vi dividerar. Detta kan vi använda för att bestämma

x

och

y,

och vi börjar med att ställa upp en ekvation med

x .

\frac{x}{3 . 0 9} = \frac{3 . 1 6}{2 . 3 7}

MultEqn

$VL \cdot 3.09 = HL \cdot 3.09$

x = \frac{3 . 0 9 \cdot 3 . 1 6}{2 . 3 7}

UseCalc

Slå in på räknare

x = 4.12

Nu sätter vi den kända kvoten lika med

\frac{2 . 2 4}{y}

för att lösa ut

y .

\frac{3 . 1 6}{2 . 3 7} = \frac{2 . 2 4}{y}

CrossMult

Korsmultiplicera

3.16 \cdot y = 2.37 \cdot 2.24

DivEqn

$VL / 3.16 = HL / 3.16$

y = \frac{2 . 3 7 \cdot 2 . 2 4}{3 . 1 6}

UseCalc

Slå in på räknare

y = 1.68

Sida

x

är alltså

4.12

m och sida

y

är

1.68

Begrepp

Kongruens

Om två geometriska figurer både är likformiga och har samma storlek, dvs. är kopior av varandra, säger man att de är kongruenta. Så länge dessa krav är uppfyllda spelar det ingen roll hur de är ritade, vilket innebär att även spegelvända och roterade figurer kan vara kongruenta med varandra.

Trots att den blå figuren är spegelvänd och den röda har roterats jämfört med den gröna är de alltså alla kongruenta med varandra.

Man kan ange att fyrhörningarna ovan är kongruenta genom att skriva

A ≅ B ≅ C,

vilket utläses "

A,

B

och

C

är kongruenta med varandra."

Regel

Kongruenta trianglar

För att avgöra om två trianglar är kongruenta med varandra behöver man inte veta att alla sidor och alla vinklar överensstämmer med varandra. Det finns tre kongruensfall där det räcker att man känner till en kombination av tre vinklar eller sidor. Om något av följande fall är uppfyllda gäller automatiskt även de andra kongruensvillkoren.

Sida-Sida-Sida (SSS)

Trianglar med lika stora sidor är kongruenta.

Sida-Vinkel-Sida (SVS)

Trianglar med två lika stora sidor och lika stor vinkel mellan dem är kongruenta.

Vinkel-Sida-Vinkel (VSV)

Trianglar med två lika stora vinklar och lika stor mellanliggande sida är kongruenta.

Vilka trianglar är kongruenta?

fullscreen

Vilka av trianglarna $B, C, D$ och $E$ kan du med säkerhet säga är kongruenta med triangeln $A ?$

Visa Lösning

Vi jämför trianglarna med $A$ en i taget.

Triangel B
Vi ser att $B$ och $A$ har en vinkel som är lika stor. Vi vet även att sidorna som bildar den vinkeln är lika stora i båda trianglarna. Detta innebär att trianglarna blir kongruenta enligt sida-vinkel-sida-fallet (SVS).

Triangel C
Triangel $C$ har lika stora vinklar som $A,$ men detta innebär inte nödvändigtvis att de är kongruenta. De är likformiga och skulle kunna vara kongruenta men det vet vi inte säkert.

Triangel D
Vi ser att $D$ har en lika stora vinkel som $A,$ och även att två av sidorna är lika stora. Men vinkeln som är lika stor ligger mellan "fel" sidor. Trianglarna kan alltså inte vara kongruenta.

Triangel E
Trianglarna har lika stora sidor och då kan vi vara säkra på att trianglarna är kongruenta enligt sida-sida-sida-fallet (SSS).

Sammanfattning
De trianglar som är kongruenta med $A$ är $B$ och $E .$

{{ article.displayTitle }}