Utforska Logaritmer och Derivata av Absolutbelopp

Logaritmen av ett tal är den exponent som man måste sätta på en viss bas för att få tillbaka talet. Exempelvis är tiologaritmen av

1000

lika med

3

eftersom

1 0^{3} = 1000 .

Generellt kan man skriva detta samband som

1 0^{a} = b \Leftrightarrow a = l g (b) .

När man använder ordet logaritm kan man mena ett specifikt värde, t.ex.

l g (250)

eller

lo g_{2} (19),

men man kan också syfta på den generella funktionen som beskriver alla logaritmer för en given bas.

Begrepp

Logaritmfunktion

Hur logaritmfunktionen ser ut beror på basen. Två exempel är

f (x) = lo g_{3} (x) och g (x) = ln (x),

där baserna är

3

respektive talet

e

. Eftersom man enbart kan beräkna logaritmer för positiva tal är definitionsmängden för funktionerna

x > 0 .

Däremot kan funktionsvärdena variera mellan

- \infty

och

\infty,

vilket innebär att värdemängden är alla reella tal.

Begrepp

Logaritmfunktioners grafer

Hur grafen till en logaritmfunktion ser ut beror på vilken bas som används, men alla logaritmfunktioner har liknande utseende. Ju större

x

är, desto större blir funktionsvärdet, men med avtagande lutning.

Bestäm logaritmens bas

fullscreen

I koordinatsystemet är grafen till $lo g_{a} (x)$ inritad, där basen $a$ är ett positivt heltal.

Bestäm konstanten $a .$

Visa Lösning

Vi undersöker om det finns några punkter som är lätta att läsa av.

Det finns två sådana punkter:

(1, 0)

och

(7, 1) .

De ger oss följande samband.

lo g_{a} (1) = 0 och lo g_{a} (7) = 1 .

Från det första sambandet får vi veta att det tal man ska sätta som exponent på basen

a

för att få

1

är

0

dvs.

a^{0} = 1 .

Detta gäller ju för alla positiva heltal så det hjälper oss inte så mycket. Det andra sambandet innebär att om man höjer upp

a

till

1

får man

7

dvs.

a^{1} = 7 .

Eftersom alla tal upphöjda till

1

är sig själva blir

a = 7 .

Begrepp

Absolutbeloppsfunktion

När man beräknar absolutbeloppet av ett tal,

∣ a ∣,

blir resultatet alltid större än eller lika med

0 .

a

redan är positivt ändras det inte, men om det är negativt får man

- a,

vilket är positivt. Absolutbeloppet kan även ses som en funktion:

f (x) = ∣ x ∣ = {x, - x, x \geq 0 x < 0 .

Absolutbeloppsfunktionen är aldrig negativ, men om man kombinerar den med andra funktioner, t.ex. polynom, kan grafen hamna både ovanför och under

x

-axeln.

f (x) = ∣ x ∣ g (x) = ∣ ∣ ∣ x^{2} - 4 ∣ ∣ ∣ h (x) = 5 - ∣ x ∣

Exempelvis blir funktionen

h (x)

negativ för

x

-värden mindre än

- 5

och större än

5 .

Graferna till

f,

g

och

h

ser ut på följande sätt.

Typiskt för funktioner med absolutbelopp är att de har grafer som vänder skarpt.

Rita grafen till absolutbeloppsfunktionen

fullscreen

Rita grafen till absolutbeloppsfunktionen.

y = ∣ 4 - x ∣ - 2

Visa Lösning

När man undersöker absolutbeloppsfunktioner är det ofta bekvämt att dela upp dem på olika intervall, beroende på om det som står innanför absolutbeloppet är positivt eller negativt. I det här fallet står det

4 - x,

som är negativt när

x > 4

och positivt eller

0

när

x \leq 4 .

Vi undersöker hur funktionen ser ut på dessa intervall.

Exempel

$x \leq 4$

När

x \leq 4

är det som står innanför absolutbeloppet positivt eller

0 .

Då kan man ta bort absolutbeloppstecknen direkt. Vi får då

∣ 4 - x ∣ - 2 = 4 - x - 2 = 2 - x,

vilket betyder att

y = 2 - x, x \leq 4 .

Exempel

$x > 4$

Nu är

4 - x

negativt, så när vi tar bort absolutbeloppet måste vi byta tecken på det som står innanför. Då får vi

∣ 4 - x ∣ - 2 = - (4 - x) - 2 = x - 6 .

I det andra intervallet har vi alltså funktionsuttrycket

y = x - 6, x > 4 .

Exempel

Grafen

Fram till

x = 4

ritar vi alltså den räta linjen

y = 2 - x

och efter det byter vi till linjen

y = x - 6 .

Begrepp

Deriverbarhet

En funktion som är deriverbar kan deriveras i alla punkter och har alltid "slät" graf, dvs. den saknar skarpa kanter. Exempelvis är polynomfunktioner alltid deriverbara, medan diskontinuerliga funktioner och de flesta funktioner med absolutbelopp är exempel på funktioner som inte är deriverbara i alla punkter. Den formella definitionen av deriverbarhet är att gränsvärdet som definierar funktionens derivata,

f^{'} (x_{0}) = h \to 0 lim \frac{f ( x _{0} + h ) - f ( x _{0} )}{h},

existerar för varje punkt

x_{0}

i definitionsmängden.

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

{{ article.displayTitle }}

Exempel

Bestäm logaritmens bas

Exempel

Rita grafen till absolutbeloppsfunktionen