{{ tocSubheader }}
{{ 'ml-label-loading-course' | message }}
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel {{ article.chapter.number }}
{{ article.number }}.
{{ article.displayTitle }}
{{ article.intro.summary }}
Visa mindre Visa mer expand_more Inställningar & verktyg för lektion
| | {{ 'ml-lesson-number-slides' | message : article.intro.bblockCount }} |
| | {{ 'ml-lesson-number-exercises' | message : article.intro.exerciseCount }} |
| | {{ 'ml-lesson-time-estimation' | message }} |
Kreditlista Bilder expand_more
- {{ item.file.title }} {{ presentation }}
Inga inlägg om filrättigheter hittades
För att beskriva verkliga fenomen, t.ex. hur en kopp te svalnar eller hur långt en häst har sprungit, kan man använda funktioner. Det finns flera olika typer av funktioner som kan beskriva sådana förlopp, exempelvis linjära funktioner och exponentialfunktioner. Med dessa kan man bl.a. uppskatta vad som kommer att hända efter en viss tid eller sträcka.
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Proportionalitet
- Linjära förändringar
- Exponentiella förändringar
Förkunskaper
Teori
Linjära förändringar
När man handlar lösviktsgodis beror kostnaden på hur mycket man köper. Om priset är 7,90kr/hg beräknar man den totala kostnaden genom att multiplicera 7,90 med antalet hg. Om vikten i hg är x ska man betala
Ett proportionellt samband ger alltid 0 om man sätter in 0. Men om man t.ex. måste betala 2 kr för påsen till godiset får man en liknande, men inte samma, situation. Den totala kostnaden blir då summan av påsen och godiset:
7,90⋅x kronor.
Den här typen av förhållande kallas proportionalitet. Det innebär att resultatet påverkas på samma sätt som variabeln: om man köper dubbelt så mycket godis kommer det att kosta dubbelt så mycket och så vidare. | x | 7,90x | Beräkning |
|---|---|---|
| 0 | 7,90⋅0 | 0 |
| 1 | 7,90⋅1 | 7,90 |
| 2 | 7,90⋅2 | 15,8 |
| 3 | 7,90⋅3 | 23,7 |
7,90x+2 kronor.
Både 7,90x och 7,90x+2 är exempel på linjära förändringar och de förändras alltid med lika mycket. I det här fallet är den förändringen 7,90 kr för varje extra hg man köper.Exempel
Tolka den linjära funktionen
Familjen Svebjörk ska hyra en stuga i Hassela under sportlovet. Kostnaden kan beskrivas av funktionen k(x)=450x kr, där x är antalet dagar som man hyr stugan.
a Hur mycket är kostnaden per dag?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"kronor","answer":{"text":["450"]}}
b Hur skulle funktionen se ut om det även fanns en bokningsavgift på 300kr?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.10764em;\">f<\/span><span class=\"mopen\">(<\/span><span class=\"mord mathdefault\">x<\/span><span class=\"mclose\">)<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":"kronor","answer":{"text":["450x+300"]}}
Ledtråd
a Hitta talet som multipliceras med x. Hur påverkar detta värde den totala kostnaden när x ökar?
b Lägg till den fasta avgiften till kostnaden baserad på antalet dagar.
Lösning
a Tittar vi på funktionen ser vi att x, som är antalet dagar, multipliceras med talet 450. Detta kan vi direkt tolka som att kostnaden per dag är 450 kr. Om man ökar x med 1, alltså en dag, ökar ju den totala kostnaden med 450 kr. Vi ser t.ex. att
k(0)=450⋅0=0 och k(1)=450⋅1=450.
b Om det även finns en bokningsavgift på 300 kr måste kostnaden öka med denna summa, oavsett hur många dagar som man hyr stugan. Vi får den nya funktionen, som vi kan kalla f(x), genom att addera 300 till 450x.
f(x)=450x+300
Teori
Exponentiella förändringar
Om man har pengar på ett sparkonto kommer dessa pengar att öka varje år enligt räntan på kontot. Sätter man t.ex. in 10000 kr på ett konto med 5% ränta, vilket motsvarar förändringsfaktorn 1,05, kommer det efter ett år att finnas
10000⋅1,05=10500kr.
Låter man pengarna vara kvar kommer de att öka med ytterligare 5% nästa år, vilket gör att det kommer att finnas
1050010000⋅1,05⋅1,05=10500⋅1,05=11025kr.
Detta är inte någon linjär förändring eftersom summan ökar med 500 kr första året och 525 kr andra året. Den ökar dock med lika många procentvarje år, vilket kallas exponentiell förändring. Summan på kontot efter t år kan beskrivas av
s(t)=10000⋅1,05t,
vilket är en exponentialfunktion.Exempel
Tolka exponentialfunktionen
Befolkningen i Badholmsta kommun kan beskrivas med funktionen
f(t)=24000⋅0,93t,
där t är antalet år efter 1985. a Hur många personer bodde i kommunen 1990 enligt modellen? Avrunda till närmaste tusental.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.48312em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mrel\">\u2248<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":"personer","answer":{"text":["17000"]}}
b Med hur många procent minskar befolkningen varje år?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.80556em;vertical-align:-0.05556em;\"><\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.16666666666666666em;\"><\/span><span class=\"mord\">%<\/span><\/span><\/span><\/span>","answer":{"text":["7"]}}
Ledtråd
a Bestäm hur många år efter 1985 det givna året är. Beräkna sedan funktionen med det värdet för t.
b Talet som upphöjs till t representerar förändringsfaktorn. Skriv det i procentform.
Lösning
a 1990 är 5 år efter 1985. Vi sätter därför in t=5 i funktionen och beräknar.
f(5)=16696,52086…≈17000.
År 1990 beräknas alltså befolkningen ha varit cirka 17000 personer.
b För att bestämma den årliga procentuella förändringen tittar vi på funktionsuttrycket igen:
f(t)=24000⋅0,93t.
För varje år som går ökar exponenten, t, med 1. Det betyder att varje år multipliceras befolkningen med förändringsfaktorn 0,93. Den kan även skrivas som 93%. För varje år är det alltså kvar 93% av föregående års befolkning, vilket motsvarar en årlig minskning med 7%.
Övning
Hitta saknade skillnader mellan en linjär och en exponentiell modell
Appletet visar en tabell med värden för funktionerna f och g. Den ena funktionen följer ett linjärt mönster, medan den andra är exponentiell. För att bestämma den saknade skillnaden kan det faktum att kvoten mellan på varandra följande värden i en exponentiell funktion är konstant användas. Svaret ska avrundas till närmaste heltal.
Laddar innehåll